Векторная модель атома - Vector model of the atom

"Векторная модель атома" перенаправляется сюда. О модели, предложенной Нильсом Бором, см. Модель атома Бора.

В физика, конкретно квантовая механика, то векторная модель атома это модель из атом с точки зрения угловой момент.^[1] Его можно рассматривать как продолжение Модель атома Резерфорда – Бора – Зоммерфельда. к многоэлектронным атомам.

Вступление

Иллюстрация векторной модели орбитального углового момента.

Модель представляет собой удобное представление угловых моментов электронов в атоме. Угловой момент всегда делится на орбитальный. L, вращение S и всего J:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$

Учитывая, что в квантовой механике угловой момент квантован и существует соотношение неопределенности для компонентов каждого вектора, представление оказывается довольно простым (хотя базовая математика довольно сложна). Геометрически это дискретный набор прямоугольных конусов без кругового основания, в котором оси всех конусов выстроены на одной общей оси, обычно это ось z для трехмерных декартовых координат.^[2] Ниже приводится предыстория этой конструкции.

Математические основы угловых моментов

Конусы спинового углового момента, показанные здесь для частицы со спином 1/2

Коммутатор означает, что для каждого из L, S, и Jв любой момент времени может быть измерена только одна компонента любого вектора углового момента; в то же время два других неопределенны. Коммутатор любых двух операторов углового момента (соответствующих направлениям компонентов) отличен от нуля. Ниже приводится краткое изложение соответствующей математики при построении векторной модели.

Коммутационные соотношения (используя Соглашение о суммировании Эйнштейна ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&[{\hat {L}}_{a},{\hat {L}}_{b}]=i\hbar \varepsilon _{abc}{\hat {L}}_{c}\\&[{\hat {S}}_{a},{\hat {S}}_{b}]=i\hbar \varepsilon _{abc}{\hat {S}}_{c}\\\end{aligned}}}$

куда

• L = (L₁, L₂, L₃), S = (S₁, S₂, S₃) и J = (J₁, J₂, J₃) (они соответствуют L = (L_Икс, L_у, L_z), S = (S_Икс, S_у, S_z) и J = (J_Икс, J_у, J_z) в декартовых координатах),
• а, б, c ∊ {1,2,3} - индексы, обозначающие компоненты угловых моментов
• ε_abc это 3-индексный тензор перестановки в 3-д.

Величины L, S и J тем не мение может быть измеренным одновременно, так как коммутация квадрата оператора углового момента (полная результирующая, а не компоненты) с любой одной компонентой равна нулю, поэтому одновременное измерение ${\displaystyle {\hat {L}}_{a}}$ с ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}}$, ${\displaystyle {\hat {S}}_{a}}$ с ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ и ${\displaystyle {\hat {J}}_{a}}$ с ${\displaystyle {\hat {J}}^{2}}$ удовлетворить:

${\displaystyle {\begin{aligned}&[{\hat {L}}_{a},{\hat {L}}^{2}]=0\\&[{\hat {S}}_{a},{\hat {S}}^{2}]=0\\&[{\hat {J}}_{a},{\hat {J}}^{2}]=0\\\end{aligned}}}$

Величины удовлетворяют всем следующим требованиям с точки зрения операторов и компонент вектора:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2},\\&{\hat {S}}^{2}={\hat {S}}_{x}^{2}+{\hat {S}}_{y}^{2}+{\hat {S}}_{z}^{2}\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {S} =S^{2}=S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2},\\&{\hat {J}}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {J} \cdot \mathbf {J} =J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2},\\\end{aligned}}}$

и квантовые числа:

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\mathbf {L} |=\hbar {\sqrt {\ell (\ell +1)}},\quad L_{z}=m_{\ell }\hbar ,\\&|\mathbf {S} |=\hbar {\sqrt {s(s+1)}},\quad S_{z}=m_{s}\hbar ,\\&|\mathbf {J} |=\hbar {\sqrt {j(j+1)}},\quad J_{z}=m_{j}\hbar ,\\\end{aligned}}}$

куда

• ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, это азимутальное квантовое число,
• s, это квантовое число спина присущие типу частицы,
• j, это квантовое число полного углового момента,

которые соответственно принимают значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{\ell }\in \{-\ell ,-(\ell -1)\cdots \ell -1,\ell \},\quad \ell \in \{0,1\cdots n-1\}\\&m_{s}\in \{-s,-(s-1)\cdots s-1,s\},\\&m_{j}\in \{-j,-(j-1)\cdots j-1,j\},\\&m_{j}=m_{\ell }+m_{s},\quad j=|\ell +s|\\\end{aligned}}}$

Эти математические факты предполагают континуум всех возможных угловых моментов для соответствующего заданного квантового числа:

1. Одно направление постоянно, два других - переменное.
2. Величина векторов должна быть постоянной (для определенного состояния, соответствующего квантовому числу), поэтому две неопределенные компоненты каждого из векторов должны быть ограничены кругом таким образом, чтобы измеримые и неизмеримые компоненты ( в момент времени) позволяют правильно построить величины для всех возможных неопределенных компонентов.

