Курносый дисфеноид - Snub disphenoid

Курносый дисфеноид
Тип	Джонсон J83 - J84 - J85
Лица	4+8 треугольники
Края	18
Вершины	8
Конфигурация вершины	4(3^4) 4(3^5)
Группа симметрии	D2d
Двойной многогранник	Гиробифастигий удлиненный
Характеристики	выпуклый, дельтаэдр
Сеть

3D модель курносого дисфеноида

В геометрия, то курносый дисфеноид, Сиамский додекаэдр, треугольный додекаэдр, тригональный додекаэдр, или же додекадельтаэдр это трехмерный выпуклый многогранник с двенадцатью равносторонние треугольники как его лица. Это не правильный многогранник потому что некоторые вершины имеют четыре лица, а другие - пять. Это додекаэдр, один из восьми дельтаэдры (выпуклые многогранники с равносторонними треугольными гранями) и один из 92 Твердые тела Джонсона (неуниформа выпуклые многогранники с правильными гранями). Это можно рассматривать как квадратная антипризма где оба квадрата заменены двумя равносторонними треугольниками.

Курносый дисфеноид также является вершиной фигуры изогональный 13-5 ступенчатая призма, полихорон, построенный из 13-13 дуопризмы путем выбора вершины на трехугольник, затем выберите 5-ю вершину следующего трехугольника, пока не достигнете исходного трехугольника. Однако его нельзя сделать однородным, потому что курносый дисфеноид не имеет описанный круг.

История и нейминг

Эта форма получила название Сиамский додекаэдр в статье Ганс Фройденталь и Б. Л. ван дер Варден (1947), который впервые описал набор из восьми выпуклых дельтаэдры.^[1] В додекадельтаэдр имя было дано такой же форме Бернал (1964), имея в виду то, что это 12-гранный дельтаэдр. Есть другие симплициальные додекаэдры, такой как шестиугольная бипирамида, но это единственное, что можно реализовать с равносторонними гранями. Бернала интересовали формы отверстий, оставшихся в нерегулярных плотно упакованных сферах, поэтому он использовал ограничительное определение дельтаэдров, в котором дельтаэдр - это выпуклый многогранник с треугольными гранями, которые могут быть образованы центрами совокупности конгруэнтных сферы, касания которых представляют собой ребра многогранника, и такие, что нет места для упаковки другой сферы внутри клетки, созданной этой системой сфер. Это ограничительное определение запрещает треугольная бипирамида (как образование двух тетраэдрических отверстий, а не одного отверстия), пятиугольная бипирамида (поскольку сферы для его вершин взаимопроникают, поэтому он не может встречаться в сферических упаковках), и икосаэдр (потому что в нем есть внутреннее пространство для другой сферы). Бернал пишет, что курносый дисфеноид - «очень распространенный координация для ион кальция в кристаллография "^[2]. В координационной геометрии он обычно известен как тригональный додекаэдр или просто как додекаэдр.

В курносый дисфеноид имя происходит от Норман Джонсон классификация 1966 г. Твердые тела Джонсона, выпуклые многогранники, все грани которых правильные.^[3] Он существует первым в серии многогранников с осевой симметрией, поэтому его также можно назвать двуугольный гиробиантикупола.

Характеристики

Курносый дисфеноид - это 4-связный, что означает, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся вершины. Это один из четырех 4-х соединенных симплициальный хорошо покрытый многогранники, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством являются правильный октаэдр, то пятиугольная бипирамида, и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями.^[4]

Курносый дисфеноид имеет ту же симметрию, что и тетрагональный дисфеноид: он имеет ось симметрии вращения 180 °, проходящую через середины двух его противоположных краев, две перпендикулярные плоскости симметрия отражения через эту ось и четыре дополнительные операции симметрии, задаваемые отражением, перпендикулярным оси, за которым следует четверть оборота и, возможно, еще одно отражение, параллельное оси.^[5] То есть имеет D_2d антипризматическая симметрия, группа симметрии порядка 8.

Сферы с центром в вершинах курносого дисфеноида образуют кластер, который, согласно численным экспериментам, имеет минимально возможный Потенциал Леннарда-Джонса среди всех восьми сферных скоплений.^[6]

С точностью до симметрии и параллельного переноса курносый дисфеноид имеет пять типов простых (несамопересекающихся) закрытые геодезические. Это пути на поверхности многогранника, которые избегают вершин и локально выглядят как кратчайший путь: они следуют отрезкам прямых линий через каждую грань многогранника, которую они пересекают, и, когда они пересекают край многогранника, они образуют дополнительные углы на две стороны обращены к краю. Интуитивно можно было бы натянуть резинку вокруг многогранника вдоль этого пути, и он остался бы на месте: нет возможности локально изменить путь и сделать его короче. Например, один тип геодезической пересекает два противоположных края курносого дисфеноида в их средних точках (где ось симметрии выходит из многогранника) под углом π/ 3. Второй тип геодезических проходит вблизи пересечения курносого дисфеноида с плоскостью, перпендикулярно делающей ось симметрии пополам ( экватор многогранника), пересекая края восьми треугольников под углами, которые чередуются между π/ 2 и π/ 6. Сдвиг геодезической на поверхности многогранника на небольшую величину (достаточно малую, чтобы сдвиг не заставлял ее пересекать какие-либо вершины) сохраняет свойство геодезической и сохраняет ее длину, поэтому оба этих примера имеют сдвинутые версии многогранника. того же типа, которые расположены менее симметрично. Длины пяти простых замкнутых геодезических на курносом дисфеноиде с ребрами единичной длины равны

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}$ (для экваториальной геодезической), ${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606}$, ${\displaystyle 4}$ (для геодезической через середины противоположных ребер), ${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$, и ${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}$.

