Квантовое перемешивание, трещотки и откачка - Quantum stirring, ratchets, and pumping

А насос является переменный ток -приводной устройство что порождает постоянный ток (ОКРУГ КОЛУМБИЯ). В простейшей конфигурации насос имеет два вывода, подключенных к двум резервуарам. В такой открытой геометрии насос забирает частицы из одного резервуара и выбрасывает их в другой. Соответственно, ток возникает, даже если резервуары имеют одинаковую температуру и химический потенциал.

Перемешивание представляет собой операцию создания циркулирующего тока с ненулевой постоянной составляющей в замкнутой системе. Самая простая геометрия получается путем включения насоса в замкнутый контур. В более общем плане можно рассматривать любой тип перемешивающего механизма, такой как перемещение ложки в чашке с кофе.

Основные наблюдения

Эффекты накачки и перемешивания в квантовой физике имеют аналоги в чисто классических стохастических и диссипативных процессах.^[1] Исследования квантовой накачки^[2][3] и квантового перемешивания^[4] подчеркивают роль квантовой интерференции в анализе индуцированного тока. Основная задача - рассчитать сумму ${displaystyle Q}$ перемещаемых частиц за цикл движения. Есть обстоятельства, при которых ${displaystyle Q}$ является целым числом из-за топологии пространства параметров.^[5] В более общем смысле ${displaystyle Q}$ зависит от межчастичные взаимодействия, беспорядок, хаос, шум и рассеяние.

Электрическое перемешивание явно нарушает симметрию обращения времени. Это свойство можно использовать для индукции спиновой поляризации в обычных полупроводниках чисто электрическими средствами.^[6] Строго говоря, перемешивание - это нелинейный эффект, потому что в теории линейного отклика (LRT) возбуждение переменного тока индуцирует переменный ток с той же частотой. Все еще адаптация LRT Кубо формализм позволяет анализ перемешивания. Задачу квантовой накачки (где у нас есть открытая геометрия) можно рассматривать как частный предел проблемы квантового перемешивания (где у нас есть замкнутая геометрия). При желании последние могут быть проанализированы в рамках теория рассеяния. Насосные и перемешивающие устройства являются близкими родственниками храповых систем.^[7] Последние определяются в данном контексте как пространственно-периодические массивы, управляемые переменным током, в которых индуцируется постоянный ток.

Можно вызвать постоянный ток, приложив смещение, или, если частицы заряжены, приложив электродвижущую силу. В отличие от этого, квантовый механизм накачки создает постоянный ток в ответ на циклическую деформацию ограничивающего потенциала. Чтобы получить постоянный ток от привода переменного тока, необходимо нарушить симметрию обращения времени (TRS). В отсутствие магнитного поля и диссипации TRS может нарушить сам привод. Соответственно, работа адиабатического насоса основана на изменении более чем одного параметра, тогда как для неадиабатических насосов ^{[8] [9][10]} для генерации постоянного тока может быть достаточно модуляции одного параметра. Самый известный пример - перистальтический механизм, который сочетает в себе циклическую операцию сжатия с включением / выключением входных / выходных клапанов.

Адиабатическая квантовая накачка тесно связана с классом токовых наномоторов, называемых Адиабатический квантовый двигатель. Если в квантовом насосе периодическое движение некоторых классических параметров перекачивает квантовые частицы из одного резервуара в другой, то в квантовом двигателе постоянный ток квантовых частиц вызывает циклическое движение классического устройства. Указанная связь обусловлена Взаимные отношения Онзагера между электрическими токами ${displaystyle I}$ и силы, вызванные током ${displaystyle F}$, взятые как обобщенные потоки, с одной стороны, и химические потенциалы смещают ${displaystyle delta mu }$ и скорость управляющих параметров ${displaystyle {dot {X}}}$, взятые как обобщенные силы, с другой стороны.,^{[4][11][12][13][14][15]}

${displaystyle left.{frac {partial F_{j}}{partial left(delta mu _{alpha }ight)}}ight|_{eq}=left.{frac {partial I_{alpha }}{partial {dot {X}}_{j}}}ight|_{eq}}$.

