Список банаховых пространств - List of Banach spaces

в математический поле функциональный анализ, Банаховы пространства являются одними из важнейших объектов изучения. В других областях математический анализ, большинство возникающих на практике пространств также оказываются банаховыми.

Классические банаховы пространства

В соответствии с Дистель (1984, Глава VII), классические банаховы пространства те, которые определены Данфорд и Шварц (1958), который является источником следующей таблицы.

Здесь K обозначает поле из действительные числа или же сложные числа и я замкнутый и ограниченный интервал [а,б]. Номер п это настоящий номер с 1 < п < ∞, и q это его Конъюгат Гёльдера (также с 1 < q < ∞), так что выполняется следующее уравнение:

${displaystyle {frac {1}{q}}+{frac {1}{p}}=1,}$

и поэтому

${displaystyle q={frac {p}{p-1}}.}$

Символ Σ обозначает σ-алгебра множеств, а Ξ обозначает просто алгебру множеств (для пространств, требующих только конечной аддитивности, таких как ба пространство ). Символ μ обозначает положительную меру: то есть действительную функцию положительного множества, определенную на σ-алгебре, которая является счетно-аддитивной.

Классические банаховы пространства
	Двойное пространство	Рефлексивный	слабо полный	Норма	Примечания
K^п	K^п	да	да	${displaystyle |x|_{2}=left(sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}ight)^{1/2}}$
ℓ^пп	ℓ^пq	да	да	${displaystyle |x|_{p}=left(sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}ight)^{1/p}}$
ℓ^п∞	ℓ^п1	да	да	${displaystyle |x|_{infty }=max _{1leq ileq n}|x_{i}|}$
ℓп	ℓq	да	да	${displaystyle |x|_{p}=left(sum _{i=1}^{infty }|x_{i}|^{p}ight)^{1/p}}$	1
ℓ1	ℓ∞	Нет	да	${displaystyle |x|_{1}=sum _{i=1}^{infty }|x_{i}|}$
ℓ∞	ба	Нет	Нет	${displaystyle |x|_{infty }=sup _{i}|x_{i}|}$
c	ℓ1	Нет	Нет	${displaystyle |x|_{infty }=sup _{i}|x_{i}|}$
c0	ℓ1	Нет	Нет	${displaystyle |x|_{infty }=sup _{i}|x_{i}|}$	Изоморфен, но не изометричен c.
bv	${displaystyle ell _{infty }}$	Нет	да	${displaystyle |x|_{bv}=|x_{1}|+sum _{i=1}^{infty }|x_{i+1}-x_{i}|}$	изоморфен ${displaystyle ell _{1}}$
bv0	${displaystyle ell _{infty }}$	Нет	да	${displaystyle |x|_{bv_{0}}=sum _{i=1}^{infty }|x_{i+1}-x_{i}|}$	изометрически изоморфен ${displaystyle ell _{1}}$
bs	ба	Нет	Нет	${displaystyle |x|_{bs}=sup _{n}left|sum _{i=1}^{n}x_{i}ight|}$	Изометрически изоморфно ℓ∞.
cs	ℓ1	Нет	Нет	${displaystyle |x|_{bs}=sup _{n}left|sum _{i=1}^{n}x_{i}ight|}$	Изометрически изоморфен c.
B(Икс, Ξ)	ба (Ξ)	Нет	Нет	${displaystyle |f|_{B}=sup _{xin X}|f(x)|}$
C(Икс)	rca(Икс)	Нет	Нет	${displaystyle |f|_{B}=sup _{xin X}left|f(x)ight|}$	Икс это компактное хаусдорфово пространство.
ба (Ξ)	?	Нет	да	${displaystyle |mu |_{ba}=sup _{Ain Sigma }|mu |(A)}$ (вариация меры )
ca (Σ)	?	Нет	да	${displaystyle |mu |_{ba}=sup _{Ain Sigma }|mu |(A)}$
rca (Σ)	?	Нет	да	${displaystyle |mu |_{ba}=sup _{Ain Sigma }|mu |(A)}$
L^п(μ)	L^q(μ)	да	да	${displaystyle |f|_{p}=left{int |f|^{p},dmu ight}^{1/p}}$	1
L^1(μ)	L^∞(μ)	Нет	?	${displaystyle |f|_{1}=int |f|,dmu }$	Если мера μ на S является сигма-конечный
L^∞(μ)	${displaystyle N_{mu }^{perp }}$	Нет	?	${displaystyle |f|_{infty }equiv inf{Cgeq 0:|f(x)|leq C{mbox{ for almost every }}x}.}$	куда ${displaystyle N_{mu }^{perp }={sigma in ba(Sigma ):lambda ll mu }}$
BV (I)	?	Нет	да	${displaystyle |f|_{BV}=lim _{x o a^{+}}|f(x)|+V_{f}(I)}$	Vж(я) это полное изменение из ж.
NBV (I)	?	Нет	да	${displaystyle |f|_{BV}=V_{f}(I)}$	NBV (я) состоит из BV-функций таких, что ${displaystyle lim _{x o a^{+}}f(x)=0}$.
AC (I)	K+L^∞(я)	Нет	да	${displaystyle |f|_{BV}=lim _{x o a^{+}}|f(x)|+V_{f}(I)}$	Изоморфен Соболевское пространство W^1,1(я).
Cп[а,б]	rca ([а,б])	Нет	Нет	${displaystyle |f|=sum _{i=0}^{n}sup _{xin [a,b]}|f^{(i)}(x)|.}$	Изоморфен рп ⊕ C ([а,б]), по существу Теорема Тейлора.

Банаховы пространства в других областях анализа

• В Пространства Асплунда
• В Пространства Харди
• Космос BMO функций ограниченное среднее колебание
• Пространство функций ограниченная вариация
• Соболевские пространства
• В Пространства Бирнбаума – Орлича L_А(μ).
• Пространства Гёльдера C^{k, α}(Ω).
• Пространство Лоренца

Банаховы пространства как контрпримеры

• Пространство Джеймса, банахово пространство, имеющее Основа Шаудера, но не имеет безусловная основа Шаудера. Кроме того, пространство Джеймса изометрически изоморфно своему двойному двойственному, но не может быть рефлексивным.
• Пространство Цирельсона, рефлексивное банахово пространство, в котором ни ℓ^п ни c₀ может быть встроен.
• В. Т. Гауэрс строительство пространства Икс что изоморфно ${displaystyle Xoplus Xoplus X}$ но нет ${displaystyle Xoplus X}$ служит контрпримером для ослабления предпосылок Теорема Шредера – Бернштейна. ^[1]

Примечания

1. W.T. Gowers, "Решение проблемы Шредера – Бернштейна для банаховых пространств", Бюллетень Лондонского математического общества, 28 (1996) стр. 297–304.

Рекомендации

• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90859-5.
• Dunford, N .; Шварц, Дж. (1958), Линейные операторы, часть I, Wiley-Interscience.