Рациональное ценообразование - Rational pricing - Wikipedia

Рациональное ценообразование это предположение в финансовая экономика цены на активы (и, следовательно, модели ценообразования активов ) будет отражать без арбитража цена актива, поскольку любое отклонение от этой цены будет "арбитражным". Это предположение полезно при ценообразовании ценных бумаг с фиксированным доходом, особенно облигаций, и имеет фундаментальное значение для ценообразования производных инструментов.

Механика арбитража

Арбитраж - это практика использования состояния дисбаланса между двумя (или, возможно, более) рынками. Если это несоответствие может быть использовано (например, после транзакционных издержек, затрат на хранение, транспортных расходов, дивидендов и т. Д.), Арбитражер может «зафиксировать» безрисковую прибыль, покупая и продавая одновременно на обоих рынках.

В целом арбитраж гарантирует, что " закон одной цены "будет удерживаться; арбитраж также уравнивает цены активов с идентичными денежными потоками и устанавливает цену активов с известными будущими денежными потоками.

Закон одной цены

Один и тот же актив должен торговаться по одинаковой цене на всех рынках (" закон одной цены "). Если это не так, арбитражер:

купить актив на рынке, где он имеет более низкую цену, и одновременно продать его (короткая ) на вторичном рынке по более высокой цене
доставить актив покупателю и получить более высокую цену
заплатите продавцу на более дешевом рынке выручкой и положите разницу в карман.

Активы с одинаковыми денежными потоками

Два актива с одинаковыми денежными потоками должны торговаться по одной и той же цене. Если это не так, арбитражер:

продать актив по более высокой цене (короткая продажа ) и одновременно купите актив по более низкой цене
финансировать его покупку более дешевого актива за счет выручки от продажи дорогого актива и присваивать разницу
выполнить свои обязательства перед покупателем дорогого актива, используя денежные потоки от более дешевого актива.

Актив с известной будущей ценой

Актив с известной ценой в будущем должен сегодня торговаться по этой цене. со скидкой на безрисковая ставка.

Обратите внимание, что это условие можно рассматривать как приложение к вышеизложенному, где два рассматриваемых актива - это актив, который должен быть доставлен, и безрисковый актив.

(а) где дисконтированная будущая цена равна выше чем сегодняшняя цена:

Арбитражер соглашается предоставить актив в будущем (т. Е. продает вперед ) и одновременно покупает его сегодня на заемные деньги.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную цену.
Затем он выплачивает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между согласованной ценой и суммой погашения (т. Е. Задолженности) и составляет арбитражную прибыль.

(b) где дисконтированная будущая цена равна ниже чем сегодняшняя цена:

Арбитражер соглашается заплатить за актив в будущем (т.е. покупает вперед ) и одновременно продает (короткая ) базовый сегодня; он инвестирует (или банки) выручку.
В день поставки он обналичивает зрелую инвестицию, которая оценивается по безрисковой ставке.
Затем он принимает поставку базового актива и оплачивает согласованную цену, используя вложения с погашением.
Разница между стоимостью погашения и согласованной ценой и есть арбитражная прибыль.

Пункт (b) возможен только для тех, кто владеет активом, но не нуждается в нем до будущей даты. Таких сторон может быть немного, если краткосрочный спрос превышает предложение, что приводит к отсталость.

С фиксированным доходом ценных бумаг

Смотрите также Арбитраж с фиксированным доходом; Кредитный рейтинг облигаций.

Рациональное ценообразование - один из подходов к ценообразованию. облигации с фиксированной процентной ставкой. Здесь каждый денежный поток может быть сопоставлен путем торговли (а) некоторым кратным бескупонная облигация соответствует дате купона, и эквивалент кредитоспособность (если возможно, от того же эмитента, что и оцениваемая облигация) с соответствующим сроком погашения, или (б) в соответствующем полоска и ZCB. Затем, учитывая, что денежные потоки могут быть воспроизведены, цена облигации должна сегодня равняться сумме каждого из ее денежных потоков, дисконтированных по той же ставке, что и каждый ZCB (на # Активы с одинаковыми денежными потоками ). Если бы это было не так, был бы возможен арбитраж, который вернул бы цену в соответствие с ценой, основанной на ZCB. Механика следующая.

Если цена облигации не соответствует приведенной стоимости ZCB, арбитражер может:

профинансировать покупку той облигации или суммы ZCB, которая была дешевле
к короткая продажа другой
и выполнение своих обязательств по денежным потокам с использованием купонов или нулей с погашением в зависимости от обстоятельств.
тогда ее прибыль будет разницей между двумя значениями.

