Пара Гельфанда - Gelfand pair

В математика, а Пара Гельфанда пара (G, K) состоящий из группа грамм и подгруппа K (называется Подгруппа Эйлера из грамм), удовлетворяющая определенному свойству на ограниченные представления. Теория пар Гельфанда тесно связана с темой сферические функции в классической теории специальные функции, и к теории Римановы симметрические пространства в дифференциальная геометрия. Вообще говоря, теория существует для того, чтобы абстрагироваться от этих теорий их содержания с точки зрения гармонический анализ и теория представлений.

Когда грамм это конечная группа простейшее определение, грубо говоря, что (К, К)-двойной смежные классы в грамм ездить. Точнее, Алгебра Гекке, алгебра функций на грамм которые инвариантны относительно трансляции с обеих сторон K, должен быть коммутативным для свертка на грамм.

В общем, определение пары Гельфанда примерно такое, что ограничение на ЧАС любой неприводимое представление из грамм содержит тривиальное представление из ЧАС с кратностью не более 1. В каждом случае необходимо указать класс рассматриваемых представлений и значение содержащихся.

Определения

В каждой области класс представлений и определение включения представлений немного различаются. Здесь даны явные определения для нескольких таких случаев.

Конечный групповой случай

Когда грамм это конечная группа следующие эквивалентны

• (G, K) пара Гельфанда.
• Алгебра (К, К)-двойные инвариантные функции на грамм с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого неприводимого представления π из грамм, космос π^K из K-инвариантный векторов в π является не более чем одномерным.
• Для любого неприводимого представления π из грамм, размерность Hom_K(π, C) меньше или равно 1, где C обозначает тривиальное представление.
• В перестановочное представление из грамм на смежных классах K не имеет кратностей, т. е. распадается на прямая сумма различных абсолютно несводимый представительства в характеристика нуль.
• В централизаторная алгебра (Алгебра Шура ) перестановочного представления коммутативный.
• (грамм/N, K/N) - пара Гельфанда, где N это нормальная подгруппа из грамм содержалась в K.

Компактный групповой корпус

Когда грамм это компактная топологическая группа следующие эквивалентны:

• (G, K) пара Гельфанда.
• Алгебра (К, К)-двойной инвариант компактно поддерживается непрерывный меры на грамм с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого непрерывный, локально выпуклый, неприводимое представление π из грамм, космос π^K из K-инвариантный векторов в π является не более чем одномерным.
• Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π из грамм размерность Hom_K(π,C) меньше или равно 1.
• Представление L²(Г / К) из грамм свободна от кратностей, т.е. представляет собой прямую сумму различных унитарный неприводимые представления.

Группа Ли с компактной подгруппой

Когда грамм это Группа Ли и K является компактной подгруппой, следующие эквивалентны:

• (G, K) пара Гельфанда.
• Алгебра (К, К)-двойной инвариант компактно поддерживается непрерывный меры на грамм с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Алгебра Д (Г / К)^K из K-инвариантный дифференциальные операторы на G / K коммутативен.
• Для любого непрерывный, локально выпуклый, неприводимое представление π из грамм, космос π^K из K-инвариантный векторов в π является не более чем одномерным.
• Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π из грамм размерность Hom_K(π, C) меньше или равно 1.
• Представление L²(Г / К) из грамм свободна от множественности, т.е. прямой интеграл различных унитарный неприводимые представления.

Для классификации таких пар Гельфанда см.^[1]

Классическими примерами таких пар Гельфанда являются (G, K), куда грамм это редуктивная группа Ли и K это максимальная компактная подгруппа.

Локально компактная топологическая группа с компактной подгруппой

Когда грамм это локально компактный топологическая группа и K является компактной подгруппой, следующие эквивалентны:

• (G, K) пара Гельфанда.
• Алгебра (К, К)-двойной инвариант компактно поддерживается непрерывный меры на грамм с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого непрерывный локально выпуклый неприводимое представление π из грамм, космос π^K из K-инвариантный векторов в π является не более чем одномерным.
• Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π из грамм, размерность Hom_K(π, C) меньше или равно 1.
• Представление L²(Г / К) из грамм свободна от множественности, т.е. прямой интеграл различных унитарный неприводимые представления.

В этой обстановке грамм имеет Ивасава -Monod разложение, а именно G = K P для некоторых послушный подгруппа п из грамм.^[2] Это абстрактный аналог Разложение Ивасавы из полупростые группы Ли.

