Конкурс Курно - Cournot competition - Wikipedia

Конкурс Курно является экономический Модель, используемая для описания отраслевой структуры, в которой компании конкурируют за объем производства, который они будут производить, который они принимают независимо друг от друга и одновременно. Он назван в честь Антуан Огюстен Курно (1801–1877), вдохновленный наблюдением за соревнованиями в родниковой воде. дуополия.^[1] Он имеет следующие особенности:

• Существует более одной фирмы, и все фирмы производят однородный товар, т.е. нет дифференциация продукта;
• Фирмы не сотрудничают, т.е. нет сговор;
• Фирмы имеют рыночная власть, т.е. решение каждой фирмы о выпуске влияет на цену товара;
• Количество фирм фиксировано;
• Фирмы соревнуются в количествах и одновременно выбирают количества;
• Фирмы экономически рациональны и действовать стратегически, обычно стремясь максимизировать прибыль с учетом решений своих конкурентов.

Существенным допущением этой модели является «не предположение» о том, что каждая фирма стремится максимизировать прибыль, основанное на ожидании того, что ее собственное решение о выпуске не повлияет на решения ее конкурентов. Цена - это общеизвестная убывающая функция от общей суммы. выход. Все фирмы знают ${\displaystyle N}$, общее количество фирм на рынке, а объем производства остальных принимается как данность. У каждой фирмы есть функция стоимости ${\displaystyle c_{i}(q_{i})}$. Обычно функции затрат рассматриваются как общеизвестные. Функции затрат могут быть одинаковыми или разными для разных фирм. Рыночная цена устанавливается на таком уровне, что требовать равняется общему количеству, произведенному всеми фирмами. каждая фирма принимает количество, установленное ее конкурентами, как данность, оценивает свой остаточный спрос и затем ведет себя как монополия.

История

Состояние равновесия ... поэтому стабильный; то есть, если один из продюсеров, введенный в заблуждение относительно его истинных интересов, временно покинет его, он будет возвращен к нему.

— Антуан Огюстен Курно, Recherches sur les Principes Mathematiques de la Theorie des Richesses (1838), перевод Бэкона (1897).

Антуан Огюстен Курно (1801-1877) впервые изложил свою теорию конкуренции в своей книге 1838 года. Recherches sur les Principes Mathematiques de la Theorie des Richesses как способ описания конкуренции с рынком родниковой воды, на котором доминируют два поставщика ( дуополия ).^[2] Эта модель была одной из тех, которые Курно изложил в томе «явно и с математической точностью».^[3] В частности, Курно построил функции прибыли для каждой фирмы, а затем использовал частичная дифференциация построить функцию, представляющую фирму лучший ответ для заданных (экзогенных) уровней выпуска другой фирмы (фирм) на рынке.^[3] Затем он показал, что устойчивое равновесие возникает там, где эти функции пересекаются (т. Е. Одновременное решение функций наилучшего отклика каждой фирмы).^[3]

Следствием этого является то, что в состоянии равновесия ожидания каждой фирмы относительно того, как будут действовать другие фирмы, оказываются верными; когда все раскрыто, ни одна фирма не хочет менять свое решение о выпуске.^[1] Эта идея стабильности позже была принята и расширена как описание Равновесия Нэша, подмножеством которых являются равновесия Курно.^[3]

Графическое нахождение дуополистического равновесия Курно

В этом разделе представлен анализ модели с двумя фирмами и постоянным предельная стоимость.

${\displaystyle p_{1}}$ = твердая цена 1, ${\displaystyle p_{2}}$ = твердая цена 2

${\displaystyle q_{1}}$ = количество фирмы 1, ${\displaystyle q_{2}}$ = количество фирмы 2

${\displaystyle c}$ = предельная стоимость, идентичны для обеих фирм

Равновесие цены будут:

${\displaystyle p_{1}=p_{2}=P(q_{1}+q_{2})}$

Это означает, что прибыль фирмы 1 определяется выражением ${\displaystyle \Pi _{1}=q_{1}(P(q_{1}+q_{2})-c)}$