Формула ценообразования тогда ${ displaystyle P_ {0} = sum _ {t = 1} ^ {T} { frac {C_ {t}} {(1 + r_ {t}) ^ {t}}}}$ , где каждый денежный поток ${ Displaystyle C_ {t} ,}$ со скидкой по ставке ${ displaystyle r_ {t} ,}$ который совпадает с датой купона. Часто формула выражается как ${ Displaystyle P_ {0} = сумма _ {t = 1} ^ {T} C (t) times P (t)}$ , используя цены вместо ставок, поскольку цены более доступны.

Рациональное ценообразование также применимо к моделированию процентных ставок в более общем плане: кривые доходности должно быть без арбитража относительно цен на отдельные инструменты.Видеть Бутстреппинг (финансы) и Мультикривый каркас.

Цены на деривативы

А производная это инструмент, который позволяет покупать и продавать один и тот же актив на двух рынках - спотовый рынок и рынок деривативов. Математические финансы предполагает, что любой дисбаланс между двумя рынками будет устранен арбитражем. Таким образом, в контракте с производным инструментом с правильной оценкой цена производного инструмента, цена исполнения (или же справочная ставка ), а спотовая цена будут связаны таким образом, что арбитраж невозможен. Видеть Основная теорема безарбитражного ценообразования.

Фьючерсы

В фьючерсный контракт, для невозможности арбитража цена, уплаченная при доставке ( форвардная цена ) должна быть такой же, как стоимость (включая проценты) покупки и хранения актива. Другими словами, рациональная форвардная цена представляет собой ожидаемую будущая стоимость из лежащий в основе со скидкой по безрисковой ставке ("актив с известной будущей ценой ", как указано выше); см. Спот – паритет будущего. Таким образом, для простого актива, не приносящего дивиденды, стоимость фьючерса / форварда, ${ Displaystyle F (т) ,}$ , будет найдено путем накопления текущей стоимости ${ Displaystyle S (т) ,}$ вовремя ${ Displaystyle т ,}$ к зрелости ${ Displaystyle T ,}$ по ставке безрисковой доходности ${ Displaystyle г ,}$ .

{ Displaystyle F (т) = S (т) раз (1 + г) ^ {(Т-т)} ,}

Это соотношение может быть изменено для затрат на хранение, дивидендов, дивидендной доходности и удобной доходности; видеть ценообразование фьючерсных контрактов.

Любое отклонение от этого равенства допускает следующий арбитраж.

В случае, если форвардная цена выше:

Арбитражер продает фьючерсный контракт и покупает базовый актив сегодня (на спотовом рынке) на заемные деньги.
В дату поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную форвардную цену.
Затем он выплачивает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между двумя суммами и составляет арбитражную прибыль.

В случае, если форвардная цена ниже:

Арбитражер покупает фьючерсный контракт и продает базовый актив сегодня (на спотовом рынке); он вкладывает выручку.
В день поставки он обналичивает зрелую инвестицию, которая оценивается по безрисковой ставке.
Затем он получает базовый актив и оплачивает согласованную форвардную цену, используя вложения с погашением. [Если бы он был короткая базовый, он возвращает его сейчас.]
Разница между двумя суммами и составляет арбитражную прибыль.

Свопы

Рациональное ценообразование лежит в основе логики замена оценка. Здесь два контрагенты «своп» обязательства, эффективно обменивая денежный поток потоки рассчитываются относительно условного главный сумма, а стоимость свопа - это приведенная стоимость (PV) обоих наборов будущих денежных потоков "взаимно взаимно взаимозачитываются". Чтобы не допускать арбитража, условия своп-контракта таковы, что первоначально Сеть приведенная стоимость этих будущих денежных потоков равно нулю; видеть Своп (финансы) # Оценка и расценки. После продажи свопы также могут (должны) оцениваться с использованием рациональных цен. Приведенные ниже примеры предназначены для Свопы процентных ставок - и представляет собой чисто рациональное ценообразование, поскольку исключает риск кредита - хотя принцип применим к любой вид обмена.