Группа Ли с замкнутой подгруппой

Когда грамм это Группа Ли и K это закрытая подгруппа, пара (G, K) называется обобщенной парой Гельфанда, если для любого неприводимого унитарное представительство π из грамм на Гильбертово пространство размерность Hom_K(π, C) меньше или равно 1, где π^∞ обозначает подпредставление гладкие векторы.

Редуктивная группа над локальным полем с замкнутой подгруппой

Когда грамм это восстановительная группа через местное поле и K - замкнутая подгруппа, в литературе встречаются три (возможно, неэквивалентные) понятия пары Гельфанда. Мы назовем их здесь GP1, GP2 и GP3.

GP1) Для любого неприводимого допустимого представления π из грамм размерность Hom_K(π, C) меньше или равно 1.

GP2) Для любого неприводимого допустимого представления π из грамм у нас есть ${\displaystyle \dim \mathrm {Hom} _{K}(\pi ,\mathbf {C} )\cdot \dim \mathrm {Hom} _{K}({\tilde {\pi }},\mathbf {C} )\leq 1}$, куда ${\displaystyle {\tilde {\pi }}}$ обозначает гладкий двойной.

GP3) Для любых неприводимых унитарное представительство π из грамм на Гильбертово пространство размерность Hom_K(π, C) меньше или равно 1.

Здесь, допустимое представительство обычное понятие допустимое представительство когда локальное поле неархимедово. Когда локальное поле архимедово, допустимое представительство вместо этого означает гладкий Фреше представление умеренного роста такой, что соответствующий модуль Хариш-Чандры допустимый.

Если локальное поле архимедово, то GP3 совпадает с обобщенным свойством Гельфанда, определенным в предыдущем случае.

Ясно, что GP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3.

Сильные пары Гельфанда

Пара (G, K) называется сильная пара Гельфанда если пара (грамм × K, ΔK) пара Гельфанда, где ∆K ≤ грамм × K диагональная подгруппа: {(к, к) в грамм × K : k в K}. Иногда это свойство также называют множественность одно свойство.

В каждом из перечисленных случаев можно адаптировать к сильным парам Гельфанда. Например, пусть грамм - конечная группа. Тогда следующие эквивалентны.

• (G, K) - сильная пара Гельфанда.
• Алгебра функций на грамм инвариантен относительно сопряжения K (с умножением, определяемым сверткой) коммутативен.
• Для любого неприводимое представление π из грамм и τ из K, пространство Hom_K(τ,π) не более чем одномерна.
• Для любого неприводимого представления π из грамм и τ из K, пространство Hom_K(π,τ) не более чем одномерна.

Критерии для собственности Гельфанда

Локально компактная топологическая группа с компактной подгруппой

В этом случае существует классический критерий, обусловленный Гельфанд для пары (G, K) быть Гельфандом: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ из грамм s.t. любой (К, К) двойной смежный класс σ инвариантный. Тогда пара (G, K) пара Гельфанда.

Этот критерий эквивалентен следующему: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ из грамм так что любая функция на грамм который инвариантен относительно правого и левого сдвигов на K является σ инвариантный. Тогда пара (G, K) пара Гельфанда.

Редуктивная группа над локальным полем с замкнутой подгруппой

В этом случае есть критерий из-за Гельфанд и Каждан для пары (G, K) чтобы удовлетворить GP2. Предположим, что существует инволютивный анти -автоморфизм σ из грамм такой, что любой (К, К)-двойной инвариант распределение на грамм является σ-инвариантный. Тогда пара (G, K) удовлетворяет GP2. Видеть.^[3][4][5]

Если приведенное выше утверждение верно только для положительно определенный распределений, то пара удовлетворяет GP3 (см. следующий случай).

Свойство GP1 часто следует из GP2. Например, это верно, если существует инволютивный анти -автоморфизм из грамм что сохраняет K и сохраняет каждый замкнутый класс сопряженности. За грамм = GL (п) такой инволюцией может служить транспозиция.

Группа Ли с замкнутой подгруппой

В этом случае существует следующий критерий пары (G, K) быть обобщенной парой Гельфанда. Предположим, что существует инволютивный анти -автоморфизм σ из грамм s.t. любой K × K инвариант положительно определенный распределение на грамм является σ-инвариантный. Тогда пара (G, K) - обобщенная пара Гельфанда. Видеть.^[6]

Критерии сильной собственности Гельфанда

Все вышеперечисленные критерии можно превратить в критерии сильных пар Гельфанда, заменив двустороннее действие K × K действием сопряжения K.