Геометрический результат - конус векторов, вектор начинается на вершине конуса, а его вершина достигает окружности конуса. Обычно для измеряемой составляющей углового момента используется z-компонента, поэтому ось конуса должна быть осью z, направленной от вершины к плоскости, определяемой круговым основанием конуса, перпендикулярно плоскости. . Для разных квантовых чисел конусы разные. Итак, есть дискретный число состояний, в которых могут быть угловые моменты, определяемые указанными выше возможными значениями для ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, s, и j. Используя предыдущую настройку вектора как части конуса, каждое состояние должно соответствовать конусу. Это для увеличения ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, s, и j, и уменьшая ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, s, и j> Отрицательные квантовые числа соответствуют конусам, отраженным в Икс-у самолет. Одно из этих состояний для квантового числа, равного нулю, явно не соответствует конусу, а только кругу в Икс-у самолет.

Количество конусов (включая вырожденную плоскую окружность) равно множественности состояний, ${\displaystyle \scriptstyle 2\ell +1}$.

Модель Бора

Это можно считать продолжением Модель Бора потому что Нильс Бор также предложенный угловой момент был квантован в соответствии с:

${\displaystyle L=m\hbar }$

куда м является целым числом, дает правильные результаты для атома водорода. Хотя модель Бора не применима к многоэлектронным атомам, это было первое успешное квантование углового момента, приложенного к атому, предшествующее векторной модели атома.

Сложение угловых моментов

Для одноэлектронных атомов (например, водорода) существует только один набор конусов для вращающегося электрона. Для многоэлектронных атомов существует много состояний из-за увеличения количества электронов.

Угловые моменты всех электронов в атоме добавить векторно. Большинство атомных процессов, оба ядерный и химический (электронная) - кроме абсолютно стохастический процесс радиоактивный распад - определяются спаривание и связь угловых моментов из-за соседнего нуклоны и электроны. Термин «связь» в этом контексте означает суперпозицию векторов угловых моментов, то есть величины и направления складываются.

В многоэлектронных атомах векторная сумма двух угловых моментов равна:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {J} _{2}\,\!}$

для z-компоненты прогнозируемые значения:

${\displaystyle J_{z}=J_{1z}+J_{2z}\,\!}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {J} _{z}=m_{j}\hbar \\&\mathbf {J} _{1z}=m_{j_{1}}\hbar \\&\mathbf {J} _{2z}=m_{j_{2}}\hbar \\\end{aligned}}\,\!}$

и величины:

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\mathbf {J} |=\hbar {\sqrt {j(j+1)}}\\&|\mathbf {J} _{1}|=\hbar {\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}\\&|\mathbf {J} _{2}|=\hbar {\sqrt {j_{2}(j_{2}+1)}}\\\end{aligned}}}$

в котором

${\displaystyle j\in \{|j_{1}-j_{2}|,|j_{1}-j_{2}|-1\cdots j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}\}\,\!}$

Этот процесс может повторяться для третьего электрона, затем четвертого и т. Д., Пока не будет найден полный угловой момент.

LS муфта

Основная статья: LS муфта

Изображение соединения L-S. Полный угловой момент J фиолетовый, орбитальный L синий и крутится S зеленый.

Процесс сложения всех угловых моментов вместе является трудоемкой задачей, поскольку результирующие импульсы не являются определенными, все конусы прецессирующих импульсов вокруг оси z должны быть включены в расчет. Это можно упростить с помощью некоторых разработанных приближений, таких как Муфта Рассела-Сондерса схема в L-S муфта, названный в честь Х. Н. Рассела и Ф. А. Сондерса (1925).^[3]

Смотрите также

• Коэффициенты Клебша – Гордана
• L-S муфта
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Сферическая основа

Рекомендации

1. Quanta: Справочник концепций, П. Аткинс, Oxford University Press, 1974, ISBN  0-19-855493-1
2. Физическая химия, П. Аткинс, Oxford University Press, 1978, ISBN  0-19-855148-7
3. Russell, H.N .; Сондерс, Ф. А. (1925). «Новые закономерности в спектрах щелочных земель». Астрофизический журнал. 61: 38–69. Дои:10.1086/142872.

• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985 г., ISBN  978-0-471-87373-0

дальнейшее чтение

• Атомная теория многих тел, I. Lindgren, J. Morrison, Springer-Verlag Series in: Chemical Physics N^о13, 1982, ISBN, Монография для выпускников по теории многих тел в контексте углового момента, с большим упором на графическое представление и методы.
• Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл, 2005 г., ISBN  0-07-145546-9