куда ${displaystyle j}$ и ${displaystyle alpha }$ - индексы по механическим степеням свободы и отведениям соответственно, а субиндекс "${displaystyle eq}$"означает, что количества следует оценивать в состоянии равновесия, т. е. ${displaystyle {dot {X}}=0}$ и ${displaystyle delta mu =0}$. Интегрирование приведенного выше уравнения для системы с двумя выводами дает хорошо известную связь между накачиваемым зарядом за цикл ${displaystyle Q}$, работа, проделанная мотором ${displaystyle W}$, а напряжение смещения ${displaystyle V}$,^{[11][12][13][14][15]}

${displaystyle W=QV}$.

Подход Кубо к квантовому перемешиванию

Рассмотрим замкнутую систему, описываемую гамильтонианом ${displaystyle {mathcal {H}}(X)}$ что зависит от некоторых параметров управления ${displaystyle X=(X_{1},X_{2},X_{3})}$. Если ${displaystyle X_{3}}$ - магнитный поток Ааронова Бома через кольцо, то по закону Фарадея ${displaystyle -{dot {X_{3}}}}$ это электродвижущая сила. Если применима теория линейного отклика, мы имеем пропорциональность ${displaystyle I=-G^{33}{dot {X}}_{3}}$, куда ${displaystyle G^{33}}$ называется омической проводимостью. Совершенно аналогично, если мы изменим ${displaystyle X_{1}}$ ток ${displaystyle I=-G^{31}{dot {X}}_{1}}$, и если мы изменим ${displaystyle X_{2}}$ ток ${displaystyle I=-G^{32}{dot {X}}_{2}}$, куда ${displaystyle G^{31}}$ и ${displaystyle G^{32}}$ являются элементами матрицы проводимости. Соответственно для полного цикла откачки:

${displaystyle Q=oint limits _{ ext{cycle}}I,dt=-oint (G^{31},dX_{1}+G^{32},dX_{2})}$

Проводимость можно рассчитать и проанализировать, используя подход формулы Кубо к квантовой накачке,^[16] который основан на теории адиабатических процессов.^[5] Здесь мы пишем выражение, которое применяется в случае низкочастотного «квазистатического» процесса вождения (популярные термины «вождение постоянным током» и «адиабатическое вождение» оказываются обманчивыми, поэтому мы их не используем):

${displaystyle G^{3j}={frac {i}{hbar }}int _{0}^{infty }leftlangle left[{mathcal {I}}(t),{mathcal {F}}^{j}(0)ight]ightangle ,t,dt}$

куда ${displaystyle {mathcal {I}}}$ - текущий оператор, и ${displaystyle {mathcal {F}}^{j}=-partial {mathcal {H}}/partial X_{j}}$ - обобщенная сила, связанная с управляющим параметром ${displaystyle X_{j}}$. Хотя эта формула написана с использованием квантово-механических обозначений, она также выполняется классически, если коммутатор заменен скобками Пуассона. В целом ${displaystyle G}$ можно записать как сумму двух членов: один имеет отношение к диссипации, а другой обозначается как ${displaystyle B}$ имеет отношение к геометрии. Диссипативная часть исчезает в строгом квантовом адиабатическом пределе, а геометрическая часть ${displaystyle B}$ может быть ненулевым. Оказывается, в строгом адиабатическом пределе ${displaystyle B}$ это "Кривизна ягод "(математически известный как" двухформный "). Используя обозначения ${displaystyle B_{1}=-G^{32}}$ и ${displaystyle B_{2}=G^{31}}$ мы можем переписать формулу для количества накачиваемых частиц как

${displaystyle Q=oint {vec {B}}cdot {vec {ds}}}$

где мы определяем вектор нормали ${displaystyle {vec {ds}}=(dX_{2},-dX_{1})}$ как показано. Преимущество этой точки зрения заключается в интуиции, которую она дает для результата: ${displaystyle Q}$ связано с потоком поля ${displaystyle {vec {B}}}$ который создается (так сказать) «магнитными зарядами» в ${displaystyle X}$ Космос. На практике расчет ${displaystyle {vec {B}}}$ выполняется по следующей формуле:

${displaystyle {B}_{j}=sum _{n(eq n_{0})}{frac {2hbar {m {Im}}[{mathcal {I}}_{n_{0}n} {mathcal {F}}_{nn_{0}}^{j}]}{(E_{n}-E_{n_{0}})^{2}}}}$