За исключением тетраэдра, который имеет бесконечно много типов простых замкнутых геодезических, курносый дисфеноид имеет наибольшее количество типов геодезических из всех дельтаэдров.^[7]

Строительство

Курносый дисфеноид построен, как следует из названия, как пренебрежительно многогранник, образованный из тетрагональный дисфеноид, форма нижней симметрии регулярного тетраэдр.

Дисфеноид	Курносый дисфеноид

Операция snub создает одну циклическую полосу из треугольников, разделяющую два противоположных края (красный на рисунке) и соседние с ними треугольники. В пренебрежительные антипризмы аналогичны наличию единственной циклической полосы треугольников, но в курносых антипризмах эти полосы разделяют две противоположные грани и соседние с ними треугольники, а не два противоположных края.

Курносый дисфеноид также может быть построен из квадратная антипризма заменив две квадратные грани парами равносторонних треугольников. Однако это одно из элементарных твердых тел Джонсона, которое не возникает в результате манипуляций "вырезать и вставить" Платонический и Архимедов твердые тела.

Физическая модель курносого дисфеноида может быть сформирована путем складывания сеть образован 12 равносторонними треугольниками ( 12-алмаз Показана альтернативная сеть, предложенная Джон Монтролл имеет меньше вогнутых вершин на границе, что делает его более удобным для оригами строительство.^[8]

Декартовы координаты

Позволять ${\displaystyle q\approx 0.16902}$ быть позитивным реальным корень кубического многочлена

${\displaystyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.}$

Кроме того, пусть

${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,}$

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,}$

и

${\displaystyle t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$

Тогда восемь вершин курносого дисфеноида могут быть заданы Декартовы координаты

${\displaystyle (\pm t,r,0),\,(0,-r,\pm t),}$

${\displaystyle (\pm 1,-s,0),\,(0,s,\pm 1).}$^[6]

Поскольку эта конструкция включает решение кубического уравнения, курносый дисфеноид не может быть построен с компасом и линейкой, в отличие от остальных семи дельтаэдров.^[9]

По этим координатам можно рассчитать объем курносого дисфеноида с длиной ребра а в качестве ${\displaystyle \xi a^{3}}$, куда ${\displaystyle \xi \approx 0.85949}$, - положительный корень многочлена

${\displaystyle 5832x^{6}-1377x^{4}-2160x^{2}-4.}$^[10]

Связанные многогранники

Еще одна конструкция курносый дисфеноид как дигональный гиробиантикупола. Он имеет такую ​​же топологию и симметрию, но без равносторонних треугольников. Он имеет 4 вершины в квадрат на центральной плоскости как два anticupolae прикреплены с вращательной симметрией. Его двойник имеет прямоугольные пятиугольники и может создавать мозаику в пространстве.

Дигональный антикупола

Дигональные гиробиантикуполы

(Двойной) удлиненный gyrobifastigium

Частичная тесселяция

Рекомендации

1. Фройденталь, Х.; ван д. Варден, Б.Л. (1947), «Об утверждении Евклида», Саймон Стевин, 25: 115–121, МИСТЕР  0021687.
2. Бернал, Дж. Д. (1964), «Бейкерская лекция, 1962. Структура жидкостей», Труды Лондонского королевского общества, Серия А, Математические и физические науки, 280 (1382): 299–322, JSTOR  2415872.
3. Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Канадский математический журнал, 18: 169–200, Дои:10.4153 / cjm-1966-021-8, МИСТЕР  0185507, Zbl  0132.14603.
4. Финбоу, Артур С .; Hartnell, Bert L .; Новаковски, Ричард Дж .; Пламмер, Майкл Д. (2010), «О хорошо покрытых триангуляциях. III», Дискретная прикладная математика, 158 (8): 894–912, Дои:10.1016 / j.dam.2009.08.002, МИСТЕР  2602814.
5. Канди, Х. Мартин (1952), «Дельтаэдры», Математический вестник, 36: 263–266, Дои:10.2307/3608204, МИСТЕР  0051525.
6. Слоан, Н. Дж. А.; Hardin, R.H .; Duff, T. D. S .; Конвей, Дж. Х. (1995), "Кластеры твердых сфер с минимальной энергией", Дискретная и вычислительная геометрия, 14 (3): 237–259, Дои:10.1007 / BF02570704, МИСТЕР  1344734.
7. Лоусон, Кайл А .; Приход, Джеймс Л .; Трауб, Синтия М .; Вейхаупт, Адам Г. (2013), «Раскраски графов для классификации простых замкнутых геодезических на выпуклых дельтаэдрах». (PDF), Международный журнал чистой и прикладной математики, 89 (2): 123–139, Дои:10.12732 / ijpam.v89i2.1, Zbl  1286.05048.
8. Монтролл, Джон (2004), «Додекадельтаэдр», Созвездие многогранников оригами, Dover Origami Papercraft Series, Dover Publications, Inc., стр. 38–40, ISBN  9780486439587.
9. Хартсхорн, Робин (2000), Геометрия: Евклид и не только, Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, p. 457, г. ISBN  9780387986500.
10. Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Alpha Knowledgebase". Шампейн, Иллинойс. MinimalPolynomial [PolyhedronData [{"Джонсон", 84}, "Объем"], x]

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Курносый дисфеноид». MathWorld.