Квантовый сверточный код - Quantum convolutional code

Квантовые блочные коды полезны в квантовые вычисления И в квантовые коммуникации. Схема кодирования для большого блочного кода обычно имеет высокую сложность, хотя схемы для современных кодов имеют меньшую сложность.

Теория квантового сверточного кодирования предлагает другую парадигму кодирования квантовой информации. Сверточная структура полезна для квантовая связь сценарий, при котором отправитель обладает потоком кубиты отправить получателю. Схема кодирования квантового сверточного кода имеет гораздо меньшую сложность, чем схема кодирования, необходимая для большого блочного кода. Он также имеет повторяющуюся структуру, так что одни и те же физические устройства или одни и те же процедуры могут управлять потоком квантовой информации.

Коды квантовых сверточных стабилизаторов во многом заимствуют структуру своих классические аналоги. Квантовые сверточные коды похожи, потому что некоторые из кубитов возвращаются в повторяющееся унитарное кодирование и придают коду структуру памяти, подобную структуре классического сверточного кода. В квантовых кодах реализовано онлайн-кодирование и декодирование кубитов. Эта функция дает квантовым сверточным кодам как низкую сложность кодирования и декодирования, так и их способность исправлять больший набор ошибок, чем блочный код с аналогичными параметрами.

Определение

Код квантового сверточного стабилизатора действует на Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$который является счетно бесконечный тензорное произведение двумерных кубит Гильбертовы пространства индексируется по целым числам ≥ 0${\displaystyle \left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$:

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ {\mathcal {H}}_{i}.}$

Последовательность${\displaystyle \mathbf {A} }$ из Матрицы Паули ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in \mathbb {Z} ^{+}}}$, куда

${\displaystyle \mathbf {A} ={\displaystyle \bigotimes \limits _{i=0}^{\infty }}\ A_{i},}$

может действовать на государства в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Позволять ${\displaystyle \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$ обозначим множество всех последовательностей Паули. Поддержка поддержки${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$ последовательности Паули ${\displaystyle \mathbf {A} }$ - это набор индексов записей в ${\displaystyle \mathbf {A} }$ которые не равны идентичности. Вес последовательности ${\displaystyle \mathbf {A} }$ это размер ${\displaystyle \left\vert {\text{supp}}\left(\mathbf {A} \right)\right\vert }$ своей поддержки. Задержка дель${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$ последовательности ${\displaystyle \mathbf {A} }$ это наименьший индекс для записи, не равной идентичности. Степень deg${\displaystyle \left(\mathbf {A} \right)}$ последовательности ${\displaystyle \mathbf {A} }$ - это самый большой индекс для записи, не равной идентичности. Например, следующая последовательность Паули

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}I&X&I&Y&Z&I&I&\cdots \end{array}},}$

имеет поддержку ${\displaystyle \left\{1,3,4\right\}}$, вес три, задержка один и четвертая степень. Последовательность имеет конечный носитель, если ее вес конечен. Позволять${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$ обозначим множество последовательностей Паули с конечным носителем. Следующее определение квантового сверточного кода использует набор ${\displaystyle F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}})}$ в его описании.

Ставка ${\displaystyle k/n}$-сверточный стабилизатор кода с ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ коммутирующий набор ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ из всех ${\displaystyle n}$-кубитовые сдвиги базовой генераторной установки ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$. Базовая генераторная установка ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$ имеет${\displaystyle n-k}$ Последовательности Паули с конечной опорой:

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\{\mathbf {G} _{i}\in F(\Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}):1\leq i\leq n-k\right\}.}$

Длина ограничения ${\displaystyle \nu }$ кода - максимальная степень генераторов в ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$. Кадр кода состоит из ${\displaystyle n}$ кубиты.