Эту формулу можно рассматривать как квантовый адиабатический предел формулы Кубо. Собственные состояния системы помечаются индексом ${displaystyle n}$. Как правило, это множество состояний тела, а энергии в целом - это многие энергии тела. При конечных температурах среднее тепловое за ${displaystyle n_{0}}$ неявно. Поле ${displaystyle B}$ можно рассматривать как ротор «векторного потенциала» ${displaystyle A}$ (математически известная как «однократная»). А именно, ${displaystyle {vec {B}}=abla wedge {vec {A}}}$. ``Ягодная фаза "который приобретается волновой функцией в конце замкнутого цикла,

${displaystyle { ext{Berry phase}}={frac {1}{hbar }}oint {vec {A}}cdot d{vec {X}}}$

Соответственно, можно утверждать, что «магнитный заряд», генерирующий (так сказать) ${displaystyle B}$ поле состоит из квантованных «монополей Дирака». Из калибровочной инвариантности следует, что вырождения системы располагаются в виде вертикальных цепочек Дирака. «Монополи Дирака» расположены на ${displaystyle X}$ точки, где ${displaystyle n_{0}}$ имеет вырождение с другим уровнем. Картина монополей Дирака^[17] полезен для анализа переноса заряда: количество переносимого заряда определяется количеством цепей Дирака, окруженных циклом откачки. При желании можно оценить переносимый заряд за цикл откачки из фазы Берри, дифференцируя его по потоку Ааронова-Бома через устройство.^[18]

Рассеивающий подход к квантовой накачке

Омическая проводимость мезоскопического устройства, соединенного выводами с резервуарами, определяется формулой Ландауэра: в безразмерных единицах омическая проводимость открытого канала равна его пропусканию. Расширение этой точки зрения на рассеяние в контексте квантовой накачки приводит к формуле Брауэра-Буттикера-Претра-Томаса (БПТ)^[2] который связывает геометрическую проводимость с ${displaystyle S}$ матрица насоса. В пределе низких температур дает

${displaystyle G^{3j}={frac {1}{2pi i}}mathrm {trace} left(P_{A}{frac {partial S}{partial X_{j}}}S^{dagger }ight)}$

Здесь ${displaystyle P_{A}}$ - это проектор, который ограничивает операции трассировки открытыми каналами отведения, где измеряется ток. Эта формула BPT была первоначально получена с использованием метода рассеяния,^[19] но позже его связь с формулой Кубо была выяснена.^[20]

Эффект взаимодействий

В недавней работе рассматривается роль взаимодействий в перемешивании бозе-конденсированных частиц.^[21] В остальном остальная литература касается в первую очередь электронных устройств.^[22] Обычно насос моделируется как квантовая точка. Влияние электрон-электронных взаимодействий внутри точечной области учитывается в режиме кулоновской блокады или в режиме Кондо. В первом случае перенос заряда квантуется даже в случае малого обратного рассеяния. Отклонение от точного квантованного значения связано с диссипацией. В режиме Кондо при понижении температуры эффект накачки изменяется. Есть также работы, которые рассматривают взаимодействия по всей системе (включая отведения) с использованием жидкостной модели Латтинжера.

Квантовая накачка в деформируемых мезоскопических системах

Квантовый насос, когда он связан с классическими механическими степенями свободы, может также вызывать циклические изменения связанных с ним механических степеней свободы. В такой конфигурации насос работает аналогично квантовому наномотору. Парадигматическим примером этого класса систем является квантовая помпа, связанная с упруго деформируемой квантовой точкой.^[23] Упомянутая парадигма была обобщена для включения нелинейных эффектов и стохастических флуктуаций.^[24][25]

Непериодическая квантовая накачка

В большинстве предложенных примеров квантовой накачки есть один или несколько параметров, которые циклически меняются во времени. Однако теоретически было показано^[26] что затухающие колебания набора параметров также могут быть использованы для генерации ненулевых накачиваемых зарядов в течение длительного времени. Это явление получило название геометрического выпрямления колебательных токов. В таком случае интерес представляет собой асимптотический накачиваемый заряд, то есть полный заряд, перекачиваемый из резервуара или в резервуар за бесконечное время, вместо мгновенного тока, который квазипериодически меняет свой знак, или накачиваемого заряда за цикл, a количество, теряющее смысл из-за отсутствия определенных циклов.

