Бета-функция (физика) - Beta function (physics)

Эта статья о бета-функциях теоретической физики. Для других бета-функций см. Бета-функция (значения).

В теоретическая физика в частности квантовая теория поля, а бета-функция, β (г), кодирует зависимость параметр связи, грамм, на шкала энергии, μ, данного физического процесса, описываемого квантовая теория поля.Он определяется как

${\displaystyle \beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \log(\mu )}}~,}$

и из-за лежащих в основе ренормализационная группа, он не имеет явной зависимости от μ, так что это зависит только от μ неявно через граммЭта зависимость от указанного таким образом масштаба энергии известна как Бег параметра связи, фундаментальной особенности зависимости от масштаба в квантовой теории поля, и ее явное вычисление достижимо с помощью различных математических методов.

Масштабная инвариантность

Если бета-функции квантовой теории поля обращаются в нуль, обычно при определенных значениях параметров связи, то теория называется масштабно-инвариантный. Почти все масштабно-инвариантные КТП также конформно инвариантный. Изучение таких теорий конформная теория поля.

Параметры связи квантовой теории поля могут работать, даже если соответствующие классическая теория поля масштабно-инвариантно. В этом случае ненулевая бета-функция говорит нам, что классическая масштабная инвариантность равна аномальный.

Примеры

Бета-функции обычно вычисляются в какой-то приближенной схеме. Примером является теория возмущений, где предполагается, что параметры связи малы. Затем можно произвести разложение по степеням параметров связи и усечь члены более высокого порядка (также известные как высшие петля вкладов за счет количества петель в соответствующих Графики Фейнмана ).

Вот несколько примеров бета-функций, вычисленных в теории возмущений:

Квантовая электродинамика

Основная статья: Квантовая электродинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовая электродинамика (QED) - это

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$

или, что то же самое,

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}$

написано с точки зрения постоянная тонкой структуры в натуральных единицах, α = е²/ 4π.

Эта бета-функция говорит нам, что связь увеличивается с увеличением масштаба энергии, и QED становится сильно связанной при высокой энергии. Фактически, связь, очевидно, становится бесконечной при некоторой конечной энергии, в результате чего Полюс Ландау. Однако нельзя ожидать, что пертурбативная бета-функция даст точные результаты при сильной связи, и поэтому вполне вероятно, что полюс Ландау является артефактом применения теории возмущений в ситуации, когда она больше не действует.

Квантовая хромодинамика

Основная статья: Квантовая хромодинамика

Однопетлевая бета-функция в квантовая хромодинамика с ${\displaystyle n_{f}}$ ароматы и ${\displaystyle n_{s}}$ скалярные цветные бозоны

${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

или

${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$

написано в терминах α_s = ${\displaystyle g^{2}/4\pi }$ .

Если п_ж ≤ 16, вытекающая из этого бета-функция указывает, что связь уменьшается с увеличением масштаба энергии, явление, известное как асимптотическая свобода. И наоборот, связь увеличивается с уменьшением масштаба энергии. Это означает, что связь становится большой при низких энергиях, и больше нельзя полагаться на теорию возмущений.

SU (N) Неабелева калибровочная теория

В то время как калибровочная группа (Янга-Миллса) КХД является ${\displaystyle SU(3)}$, и определяет 3 цвета, мы можем обобщить на любое количество цветов, ${\displaystyle N_{c}}$, с калибровочной группой ${\displaystyle G=SU(N_{c})}$. Тогда для этой калибровочной группы с фермионами Дирака в представление ${\displaystyle R_{f}}$ из ${\displaystyle G}$ и со сложными скалярами в представлении ${\displaystyle R_{s}}$, однопетлевой бета-функция

${\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

где ${\displaystyle C_{2}(G)}$ это квадратичный Казимир из ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle T(R)}$ - еще один инвариант Казимира, определяемый формулой ${\displaystyle Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}}$ для генераторов ${\displaystyle T_{R}^{a,b}}$ алгебры Ли в представлении R. (Для Weyl или Майорана фермионы, заменять ${\displaystyle 4/3}$ к ${\displaystyle 2/3}$, а для действительных скаляров заменить ${\displaystyle 1/3}$ к ${\displaystyle 1/6}$.) Для калибровочных полей (т.е. глюонов), обязательно в прилегающий из ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle C_{2}(G)=N_{c}}$; для фермионов в фундаментальный (или антифундаментальное) представление ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle T(R)=1/2}$. Тогда для КХД с ${\displaystyle N_{c}=3}$, приведенное выше уравнение сводится к уравнению, указанному для бета-функции квантовой хромодинамики.