Скрученные пары Гельфанда

Обобщением понятия пары Гельфанда является понятие скрученной пары Гельфанда. А именно пара (G, K) называется скрученной парой Гельфанда относительно характера χ группы K, если свойство Гельфанда выполняется при замене тривиального представления на характер χ. Например, если K компактно, это означает, что размерность Hom_K(π, χ)) меньше или равно 1. Критерий для пар Гельфанда можно адаптировать к случаю скрученных пар Гельфанда.

Симметричные пары

Собственности Гельфанда часто удовлетворяют симметричные пары.

Пара (G, K) называется симметричная пара если существует инволютивный автоморфизм θ из грамм такой, что K является объединением компонент связности группы θ-инвариантные элементы: грамм^θ.

Если грамм это связаны восстановительная группа над р и К = G^θ компактный подгруппа тогда (G, K) пара Гельфанда. Пример: грамм = GL (п,р) и K = O (п,р), подгруппа ортогональных матриц.

Вообще, это интересный вопрос, когда симметрическая пара редуктивной группы над местное поле обладает свойством Гельфанда. Для симметричных пар ранга один этот вопрос исследовался в^[7] и^[8]

Примером симметричной пары Гельфанда высокого ранга является (GL (п + к), GL (п) × GL (k)). Это было доказано в^[9] над неархимедовыми локальными полями и позже в^[10] для всех локальных полей характеристика нуль.

Подробнее об этом вопросе для симметричных пар высокого ранга см.^[11]

Сферические пары

В контексте алгебраических групп аналоги пар Гельфанда называются сферическая пара. А именно пара (G, K) алгебраических групп называется сферической парой, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий.

• Существует открытый (B, K)-двойной смежный класс в грамм, куда B это Подгруппа Бореля из грамм.
• Есть конечное число (B, K)-двойной смежный класс в грамм
• Для любого алгебраического представления π из грамм, у нас тусклый π ^ К ≤ 1.

В этом случае пространство Г / ч называется сферическое пространство.

Предполагается, что любая сферическая пара (G, K) над локальным полем удовлетворяет следующей слабой версии свойства Гельфанда: для любого допустимого представления π из грамм, пространство Hom_K(π,C) конечномерно. Более того, оценка этой размерности не зависит от π. Эта гипотеза доказана для большого класса сферических пар, включая все симметричные пары.^[12]

Приложения

Классификация

Пары Гельфанда часто используются для классификации неприводимых представлений следующим образом: Пусть (G, K) быть парой Гельфанда. Неприводимое представление группы G, называемое K-отличается, если Hom_K(π,C) одномерно. Представление Ind^грамм
_K(C) модель для всех K-выделенные представления, т.е. любые K-различенное представление появляется там с кратностью ровно 1. Аналогичное понятие существует для скрученных пар Гельфанда.

Пример: Если грамм редуктивная группа над локальным полем, а K ее максимальная компактная подгруппа, то K выделенные представления называются сферический, такие представления можно классифицировать с помощью Сатаке переписка. Понятие сферического представления лежит в основе понятия Модуль Хариш-Чандры.

Пример: Если грамм является расщепленная восстановительная группа над местным полем и K это его максимальная унипотентная подгруппа тогда пара (G, K) скрученная пара Гельфанда относительно любой невырожденный характер ψ (см.^[3][13]). В этом случае K-выделенные представления называются общий (или невырожденные), и их легко классифицировать. Почти любое неприводимое представление является общим. Единственное (с точностью до скаляра) вложение общего представления в Ind^грамм
_K(ψ) называется Модель Уиттакера.

В случае грамм= GL (п) существует более тонкий вариант предыдущего результата, а именно, существует конечная последовательность подгрупп K_я и персонажи ${\displaystyle \psi _{i}}$ s.t. (грамм,K_я) является скрученной парой Гельфанда относительно ${\displaystyle \psi _{i}}$ и любое неприводимое унитарное представление K_я отличился ровно одним я (видеть,^[14][15])

Конструкция Гельфанда – Цейтлина

Смотрите также: Интегрируемая система Гельфанда – Цейтлина.