Квантовый сверточный код допускает эквивалентное определение в терминах преобразования задержки или ${\displaystyle D}$-трансформировать. В ${\displaystyle D}$-transform фиксирует смены базовой генераторной установки ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$. Определим ${\displaystyle n}$оператор задержки -кубит ${\displaystyle D}$ действуя на любой последовательности Паули ${\displaystyle \mathbf {A} \in \Pi ^{\mathbb {Z} ^{+}}}$ следующее:

${\displaystyle D\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes n}\otimes \mathbf {A.} }$

Мы можем написать ${\displaystyle j}$ повторные применения ${\displaystyle D}$ как сила ${\displaystyle D}$:

${\displaystyle D^{j}\left(\mathbf {A} \right)=I^{\otimes jn}\otimes \mathbf {A.} }$

Позволять ${\displaystyle D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right)}$ быть набором сдвигов элементов ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$ к ${\displaystyle j}$. Потом полный стабилизатор ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ для сверточного стабилизатора код

${\displaystyle {\mathcal {G}}={\textstyle \bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} ^{+}}}D^{j}\left({\mathcal {G}}_{0}\right).}$

Операция

Код сверточного стабилизатора работает следующим образом. Протокол начинается с того, что отправитель кодирует поток кубитов с помощью онлайн-схемы кодирования, такой как приведенная в (Grassl and Roetteler 2006). Схема кодирования онлайн если он действует на несколько блоков кубитов одновременно. Отправитель передает набор кубитов, как только первый унитар завершает их обработку. Приемник измеряет все генераторы в ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ и исправляет ошибки при получении закодированных кубитов онлайн. Наконец, он декодирует закодированные кубиты с помощью схемы декодирования. Кубиты, декодированные с помощью этой сверточной процедуры, должны быть безошибочными и готовыми к квантовым вычислениям на принимающей стороне.

А конечная глубина схема отображает последовательность Паули с конечным весом в последовательность с конечным весом (Ollivier and Tillich 2004). Он не отображает последовательность Паули с конечным весом в последовательность с бесконечным весом. Это свойство важно, потому что мы не хотим, чтобы схема декодирования распространяла неисправленные ошибки в поток информационных кубитов (Йоханнессон и Зигангиров, 1999). Схема декодирования конечной глубины, соответствующая стабилизатор ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ существует по алгоритму, приведенному в (Grassl and Roetteler 2006).

Пример

Форни и др. предоставил пример квантового сверточного кода со скоростью 1/3, импортировав конкретный классический четвертичный сверточный код (Forney and Guha 2005). Грассл и Роттлер определили некатастрофическую схему кодирования для квантового сверточного кода Форни и др. Со скоростью 1/3 (Grassl and Roetteler 2006). Базовый стабилизатор и его первая смена следующие:

${\displaystyle \cdots {\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&X&X&X&X&Z&Y&I&I&I\\I&I&I&I&I&I&Z&Z&Z&Z&Y&X&I&I&I\\\end{array}}\cdots }$

Код состоит из всех трехкубитовых сдвигов вышеуказанных генераторов. Вертикальные полосы представляют собой наглядное пособие для иллюстрации трехкубитовых сдвигов основных генераторов. Код может исправить произвольную однокубитную ошибку в каждом втором кадре.

Расширения

Уайльд и Брун объединили теорию коды стабилизатора с помощью сцепления и квантовые сверточные коды в серии статей (Wilde and Brun 2007a, 2007b, 2008, 2009), чтобы сформировать теорию квантового сверточного кодирования с помощью сцепленности. Эта теория предполагает, что отправитель и получатель имеют бесшумную двудольную запутанность что они могут использовать для защиты потока квантовой информации.

(Wilde 2009), опираясь на работы (Ollivier and Tillich 2004) и (Grassl and Roetteler 2006), также показали, как кодировать эти коды с помощью схем квантового регистра сдвига, естественного расширения теории классической регистр сдвига схемы.