• Рассчитайте остаточный спрос фирмы 1: предположим, что фирма 1 считает, что фирма 2 производит количество ${\displaystyle q_{2}}$. Какое оптимальное количество для фирмы 1? Рассмотрим диаграмму 1. Если фирма 1 решает ничего не производить, то цена определяется как ${\displaystyle P(0+q_{2})=P(q_{2})}$. Если фирма 1 производит ${\displaystyle q_{1}'}$ тогда цена определяется как ${\displaystyle P(q_{1}'+q_{2})}$. В более общем плане для каждого количества, которое фирма 1 может решить установить, цена задается кривой ${\displaystyle d_{1}(q_{2})}$. Кривая ${\displaystyle d_{1}(q_{2})}$ называется остаточным спросом фирмы 1; он дает все возможные комбинации количества и цены фирмы 1 для данного значения ${\displaystyle q_{2}}$.

• Определите оптимальный объем производства фирмы 1: для этого мы должны найти, где предельный доход равняется предельной стоимости. Предполагается, что предельные затраты (c) постоянны. Маржинальный доход - это кривая - ${\displaystyle r_{1}(q_{2})}$ - с двукратным уклоном ${\displaystyle d_{1}(q_{2})}$ и с таким же вертикальным перехватом. Точка, в которой две кривые (${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle r_{1}(q_{2})}$) пересечение соответствует величине ${\displaystyle q_{1}''(q_{2})}$. Оптимум фирмы 1 ${\displaystyle q_{1}''(q_{2})}$, зависит от того, что, по его мнению, делает фирма 2. Чтобы найти равновесие, мы выводим оптимум фирмы 1 для других возможных значений ${\displaystyle q_{2}}$. На диаграмме 2 рассматриваются два возможных значения ${\displaystyle q_{2}}$. Если ${\displaystyle q_{2}=0}$, то остаточный спрос первой фирмы фактически является рыночным спросом, ${\displaystyle d_{1}(0)=D}$. Оптимальное решение для фирмы 1 - выбрать монополия количество; ${\displaystyle q_{1}''(0)=q^{m}}$ (${\displaystyle q^{m}}$ монопольное количество). Если бы фирма 2 выбрала количество, соответствующее идеальное соревнование, ${\displaystyle q_{2}=q^{c}}$ такой, что ${\displaystyle P(q^{c})=c}$, то оптимумом для фирмы 1 было бы произвести ноль: ${\displaystyle q_{1}''(q^{c})=0}$. Это точка, в которой предельные затраты пересекают предельный доход, соответствующий ${\displaystyle d_{1}(q^{c})}$.

• Можно показать, что при линейном спросе и постоянных предельных затратах функция ${\displaystyle q_{1}''(q_{2})}$ также линейный. Поскольку у нас есть две точки, мы можем нарисовать всю функцию ${\displaystyle q_{1}''(q_{2})}$см. диаграмму 3. Обратите внимание на то, что ось графиков изменилась. Функция ${\displaystyle q_{1}''(q_{2})}$ является функцией реакции фирмы 1, она дает фирме 1 оптимальный выбор для каждого возможного выбора фирмы 2. Другими словами, она дает фирме 1 выбор с учетом того, что, по ее мнению, делает фирма 2.

• Последний этап нахождения равновесия Курно - нахождение функции реакции фирмы 2. В этом случае он симметричен фирме 1, поскольку у них одинаковая функция затрат. Равновесие - это точка пересечения кривых реакции. См. Диаграмму 4.

• Прогноз модели состоит в том, что фирмы выберут равновесие по Нэшу уровни вывода.

Расчет равновесия

В самых общих чертах, пусть функция цены для отрасли (дуополии) будет ${\displaystyle P(q_{1}+q_{2})}$ и фирма ${\displaystyle i}$ иметь структуру затрат ${\displaystyle C_{i}(q_{i})}$. Для расчета равновесия по Нэшу функции наилучшего отклика фирм необходимо сначала рассчитать.