Можно также использовать пары Гельфанда для построения базисов неприводимых представлений: предположим, что у нас есть последовательность {1} ⊂ грамм₁ ⊂ ... ⊂ грамм_п s.t. (ГРАММ_я,ГРАММ_я-1) - сильная пара Гельфанда. Для простоты предположим, что грамм_п компактный. Тогда это дает каноническое разложение любого неприводимого представления грамм_п к одномерным подпредставлениям. Когда грамм_п = U (п) (унитарная группа) эта конструкция называется Основа Гельфанда Цейтлина. Поскольку представления U (п) совпадают с алгебраическими представлениями GL (п), так что мы также получаем базис любого алгебраического неприводимого представления группы GL (п). Однако следует помнить, что построенный базис не является каноническим, поскольку зависит от выбора вложений U (я) ⊂ U (я + 1).

Расщепление периодов автоморфных форм

В последнее время пары Гельфанда используются для разделения периоды автоморфных форм.

Позволять грамм - редуктивная группа, определенная над глобальное поле F и разреши K - алгебраическая подгруппа в грамм. Предположим, что для любого место ${\displaystyle \nu }$ из F пара (грамм, K) - пара Гельфанда над завершение ${\displaystyle F_{\nu }}$. Позволять м быть автоморфная форма над грамм, то его ЧАС-период расщепляется как продукт локальных факторов (т.е. факторов, которые зависят только от поведения м в каждом месте ${\displaystyle \nu }$).

Теперь предположим, что нам дано семейство автоморфных форм с комплексным параметромs. Тогда период этих форм является аналитической функцией, которая распадается на продукт локальных факторов. Часто это означает, что эта функция является определенной L-функция и это дает аналитическое продолжение и функциональное уравнение для этой L-функции.

Замечание: обычно эти периоды не сходятся, и их следует упорядочить.

Обобщение теории представлений

Возможный подход к теории представлений состоит в рассмотрении теории представлений группы грамм как гармонический анализ в группе грамм w.r.t. двустороннее действие G × G. В самом деле, чтобы знать все неприводимые представления грамм равносильно знать разложение пространства функций на грамм как G × G представление. В этом подходе теорию представлений можно обобщить, заменив пару (G × G, G) любой сферической парой (G, K). Затем мы перейдем к вопросу о гармоническом анализе на пространстве G / K w.r.t. действие грамм.

Теперь свойство Гельфанда пары (G, K) является аналогом Лемма Шура.

Используя этот подход, можно взять любые концепции теории представлений и обобщить их на случай сферической пары. Например, формула относительного следа получается из формула следа по этой процедуре.

Примеры

Конечные группы

Вот несколько распространенных примеров пар Гельфанда:

• (Сим (п+1), Сим (п)), симметричная группа действующий на п+1 точка и стабилизатор точки, который естественно изоморфен на п точки.
• (AGL (п, q), GL (п, q)), аффинная (общая линейная) группа и точечный стабилизатор, естественно изоморфный общая линейная группа.

Если (G, K) пара Гельфанда, то (грамм/N,K/N) является парой Гельфанда для любого грамм-нормальная подгруппа N из K. Для многих целей достаточно рассмотреть K без таких нетождественных нормальных подгрупп. Действие грамм на смежных классах K таким образом верен, поэтому тогда мы рассматриваем группы перестановок грамм с точечными стабилизаторами K. Быть парой Гельфанда эквивалентно ${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]\leq 1}$ для каждого χ в Ирр (грамм). С ${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]=[1\uparrow _{K}^{G},\chi ]}$ к Взаимность Фробениуса и ${\displaystyle 1\uparrow _{K}^{G}}$ является характером действия перестановки, группа перестановок определяет пару Гельфанда тогда и только тогда, когда символ перестановки является так называемым свободный от множественности символ перестановки. Такие безкратные перестановочные характеры были определены для спорадические группы в (Брейер и Люкс 1996 ).

Это дает начало классу примеров конечных групп с парами Гельфанда: 2-транзитивные группы. А группа перестановок грамм является 2-переходный если стабилизатор K точечных актов переходно по остальным пунктам. Особенно, грамм то симметричная группа на п+1 балл и K симметрическая группа на п точек образует пару Гельфанда для каждого п≥1. Это следует потому, что действие 2-транзитивной перестановки имеет вид 1+χ для какого-то неприводимого персонажа χ и тривиальный персонаж  1, (Айзекс 1994, п. 69).