Оценка при запуске

Рассмотрим своп процентной ставки с фиксированной на плавающую, когда Сторона А платит фиксированную ставку ("Ставка свопа "), а Сторона Б платит плавающую ставку. Здесь фиксированная ставка будет такова, что приведенная стоимость будущих платежей по фиксированной ставке Стороной А будет равна приведенной стоимости ожидал будущие платежи с плавающей ставкой (т. е. NPV равна нулю). Если бы это было не так, арбитражер C мог бы:

Примите позицию с ниже приведенная стоимость платежей и заемные средства, равные этой приведенной стоимости
Выполнять обязательства по денежному потоку по позиции за счет заемных средств и получать соответствующие платежи, которые имеют более высокую приведенную стоимость
Использовать полученные выплаты для погашения задолженности по заемным средствам
Карманная разница - где разница между текущей стоимостью ссуды и приведенной стоимостью притока является арбитражной прибылью

Последующая оценка

Плавающая часть процентного свопа может быть «разложена» на серию соглашения о форвардной ставке. Здесь, поскольку своп имеет идентичные платежи в FRA, цены без арбитража должны применяться, как указано выше, то есть стоимость этого участка равна стоимости соответствующих FRA. Точно так же отрезок свопа "фиксированный прием" можно оценить по сравнению с связь с таким же графиком выплат. (Соответственно, учитывая, что их подчиненные одинаковые денежные потоки, опционы на облигации и обмены равноправны.) Своп (финансы) # Использование цен на облигации.

Опции

Как и выше, если стоимость актива в будущем известна (или ожидается), это значение можно использовать для определения рациональной цены актива сегодня. В вариант контракт, однако, исполнение зависит от цены базового актива, и, следовательно, платеж является неопределенным. Поэтому модели ценообразования опционов включают логику, которая либо «фиксирует», либо «делает вывод» об этой будущей стоимости; оба подхода дают одинаковые результаты. Методы, фиксирующие будущие денежные потоки, предполагают ценообразование без арбитража, а те, которые предполагают ожидаемое значение, предполагают оценка без риска.

Для этого (в своей простейшей, но широко используемой форме) оба подхода предполагают «биномиальную модель» поведения базовый инструмент, который допускает только два состояния - вверх или вниз. Если S - текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо Как дела или же S вниз. Здесь значение доли в активном состоянии равно S × u, а в неактивном состоянии - S × d (где u и d - множители с d <1 модель биномиальных опционов ). Затем, учитывая эти два состояния, подход «без арбитража» создает позицию, которая имеет одинаковую ценность в любом из состояний - следовательно, известен денежный поток за один период и применимо арбитражное ценообразование. Подход, нейтральный к риску, предполагает ожидаемую стоимость опциона из внутренние ценности на последних двух узлах.

Хотя эта логика кажется далекой от Блэк – Скоулз формула и решеточный подход в Модель биномиальных опционов фактически он лежит в основе обеих моделей; видеть PDE Блэка – Шоулза. Предположение о биномиальном поведении базовой цены является оправданным, поскольку количество временных шагов между сегодняшним днем (оценкой) и исполнением увеличивается, а период на временной шаг, соответственно, короткий. Модель биномиальных опций допускает большое количество очень коротких временных шагов (если закодированный правильно), тогда как Блэк – Шоулз фактически моделирует непрерывный процесс.

В приведенных ниже примерах в качестве базового актива используются акции, но их можно распространить на другие инструменты. Ценность пут опцион может быть получен, как показано ниже, или может быть найден из значения вызова, используя паритет пут-колла.

Ценообразование без арбитража

Здесь будущая выплата «фиксируется» с использованием либо «дельта-хеджирования», либо «тиражирование портфолио "подход. Как и выше, эта выплата затем дисконтируется, и результат используется при оценке опциона сегодня.

Дельта-хеджирование

Возможно создание позиции состоящей из Δ акции и 1 вызов продано, так что стоимость позиции будет одинаковой в Как дела и S вниз состояний и, следовательно, известны с уверенностью (см. Дельта-хеджирование ). Это определенное значение соответствует указанной выше форвардной цене («Актив с известной будущей ценой» ), и, как указано выше, для невозможности арбитража приведенная стоимость позиции должна быть ее ожидаемой будущей стоимостью, дисконтированной по безрисковой ставке, р. Затем стоимость звонка определяется приравниванием двух.

Решите относительно Δ такое, что:
значение позиции за один период = Δ × Как дела - ${ displaystyle max}$ (Как дела - цена исполнения, 0) = Δ × S вниз - ${ displaystyle max}$ (S вниз - цена исполнения, 0)
Найдите значение звонка, используя Δ, где:
значение позиции сегодня = значение позиции за один период ÷ (1 + r) = Δ × S ток - стоимость звонка

Репликационный портфель

Возможно создание позиции состоящей из Δ акции и $B заимствован по безрисковой ставке, что приведет к созданию денежных потоков, идентичных одному опциону на базовую акцию. Созданная позиция известна как «реплицирующий портфель», поскольку ее денежные потоки повторяют денежные потоки опциона. Как показано выше («Активы с одинаковыми денежными потоками» ), при отсутствии возможностей арбитража, поскольку производимые денежные потоки идентичны, цена опциона сегодня должна быть такой же, как и стоимость позиции сегодня.