Прибыль фирмы i равна выручке за вычетом затрат. Выручка - это произведение цены и количества, а стоимость определяется функцией затрат фирмы, поэтому прибыль (как описано выше):${\displaystyle \Pi _{i}=P(q_{1}+q_{2})\cdot q_{i}-C_{i}(q_{i})}$. Лучший ответ - найти значение ${\displaystyle q_{i}}$ что максимизирует ${\displaystyle \Pi _{i}}$ данный ${\displaystyle q_{j}}$, с ${\displaystyle i\neq j}$, т. е. при некотором выпуске фирмы-соперника находится выпуск, который максимизирует прибыль. Следовательно, максимум ${\displaystyle \Pi _{i}}$ относительно ${\displaystyle q_{i}}$ нужно найти. Сначала возьмем производную от ${\displaystyle \Pi _{i}}$ относительно ${\displaystyle q_{i}}$:

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{i}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}+P(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}}$

Установка этого значения в ноль для максимизации:

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{i}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}+P(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0}$

Ценности ${\displaystyle q_{i}}$ которые удовлетворяют этому уравнению, являются лучшими ответами. Равновесия Нэша - это когда оба ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$ являются лучшими ответами с учетом этих значений ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$.

Пример

Предположим, отрасль имеет следующую структуру цен: ${\displaystyle P(q_{1}+q_{2})=a-(q_{1}+q_{2})}$ Прибыль фирмы ${\displaystyle i}$ (со структурой затрат ${\displaystyle C_{i}(q_{i})}$ такой, что ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}^{2}}}=0}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{j}}}=0,j\neq i}$ для простоты вычислений) составляет:

${\displaystyle \Pi _{i}={\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}\cdot q_{i}-C_{i}(q_{i})}$

Проблема максимизации разрешается (из общего случая):

${\displaystyle {\frac {\partial {\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0}$

Не умаляя общности, рассмотрим проблему фирмы 1:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \ -q_{1}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{1}={\frac {a-q_{2}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2}}}$

По симметрии:

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{2}={\frac {a-q_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}}$

Это функции наилучшего реагирования фирм. Для любого значения ${\displaystyle q_{2}}$, фирма 1 лучше всего отвечает любым значением ${\displaystyle q_{1}}$ что удовлетворяет вышесказанному. В равновесии по Нэшу обе фирмы будут играть наилучшие ответы, поэтому решение приведенных выше уравнений одновременно. Замена на ${\displaystyle q_{2}}$ в лучшем ответе фирмы 1:

${\displaystyle \ q_{1}={\frac {a-\left({\frac {a-q_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}\right)-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{1}^{*}={\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-2*{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{3}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{2}^{*}={\frac {a+{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}-2*{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{3}}}$

Симметричное равновесие по Нэшу находится при ${\displaystyle (q_{1}^{*},q_{2}^{*})}$. Делая подходящие допущения для частных производных (например, предполагая, что затраты каждой фирмы являются линейной функцией количества и, таким образом, используя наклон этой функции в расчетах), равновесные количества могут быть заменены в предполагаемой структуре цен отрасли. ${\displaystyle P(q_{1}+q_{2})=a-(q_{1}+q_{2})}$ для получения равновесной рыночной цены.

Конкуренция Курно со многими фирмами и теорема Курно

Для произвольного количества фирм ${\displaystyle N>1}$количество и цена могут быть получены аналогично приведенному выше. При линейном спросе и идентичных постоянных предельных издержках равновесные значения следующие:

Рыночный спрос; ${\displaystyle \ p(q)=a-bq=a-bQ=p(Q)}$

Функция стоимости; ${\displaystyle \ c_{i}(q_{i})=cq_{i}}$, для всех я

${\displaystyle \ q_{i}=Q/N={\frac {a-c}{b(N+1)}},}$

что является продуктом каждой отдельной фирмы

${\displaystyle \sum q_{i}=Nq={\frac {N(a-c)}{b(N+1)}},}$

что является общим объемом производства в отрасли

${\displaystyle \ p=a-b(Nq)={\frac {a+Nc}{N+1}},}$

которая является рыночной ценой клиринга, и

${\displaystyle \Pi _{i}=\left({\frac {a-c}{N+1}}\right)^{2}\left({\frac {1}{b}}\right)}$ , которая представляет собой прибыль каждой отдельной фирмы.