Действительно, если грамм является транзитивной группой подстановок, стабилизатор точки которой K имеет не более четырех орбит (включая тривиальную орбиту, содержащую только стабилизированную точку), то его кольцо Шура коммутативно и (G, K) пара Гельфанда, (Виландт 1964, п. 86). Если грамм это примитивная группа степени в два раза больше простого со стабилизатором точки K, затем снова (G, K) пара Гельфанда, (Виландт 1964, п. 97).

Пары Гельфанда (Sym (п),K) были отнесены к (Saxl 1981 ). Грубо говоря, K должны содержаться как подгруппа малых индекс в одной из следующих групп, если п меньше 18: Sym (п - к) × Sym (k), Sym (п/ 2) wr Sym (2), Sym (2) wr Sym (п/ 2) для п даже, Сим (п - 5) × AGL (1,5), Sym (п - 6) × PGL (2,5), или Sym (п - 9) × PΓL (2,8). Также были исследованы пары Гельфанда для классических групп.

Симметричные пары с компактными K

• (GL (п,р), O (п,р))
• (GL (п,C), U (п))
• (O (п + к,р), O (п,р) × O (k,р))
• (U (п + к), U (п) × U (k))
• (G, K) куда грамм это редуктивная группа Ли и K это максимальная компактная подгруппа.

Симметричные пары Гельфанда ранга один

Позволять F быть местное поле из характеристика нуль.

• (SL (п + 1, ж), GL (п, ж)) за п > 5.
• (Sp (2n + 2, Ж), Sp (2н, Ж)) × Sp (2,F)) за п > 4.
• (ТАК(V ⊕ F), ТАК(V)) куда V это векторное пространство над F с не-выродиться квадратичная форма.

Симметричные пары высокого ранга

Позволять F быть местное поле из характеристика нуль. Позволять грамм быть восстановительная группа над F. Ниже приведены примеры симметричных пар Гельфанда высокого ранга:

• (G × G, ΔG): Следует из Лемма Шура.
• (GL (п + к, F), GL (п, ж) × GL (k, F)).^[9][10]
• (GL (2п,F), Sp (2п,F)).^[16][17]
• (O (п + к,C), O (п,C) × O (k,C)).^[18]
• (GL (п,C), O (п,C)).^[18]
• (GL (n, E), GL (п, ж)), куда E является квадратичным расширением F.^[11][19]

Сильные пары Гельфанда

Следующие пары являются сильными парами Гельфанда:

• (Сим (п+1), Сим (п)), это доказывается с помощью инволютивный анти -автоморфизм г ↦ г⁻¹.
• (GL (п + 1, ж), GL (п, ж)) куда F это местное поле из характеристика нуль.^[20][21][22]
• (O (V ⊕ F), O (V)) куда V это векторное пространство над F с не-выродиться квадратичная форма.^[20][22]
• U (V ⊕ E), U (V)) куда E является квадратичным расширением F и V это векторное пространство над E с не-выродиться эрмитская форма.^[20][22]

Эти четыре примера можно перефразировать как утверждение, что следующие пары Гельфанда:

• (Сим (п+1) × Sym (п), Δ Sym (п)).
• (GL (п + 1, ж) × GL (п, ж), Δ GL (п, ж))
• (O (V ⊕ F) × O (V), Δ O (V))
• (U (V ⊕ E) × U (V), Δ U (V))