${displaystyle Q_{r}=eint _{0}^{infty }dtleft(sum _{i}{frac {dn_{r}}{dq_{i}}}{dot {q_{i}}}ight)}$

Здесь, ${displaystyle e}$ - заряд электрона, ${displaystyle Q_{r}}$ - асимптотический закачиваемый заряд из пласта ${displaystyle r}$, где `` асимптотическая относится к длительному пределу перекачиваемого заряда ${displaystyle Q(t)}$, т.е. ${displaystyle lim _{tightarrow infty }Q(t)}$. Режимы механической части системы обозначены ${displaystyle q_{i}}$, и ${displaystyle {frac {dn_{r}}{dq_{i}}}}$ - коэффициент излучения, определяемый в низкотемпературном пределе как

${displaystyle {frac {dn_{r}}{dq_{i}}}=sum _{eta ,alpha in r}{frac {1}{2pi }}mathrm {Im} left[{frac {partial S_{alpha eta }}{partial q_{i}}}S_{alpha eta }^{ast }ight]}$,

куда ${displaystyle S_{alpha eta }}$ - элемент матрицы рассеяния ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ который соединяет канал проводимости ${displaystyle eta }$ принадлежащий какому-либо резервуару, каналу проводимости ${displaystyle alpha }$ принадлежащий водохранилищу ${displaystyle r}$ (${displaystyle S_{alpha eta }}$ - амплитуда передачи для ${displaystyle alpha }$ и ${displaystyle eta }$ принадлежность к разным резервуарам или амплитуда отражения в противном случае).

Смотрите также

• Квантовая механика
• Броуновская трещотка
• Геометрическая фаза § Эффект стохастической накачки
• Адиабатический квантовый двигатель

Рекомендации

1. Н. А. Синицын (2009), «Эффект стохастической накачки и геометрические фазы в диссипативных и стохастических системах», J. Phys. A: Математика. Теор., 42 (19): 193001, arXiv:0903.4231, Bibcode:2009JPhA ... 42с3001С, Дои:10.1088/1751-8113/42/19/193001
2. M. Buttiker, H. Thomas и A. Pretre, Z. Phys. B Конденс. Мат. 94, 133 (1994).
   П. В. Брауэр, Phys. Ред. B 58, R10135 (1998).
   Альтшулер Б.Л., Глазман Л.И., Science 283, 1864 (1999).
   Дж. А. Аврон, А. Элгарт, Г. М. Граф, Л. Садун, Phys. Ред. B 62, R10618 (2000).
   Д. Коэн, Phys. Ред. B 68, 201303 (R) (2003).
   М. Москалец, М. Бюттикер, Phys. Ред. B 68, 161311 (2003).
   
3. М. Свиткс, К. М. Маркус, К. Кэмпман, А. К. Госсард, Science 283, 1905 (1999).
4. Д. Коэн, arXiv: cond-mat / 0208233 (2002).
   Д. Коэн, Phys. Ред. B 68, 155303 (2003).
   M. Aunola, J. J. Toppari, Phys. Ред. B 68, 020502 (2003).
   Д. Коэн, Т. Коттос, Х. Шанц, Phys. Ред. E 71, 035202 (R) (2005).
   G. Rosenberg, D. Cohen, J. Phys. А 39, 2287 (2006).
   I. Sela, D. Cohen, J. Phys. А 39, 3575 (2006).
   М. Хиллер, Т. Коттос и Д. Коэн, Europhysics Letters 82, 40006 (2008); Phys. Ред. A 78, 013602 (2008).
   I. Sela, D. Cohen, Phys. Ред. B 77, 245440 (2008); Phys. Ред. B 78, 155404 (2008).
   
5. Д. Дж. Таулесс, Phys. Ред. В 27, 6083 (1983).
   Q. Niu, D. J. Thouless, J. Phys. А 17, 2453 (1984).
   М.В. Берри, Proc. R. Soc. Лондон. А 392, 45 (1984).
   J.E. Avron, A. Raveh и B. Zur, Rev. Mod. Phys. 60, 873 (1988).
   М.В. Берри, Дж. М. Роббинс, Proc. R. Soc. Лондон. А 442, 659 (1993).
   
6. Першин, Ю. V; Синицын, Н. А .; Коган, А; Саксена, А; Смит, Д. (2009), "Управление поляризацией спина с помощью электрического перемешивания: предложение для спинтронного устройства", Appl. Phys. Lett., 95 (2): 022114, arXiv:0906.0039, Bibcode:2009АпФЛ..95б2114П, Дои:10.1063/1.3180494.
7. P. Reimann Phys. Отчет 361 (2002) 57
   H. Schanz, M. F. Otto, R. Ketzmerick и T. Dittrich Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 070601
   H. Schanz, T. Dittrich, R. Ketzmerick Phys. Ред. E 71 (2005) 026228
   Т. Диттрих, М. Гутьеррес и Г. Синуко Physica A 327 (2003) 145
   H. Linke et al., Appl. Phys. А 75 (2002) 237-246.
   