Затем теорема Курно утверждает, что при отсутствии постоянных издержек производства количество фирм на рынке N, уходит в бесконечность, выпуск рынка, Nq, выходит на уровень конкуренции, и цена приближается к предельным издержкам.

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }p=c}$

Следовательно, для многих фирм рынок Курно приближается к рынку с совершенной конкуренцией. Этот результат можно обобщить на случай фирм с различной структурой затрат (при соответствующих ограничениях) и нелинейным спросом.

Однако, когда рынок характеризуется постоянными издержками производства, мы можем эндогенизировать количество конкурентов, воображающих, что фирмы выходят на рынок, пока их прибыль не станет нулевой. В нашем линейном примере с ${\displaystyle N}$ фирм, когда фиксированные издержки для каждой фирмы ${\displaystyle F}$, имеем эндогенное количество фирм:

${\displaystyle N={\frac {a-c}{\sqrt {Fb}}}-1}$

и производство для каждой фирмы, равное:

${\displaystyle q={\frac {\sqrt {Fb}}{b}}}$

Это равновесие обычно известно как равновесие Курно с эндогенным входом или равновесие Маршалла.^[4]

Подразумеваемое

• При дуополии Курно выпуск больше, чем при монополии, но ниже, чем при совершенной конкуренции.
• Цена при дуополии Курно ниже, чем при монополии, но не так низка, как при совершенной конкуренции.
• Согласно этой модели у фирм есть стимул к формированию картеля, что фактически превращает модель Курно в монополию. Картели, как правило, незаконны, поэтому фирмы могут вместо этого тайно вступать в сговор, используя самовнушающие стратегии для сокращения выпуска, которые, при прочих равных условиях повысит цену и, таким образом, увеличит прибыль всех участвующих фирм.

Бертран против Курно

Хотя обе модели имеют схожие предположения, они имеют очень разные последствия:

• Поскольку Модель Бертрана предполагает, что фирмы конкурируют по цене, а не по объему выпуска, предсказывает, что дуополия достаточно, чтобы снизить цены до уровня предельных затрат, а это означает, что дуополия приведет к идеальное соревнование.
• Ни одна из моделей не обязательно «лучше». Точность прогнозов каждой модели будет варьироваться от отрасли к отрасли, в зависимости от близости каждой модели к ситуации в отрасли.
• Если мощность и объем производства можно легко изменить, Бертран - лучшая модель дуополистической конкуренции. Если производительность и мощность сложно настроить, то Курно, как правило, является лучшей моделью.
• При некоторых условиях модель Курно может быть преобразована в двухэтапную модель, где на первом этапе фирмы выбирают мощности, а на втором этапе они конкурируют в стиле Бертрана.

Однако по мере того, как число фирм увеличивается до бесконечности, модель Курно дает тот же результат, что и модель Бертрана: рыночная цена снижается до уровня предельных затрат.

Смотрите также

• Агрегатная игра
• Конкурс Бертрана
• Модель Бертрана – Эджворта
• Предполагаемая вариация
• Теория игры
• равновесие по Нэшу
• Соревнование Штакельберга
• Молчаливый сговор

Рекомендации

1. Вариан, Хэл Р. (2006). Промежуточная микроэкономика: современный подход (7-е изд.). W. W. Norton & Company. п. 490. ISBN  0-393-92702-4.
2. Ван ден Берг и др. 2011 г., п. 1 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFVan_den_BergBosHeringsPeters2011 (помощь)
3. Моррисон 1998 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMorrison1998 (помощь)
4. Этро, Федерико. Простые модели конкуренции В архиве 2011-10-05 на Wayback Machine, стр. 6, Департамент политической экономии - Миланский университет Бикокка, ноябрь 2006 г.

• Холт, Чарльз. Игры и стратегическое поведение (PDF-версия), PDF
• Тироль, Жан. Теория промышленной организации, MIT Press, 1988.
• Теория олигоплей стала простой, Глава 6 Экономика серфинга к Хью Диксон.