Решите одновременно для Δ и B, таких что:
- Δ × Как дела - B × (1 + r) = ${ displaystyle max}$ ( 0, Как дела - цена исполнения)
- Δ × S вниз - B × (1 + r) = ${ displaystyle max}$ ( 0, S вниз - цена исполнения)
Найдите значение звонка, используя Δ и B, где:
- звонок = Δ × S ток - В

Обратите внимание, что здесь нет дисконтирования - процентная ставка появляется только в рамках строительства. Таким образом, этот подход используется вместо других, когда неясно, может ли безрисковая ставка применяться в качестве учетная ставка в каждой точке принятия решения, или вместо этого премия над безрисковой, в зависимости от штата, потребуются. Лучшим примером этого будет под Анализ реальных опционов^[1] где действия менеджмента фактически изменяют характеристики риска рассматриваемого проекта, и, следовательно, Требуемая доходность могут отличаться в верхнем и нижнем состояниях. Тогда в приведенных выше формулах имеем: "Δ × Как дела - B × (1 + r вверх) ... "и" Δ × S вниз - B × (1 + r вниз)..." . Видеть Оценка реальных опционов # Технические соображения. (Другой случай, когда предположения моделирования могут отклоняться от рационального ценообразования, - это оценка опционов сотрудников на акции.)

Оценка без риска

Здесь стоимость опциона рассчитывается с использованием нейтралитет риска предположение. При таком предположении "ожидаемое значение "(в отличие от значения" заблокировано ") равно со скидкой. Ожидаемое значение рассчитывается с использованием внутренние ценности из двух последних узлов: «Вариант вверх» и «Вариант вниз», с ты и d как множители цены, как указано выше. Затем они взвешиваются по их соответствующим вероятностям: «вероятность» п восходящего движения базового актива и "вероятность" (1-п) движения вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется на р, то безрисковая ставка.

Решить для p
при нейтральности к риску, для невозможности арбитража по акциям, сегодняшняя цена должна представлять ее ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке (т. е. цена акции является Мартингейл ):
${ Displaystyle { begin {align} S & = { frac {p times S_ {u} + (1-p) times S_ {d}} {1 + r}} & = { frac {p times u times S + (1-p) times d times S} {1 + r}} Rightarrow p & = { frac {(1 + r) -d} {ud}} конец {выровнено}}}$
Решите для значения вызова, используя p
для невозможности арбитража при колл сегодняшняя цена должна представлять ее ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке:
${ displaystyle { begin {align} C & = { frac {p times C_ {u} + (1-p) times C_ {d}} {1 + r}} & = { frac {p times max (S_ {u} -k, 0) + (1-p) times max (S_ {d} -k, 0)} {1 + r}} конец {выровнено}}}$

Допущение нейтральности риска

Обратите внимание, что приведенная выше формула нейтрального риска не относится ни к ожидаемой или прогнозируемой доходности базового актива, ни к его доходности. непостоянство - p, как решено, относится к нейтральная к риску мера в отличие от фактического распределение вероятностей цен. Тем не менее, как ценообразование без арбитража, так и оценка без риска дают идентичные результаты. Фактически, можно показать, что «дельта-хеджирование» и «оценка без учета риска» используют идентичные формулы, выраженные по-разному. Учитывая эту эквивалентность, при ценообразовании деривативов допустимо предположить «нейтральный риск». Более формальные отношения описываются через фундаментальная теорема безарбитражного ценообразования.

Цены на акции

В теория арбитражного ценообразования (APT), общая теория ценообразования активов, стала влиятельной в ценообразовании акции. APT считает, что ожидаемый результат финансового актива можно смоделировать как линейная функция различных макроэкономический факторов, где чувствительность к изменениям каждого фактора представлена конкретным фактором бета-коэффициент:

{ displaystyle E left (r_ {j} right) = r_ {f} + b_ {j1} F_ {1} + b_ {j2} F_ {2} + ... + b_ {jn} F_ {n} + epsilon _ {j}}

куда

${ displaystyle E (r_ {j})}$ ожидаемая доходность рискованного актива,
${ displaystyle r_ {f}}$ это безрисковая ставка,
${ displaystyle F_ {k}}$ это макроэкономический фактор,
${ displaystyle b_ {jk}}$ чувствительность актива к фактору ${ displaystyle k}$ ,
и ${ displaystyle epsilon _ {j}}$ - идиосинкразический случайный шок рискованного актива со средним нулевым значением.