8. Ван, Б .; Wang, J .; Гуо, Х. (2002), "Параметрическая накачка на конечной частоте", Phys. Ред. B, 65 (7): 073306, arXiv:cond-mat / 0107078, Bibcode:2002PhRvB..65g3306W, Дои:10.1103 / PhysRevB.65.073306
9. Фоа Торрес, L.E.F. (2005), «Монопараметрическая квантовая накачка заряда: взаимодействие между пространственной интерференцией и туннелированием с помощью фотонов», Phys. Ред. B, 72 (24): 245339, arXiv:cond-mat / 0511223, Bibcode:2005PhRvB..72x5339F, Дои:10.1103 / PhysRevB.72.245339
10. Kaestner, B .; Кащеевы, В .; Amakawa, S .; Li, L .; Блюменталь, доктор медицины; Janssen, T.J.B.M .; Hein, G .; Pierz, K .; и другие. (2008), "Однопараметрическая неадиабатическая квантованная накачка заряда", Phys. Ред. B, 77 (15): 153301, arXiv:0707.0993, Bibcode:2008PhRvB..77o3301K, Дои:10.1103 / PhysRevB.77.153301.
11. Рауль Бустос-Марун, Хиль Рафаэль и Феликс фон Оппен. Адиабатические квантовые двигатели. Phys. Rev. Lett., 111: 060802, (2013)
12. Лукас Х. Фернандес-Алькасар, Рауль А. Бустос-Мару и Горацио М. Паставски, Декогеренция в силах, индуцированных током: приложение к адиабатическим квантовым двигателям, Phys. Ред. B 92, 075406 (2015).
13. Мария Флоренсия Людовико, Франческа Баттиста, Феликс фон Оппен и Лилиана Аррахея, Адиабатический отклик и квантовые термоэлектрики для квантовой системы с переменным током, Phys. Ред. B 93, 075136 (2016).
14. Лукас Х. Фернандес-Алькасар, Орасио М. Паставски и Рауль А. Бустос-Марун, Динамика и декогеренция в неидеальных квантовых двигателях Таулеса. Phys. Ред. B 95, 155410 (2017).
15. Эрнан Л. Кальво, Федерико Д. Рибетто и Рауль А. Бустос-Марун, Диаграммный подход к силам, индуцированным током в реальном времени: применение к наномоторам на основе квантовых точек, Phys. Ред. B 96, 165309 (2017).
16. Коэн Д. (2003), "Квантовая накачка в замкнутых системах, адиабатический перенос и формула Кубо", Phys. Ред. B, 68 (15): 155303, arXiv:cond-mat / 0307619, Bibcode:2003PhRvB..68o5303C, Дои:10.1103 / PhysRevB.68.155303.
17. Дорон Коэн (2005), "Классическая и квантовая накачка в замкнутых системах", Твердотельные коммуникации, 133 (9): 583–588, arXiv:cond-mat / 0208233, Bibcode:2005SSCom.133..583C, Дои:10.1016 / j.ssc.2004.12.027.
18. M. Aunola, J. J. Toppari, Phys. Ред. B 68, 020502 (2003).
19. M. Buttiker, H. Thomas и A Pretre, Z. Phys. B Конденс. Мат. 94, 133 (1994).
20. Д. Коэн, Phys. Ред. B 68, 201303 (R) (2003).
21. М. Хиллер, Т. Коттос и Д. Коэн, Europhysics Letters 82, 40006 (2008); Phys. Ред. A 78, 013602 (2008).
22. И. Л. Алейнер, А. В. Андреев Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 1286.
    C. Liu, Q. Niu Phys. Ред. B 48 (1993) 18320.
    M. Blaaboer и E. J. Heller Phys. Ред. B 64 (2001) 241301.
    B. Wang, J. Wang Phys. Ред. B 65 (2002) 233315.
    J. Splettstosser, M. Governale, J. Konig и R. Fazio cond-mat / 0506080.
    T. Aono Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 116601.
    Q. Niu, D. J. Thouless J. Phys. А 17 (1984) 2453.
    P. Sharma, C. Chamon Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 96401.
    Андреев А.В., Мищенко Е.Г. Phys. Ред. B 64 (2001) 233316.
    P. Sharma, C. Chamon Phys. Ред. B 68 (2002) 35321.
    R. Citro, N. Andrei, Q. Niu Phys. Ред. B 68 (2003) 165312.
    Голубев Д.С., Заикин А.С., cond-mat / 0010493.
    Э. Села и Ю. Орег cond-mat / 0509467.
    E. Cota, R. Aguado и G. Platero Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 107202.
    F. Cavaliere, M. Governale и J. König Phys. Rev. Lett. 103 (2009) 136801.
23. Ромео, Ф .; Ситро, Р. (21 декабря 2009 г.). «Квантовая накачка в деформируемых квантовых точках». Физический обзор B. 80 (23): 235328. arXiv:0909.0367. Bibcode:2009PhRvB..80w5328R. Дои:10.1103 / PhysRevB.80.235328.
24. Ромео, Ф .; Ситро, Р. (13 августа 2010 г.). «Эффекты памяти в адиабатической квантовой накачке с паразитной нелинейной динамикой». Физический обзор B. 82 (8): 085317. arXiv:1010.1151. Bibcode:2010ПхРвБ..82х5317Р. Дои:10.1103 / PhysRevB.82.085317.
25. Perroni, C.A; Ромео, F; Ночера, А; Марильяно Рамалья, V; Citro, R; Катоделла, V (14.08.2014). «Шумовая накачка заряда в упруго деформируемых молекулярных переходах». Журнал физики: конденсированное вещество. 26 (36): 365301. arXiv:1307.6834. Bibcode:2014JPCM ... 26J5301P. Дои:10.1088/0953-8984/26/36/365301. ISSN  0953-8984.
26. Рауль А. Бустос-Марун, "Геометрическая ректификация для сбора колебательной энергии в наномасштабе", Phys. Ред. B 97, 075412 (2018).