Рекомендации

• Оливье, Гарольд; Тиллих, Жан-Пьер (2003). «Описание квантового сверточного кода». Письма с физическими проверками. 91 (17): 177902. arXiv:Quant-ph / 0304189. Bibcode:2003PhRvL..91q7902O. Дои:10.1103 / PhysRevLett.91.177902. PMID  14611378. S2CID  17261900.
• Ollivier, H .; Тиллих, Ж. -П. (2004). «Квантовые сверточные коды: основы». arXiv:Quant-ph / 0401134. Bibcode:2004квант.ч..1134O.
• Форни, Дж. Дэвид (2005). "Простые сверточные коды со скоростью 1/3 и квантовые коды исправления ошибок с хвостовой битой". Ход работы. Международный симпозиум по теории информации, 2005. ISIT 2005. С. 1028–1032. arXiv:Quant-ph / 0501099. Дои:10.1109 / ISIT.2005.1523495. ISBN  0-7803-9151-9. S2CID  14484674.
• Дэвид Форни, Дж. Дэвид; Грассл, Маркус; Гуха, Сайкат (2007). "Сверточные и хвостовые квантовые коды исправления ошибок". IEEE Transactions по теории информации. 53 (3): 865–880. arXiv:Quant-ph / 0511016. Дои:10.1109 / TIT.2006.890698. S2CID  546490.
• М. Грассл и М. Роттелер, «Квантовые сверточные коды: кодеры и структурные свойства», в Сорок четвертой ежегодной конференции Аллертона, 2006 г. Доступно на http://www.csl.illinois.edu/allerton/archives/allerton06/PDFs/papers/0285.pdf^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Грассл, Маркус; Роттелер, Мартин (2006). «Некатастрофические кодеры и инверсии кодировщиков для квантовых сверточных кодов». 2006 Международный симпозиум IEEE по теории информации. С. 1109–1113. arXiv:Quant-ph / 0602129. Дои:10.1109 / ISIT.2006.261956. ISBN  1-4244-0505-X. S2CID  1442.
• Р. Йоханнессон и К. С. Зигангиров, Основы сверточного кодирования. Wiley-IEEE Press, 1999.
• Уайльд, Марк М .; Сериал, Хари; Брун, Тодд А. (2010). «Сверточная перегонка». 2010 Международный симпозиум IEEE по теории информации. С. 2657–2661. arXiv:0708.3699. Дои:10.1109 / ISIT.2010.5513666. ISBN  978-1-4244-7892-7. S2CID  2409176.
• Уайльд, Марк М .; Брун, Тодд А. (2010). «Квантовое сверточное кодирование с помощью запутывания». Физический обзор A. 81 (4): 042333. arXiv:0712.2223. Bibcode:2010PhRvA..81d2333W. Дои:10.1103 / PhysRevA.81.042333. S2CID  8410654.
• Уайльд, Марк М .; Брун, Тодд А. (2010). «Квантовое сверточное кодирование с общей запутанностью: общая структура». Квантовая обработка информации. 9 (5): 509–540. arXiv:0807.3803. Дои:10.1007 / s11128-010-0179-9. S2CID  18185704.
• Уайльд, Марк М. (2008). «Квантовое кодирование с запутанностью». arXiv:0806.4214.
• Уайльд, Марк М .; Брун, Тодд А. (2009). «Дополнительная совместная запутанность снижает потребность в памяти при квантовом сверточном кодировании». Физический обзор A. 79 (3): 032313. arXiv:0812.4449. Bibcode:2009PhRvA..79c2313W. Дои:10.1103 / PhysRevA.79.032313. S2CID  67826844.
• Уайльд, Марк М. (2009). «Схемы квантового сдвигового регистра». Физический обзор A. 79 (6): 062325. arXiv:0903.3894. Bibcode:2009PhRvA..79f2325W. Дои:10.1103 / PhysRevA.79.062325. S2CID  56351003.

дальнейшее чтение

Публикации

• Хушманд, Монире; Уайльд, Марк М. (2013). «Рекурсивные квантовые сверточные кодеры катастрофичны: простое доказательство». IEEE Transactions по теории информации. 59 (10): 6724–6731. arXiv:1209.0082. Дои:10.1109 / TIT.2013.2272932. S2CID  15309497.
• Лай, Чинг-И; Се, Мин-Сю; Лу, Сяо-Фэн (2016). "На Mac Уильямс Тождество классических и квантовых сверточных кодов ». Транзакции IEEE по коммуникациям. 64 (8): 3148–3159. arXiv:1404.5012. Дои:10.1109 / TCOMM.2016.2585641. S2CID  7123143.
• Пулен, Дэвид; Тиллих, Жан-Пьер; Оливье, Гарольд (2007). «Квантовые серийные турбокоды». arXiv:0712.2888.
• Джорджевич, Иван (2012). Квантовая обработка информации и квантовая коррекция ошибок: инженерный подход. Академическая пресса. ISBN  9780123854919.
• Брун, Тодд А. (2013). Lidar, Daniel A .; Брун, Тодд А. (ред.). Квантовая коррекция ошибок. Издательство Кембриджского университета. arXiv:1910.03672. ISBN  9780521897877.