Затем полученная по модели норма прибыли будет использоваться для правильной оценки актива - цена актива должна равняться ожидаемой цене на конец периода. со скидкой по ставке, подразумеваемой моделью. Если цена расходится, арбитраж должен вернуть ее в норму. Здесь для проведения арбитража инвестор «создает» актив с правильной оценкой ( синтетический актив), а портфолио с той же чистой подверженностью влиянию каждого из макроэкономических факторов, что и актив с неверной оценкой, но с другой ожидаемой доходностью. Увидеть теория арбитражного ценообразования статья для подробностей о построении портфолио. Таким образом, арбитражер может получить безрисковую прибыль следующим образом:

Если цена актива слишком низкая, портфолио должен был быть оценен по ставке, подразумеваемой APT, в то время как актив с неверной оценкой был бы оценен в более чем этот показатель. Следовательно, арбитражер мог:

Сегодня: короткая продажа то портфолио и на вырученные деньги купите актив по неверной цене.
В конце периода: продать актив по неверной цене, использовать выручку, чтобы выкупить портфолиои положите разницу в карман.

Если цена актива слишком высока, портфолио должен был быть оценен по ставке, подразумеваемой APT, в то время как актив с неверной оценкой был бы оценен в меньше чем этот показатель. Следовательно, арбитражер мог:

Сегодня: короткая продажа актив по неправильной цене и купите портфолио с выручкой.
В конце периода: продать портфолио, используйте выручку, чтобы выкупить актив по неверной цене, и получить разницу.

Обратите внимание, что в рамках «истинного арбитража» инвестор фиксирует гарантированный выигрыш, тогда как при APT-арбитраже инвестор фиксирует положительный ожидал заплатить. Таким образом, APT предполагает «арбитраж в ожиданиях» - то есть арбитраж со стороны инвесторов приведет цены на активы в соответствие с доходностью, ожидаемой моделью.

В модель ценообразования основных средств (CAPM) - это более ранняя (более) влиятельная теория ценообразования активов. Несмотря на то, что CAPM основан на различных предположениях, в некотором смысле его можно рассматривать как «особый случай» APT; в частности, CAPM линия рынка ценных бумаг представляет собой однофакторную модель цены актива, где бета - это подверженность изменениям «стоимость рынка» в целом.

Безарбитражное ценообразование при системном риске

Классические методы оценки, такие как модель Блэка-Шоулза или модель Мертона, не могут учитывать системный риск контрагента, который присутствует в системах с финансовой взаимосвязью.^[2]Более подробную информацию о нейтральной к риску, безарбитражной оценке активов и деривативов можно найти в системный риск статья (см. также оценка с учетом системного риска ).

Смотрите также

внешняя ссылка

Ценообразование без арбитража

Ценообразование по арбитражу, Сайт "История экономической мысли"
Идея арбитражного ценообразования, Сами Мохаммед, Примечания
«Основная теорема» финансов; Часть II. Проф. Марк Рубинштейн, Школа бизнеса Хааса
Элементарная теория ценообразования активов, Проф. К. К. Бордер Калифорнийский технологический институт
Понятие арбитража и бесплатных обедов в математических финансах, Профессор Вальтер Шахермайер
Нет арбитража в непрерывном времени, Профессор Тайлер Шамуэй

Риск-нейтралитет и ценообразование без арбитража

Ценообразование без учета риска в дискретном времени (PDF ), Профессор Дон М. Шанс
Объяснение нейтральных к риску вероятностей. Николя Гизигер
Риск-нейтральная оценка: осторожное введение, Часть II. Джозеф Тхам Университет Дьюка

Применение к деривативам

Оценка опциона в биномиальной модели (в архиве ), Профессор Эрнст Моуг, Политехнический институт Ренсселера
Ценообразование фьючерсов и форвардов по арбитражным аргументам, Quantnotes
Связь фьючерсных и спотовых цен, Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки
Иллюзии динамической репликации, Эмануэль Дерман и Нассим Талеб
Обмены и опционы, Профессор Дон М. Шанс

[Reilly_&_Brown-1] См. Гл. 23, п. 5, в: Фрэнк Рейли, Кейт Браун (2011). «Инвестиционный анализ и управление портфелем». (10-е издание). Паб Юго-Западного колледжа. ISBN 0538482389

[Fischer_(2014a)-2] Фишер, Том (2014). «Безарбитражное ценообразование при системном риске: учет совместного владения». Математические финансы. 24 (1): 97–124 (Дата публикации: 19 июня 2012 г.). arXiv:1005.0768. Дои:10.1111 / j.1467-9965.2012.00526.x.

[1]

[2]