Несортированный

• Б. Л. Хазелзет, М. Р. Вегевийс, Т. Х. Стооф, Ю. В. Назаров, Phys. Ред. B 63 (2001) 165313
• О. Энтин-Вольман, А. Агарони, В. Кащеевы, Turk. J. Phys. 27 (2003) 371
• J. N. H. J. Cremers и P. W. Brouwer Phys. Ред. B 65 (2002) 115333
• И. Л. Алейнер, Б. Л. Альтшулер, А. Каменев, Phys. Ред. B 62 (2000) 10373
• E. R. Mucciolo, C. Chamon и C. M. Marcus Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 146802
• T. Aono Phys. Ред. B 67 (2003) 155303
• О. Энтин-Вольман, Ю. Левинсон, П. Вёльфле Phys. Ред. B 64 (2001) 195308
• Ф. Хеккинг и Ю. Назаров, Phys Rev. B 44 (1991) 9110
• Ф. Чжоу, Б. Спивак и Б.Altshuler Phys. Rev. Lett. 82 (1990) 608
• Y. Wei, J. Wang, H. Guo, Phys. Ред. B 62 (2000) 9947
• Y. Wei1, J. Wang, H. Guo, C. Roland Phys. Ред. B 64 (2001) 115321
• Q. Niu, Phys. Ред. B 34 (1986) 5093
• J. A. Chiang, Q. Niu, Phys. Ред. A 57 (1998) 2278
• Ф. Хеккинг и Ю. Назаров, Phys Rev. B 44 (1991) 11506
• М. Г. Вавилов, В. Амбегаокар, И. Алейнер, Phys Rev. B 63 (2001) 195313
• В. Кащеев, А. Агарони, О. Энтин-Вольман, Eur. Phys. J. B 39 (2004) 385
• В. Кащеев, А. Агарони, О. Энтин-Вольман Phys. Ред. B 69 (2004) 195301
• О. Энтин-Вольман, А. Агарони, В. Кащеев, J. Физического общества Японии 72, Supp. А (2003) 77
• O. Entin-Wohlman, A. Aharony Phys. Ред. B 66 (2002) 035329
• O. Entin-Wohlman, A. Aharony, Y. Levinson Phys. Ред. B 65 (2002) 195411
• Ю. Левинсон, О. Энтин-Вольман и П. Вёльфле Physica A 302 (2001) 335
• L. E. F. Foa Torres Phys. Ред. B 72 (2005) 245339