Смотрите также

• сферическая функция
• Симметричная пара
• Сферическая пара

Примечания

1. О. Якимова. Пары Гельфанда, Кандидатская диссертация подана в Боннский университет.
2. Николя Моно, «Пары Гельфанда допускают разложение Ивасавы». arXiv:1902.09497
3. И. М. Гельфанд, Д. Каждан, Представления группы GL (n, K), где K - локальное поле, группы Ли и их представления (Proc. Summer School, Bolyai János Math. Soc., Budapest, 1971), стр. 95 --118. Холстед, Нью-Йорк (1975).
4. А. Айзенбуд, Д. Гуревич, Э. Саяг: (GL_ {n + 1} (F), GL_n (F)) пара Гельфанда для любого локального поля F. arXiv:0709.1273
5. Вс, В .; Чжу, К.-Б. (2011), «Общая форма критерия Гельфанда-Каждана», Manuscripta Math., 136 (1–2): 185–197, arXiv:0903.1409, Дои:10.1007 / s00229-011-0437-х, МИСТЕР  2820401
6. E.G.F. Томас, Теорема Бохнера-Шварца-Годема для обобщенных пар Гельфанда, Функциональный анализ: обзоры и результаты III, Бирстедт, К.Д., Фухштайнер, Б. (ред.), Elsevier Science Publishers B.V. (Северная Голландия), (1984).
7. Г. ван Дейк. Об одном классе обобщенных пар Гельфанда, Матем. Z. 193, 581-593 (1986).
8. Bosman, E.P.H .; Ван Дейк, Г. (1994). «Новый класс пар Гельфанда». Geometriae Dedicata. 50 (3): 261–282. Дои:10.1007 / bf01267869.
9. Х. Жаке, С. Раллис, Единственность линейных периодов., Compositio Mathematica, том 102, н.у. 1, стр. 65-123 (1996).
10. А. Айзенбуд, Д. Гуревич, Архимедов аналог теоремы Жаке - Раллиса. arXiv:0709.1273
11. А. Айзенбуд, Д. Гуревич, Обобщенный спуск Хариш-Чандры и приложения к парам Гельфанда. arXiv:0803.3395
12. Яннис Сакелларидис и Акшай Венкатеш, «Периоды и гармонический анализ на сферических многообразиях». arXiv:1203.0039
13. J.A. Шалика, Теорема о кратности один для GL_п, Анна. математики. 100 (1974) 171–193. МИСТЕР348047
14. Омер Оффен, Эйтан Саяг, Глобальные смешанные периоды и локальные модели Клячко для общей линейной группы, arXiv:0710.3492
15. Омер Оффен, Эйтан Саяг, УНИКАЛЬНОСТЬ И РАЗЪЕДИНЕННОСТЬ МОДЕЛЕЙ КЛЯЧКО, arXiv:0710.3492
16. Heumos, Michael J .; Раллис, Стивен (1990). «Симплектические модели-Уиттекера для GLn». Pacific J. Math. 146 (2): 247–279. Дои:10.2140 / pjm.1990.146.247.
17. Э.Саяг (GL (2n, C), SP (2n, C)) - пара Гельфанда arXiv:0805.2625
18. А. Айзенбуд, Д. Гуревич. Некоторые правильные симметричные пары. arXiv:0805.2504
19. Ю.З. Мерцание: О выдающихся репрезентациях, Дж. Рейн Энджью. Математика. 418 (1991), 139-172.
20. Айзенбуд, Авраам; Гуревич, Дмитрий; Раллис, Стивен; Schiffmann, Gérard (2010), "Теоремы об единице кратности", Анналы математики, 172 (2): 1407–1434, arXiv:0709.4215, Дои:10.4007 / анналы.2010.172.1413, МИСТЕР  2680495
21. Айзенбуд, Авраам; Гуревич, Дмитрий (2009), "Теорема кратности один для (GL (п + 1, р), GL (п, р))", Selecta Math. (Н.С.), 15 (2): 271–294, arXiv:0808.2729, Дои:10.1007 / s00029-009-0544-7, МИСТЕР  2529937
22. Солнце, Биньонг; Чжу, Чен-Бо (2012), "Теоремы об единице кратности: Архимедов случай", Анналы математики, 175 (1): 23–44, arXiv:0903.1413, Дои:10.4007 / анналы.2012.175.1.2, МИСТЕР  2874638

Рекомендации

• Брейер, Т .; Люкс, К. (1996), "Характеры перестановок без кратности спорадических простых групп и их групп автоморфизмов", Коммуникации в алгебре, 24 (7): 2293–2316, Дои:10.1080/00927879608825701, МИСТЕР  1390375
• Айзекс, И. Мартин (1994), Теория характеров конечных групп, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-68014-9, МИСТЕР  0460423
• Саксл, Ян (1981), "О представлениях без кратности перестановок", Конечная геометрия и дизайн (Proc. Conf., Chelwood Gate, 1980), Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 49, Издательство Кембриджского университета, стр. 337–353, МИСТЕР  0627512
• ван Дейк, Геррит (2009), Введение в гармонический анализ и обобщенные пары Гельфанда, Де Грюйтер изучает математику, 36, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-022019-3
• Виландт, Гельмут (1964), Конечные группы перестановок, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, МИСТЕР  0183775