Этот знаменитый результат был получен почти одновременно в 1973 г. Политцер,^[1] Валовой и Вильчек,^[2] за что все трое были награждены Нобелевская премия по физике в 2004 году. Без ведома этих авторов, Дж. Т Хоофт объявил результат в комментарии после выступления К. Симанжика на небольшом собрании в Марселе в июне 1972 г., но так и не опубликовал его.^[3]

Стандартная модель муфт Хиггса-Юкавы

Основная статья: Инфракрасная фиксированная точка

в Стандартная модель, кварки и лептоны имеют "Муфты Юкава "к бозон Хиггса. Они определяют массу частицы. Большинство юкавских взаимодействий кварков и лептонов малы по сравнению с верхний кварк Юкава сцепление. Эти связи Юкавы меняют свои значения в зависимости от шкалы энергий, на которой они измеряются, через Бег. Динамика юкавских взаимодействий кварков определяется уравнение ренормгруппы:

${\displaystyle \mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)}$,

где ${\displaystyle g_{3}}$ это цвет калибр сцепление (которое является функцией ${\displaystyle \mu }$ и связаны с асимптотическая свобода ) и ${\displaystyle y}$ - связь Юкавы. Это уравнение описывает, как связь Юкавы изменяется в зависимости от масштаба энергии. ${\displaystyle \mu }$.

Юкавские связи верхних, нижних, очаровательных, странных и нижних кварков малы на чрезвычайно высоком энергетическом уровне великое объединение, ${\displaystyle \mu \approx 10^{15}}$ ГэВ. Следовательно ${\displaystyle y^{2}}$ Членом можно пренебречь в приведенном выше уравнении. Решая, мы обнаруживаем, что ${\displaystyle y}$ немного увеличивается на низкоэнергетических масштабах, на которых массы кварков генерируются Хиггсом, ${\displaystyle \mu \approx 100}$ ГэВ.

С другой стороны, решения этого уравнения при больших начальных значениях ${\displaystyle y}$ вызвать rhs быстро приближаться к меньшим значениям по мере того, как мы спускаемся по шкале энергии. Приведенное выше уравнение затем блокирует ${\displaystyle y}$ к связке КХД ${\displaystyle g_{3}}$. Это известно как (инфракрасная) квази-неподвижная точка уравнения ренормгруппы для взаимодействия Юкавы.^[4][5] Независимо от того, каково начальное начальное значение связи, если оно достаточно велико, оно достигнет этого значения квазификсированной точки, и соответствующая масса кварка предсказана.

Значение квазификсированной точки довольно точно определяется в Стандартной модели, что приводит к предсказанному верхний кварк масса 230 ГэВ. Наблюдаемая масса топ-кварка 174 ГэВ немного ниже предсказания стандартной модели примерно на 30%, что предполагает, что может быть больше дублетов Хиггса, чем бозон Хиггса стандартной модели.

Минимальная суперсимметричная стандартная модель

Основная статья: Минимальная суперсимметричная стандартная модель § унификация калибровочной связи

Групповые исследования реномализации в минимальной суперсимметричной стандартной модели (MSSM) великого объединения и фиксированных точек Хиггса-Юкавы очень обнадеживают, что теория движется в правильном направлении. Однако до сих пор никаких доказательств предсказанных частиц MSSM в экспериментах на Большой адронный коллайдер.

Смотрите также

• Фиксированная точка Бэнкса – Закса
• Уравнение Каллана-Симанзика
• Квантовая тривиальность

Рекомендации

1. Х. Дэвид Политцер (1973). "Надежные пертурбативные результаты для сильных взаимодействий?". Phys. Rev. Lett. 30: 1346–1349. Bibcode:1973ПхРвЛ..30.1346П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.30.1346.
2. Д.Дж. Гросс и Ф. Вильчек (1973). "Асимптотически свободные калибровочные теории. 1". Phys. Ред. D. 8: 3633–3652. Bibcode:1973ПхРвД ... 8,3633Г. Дои:10.1103 / PhysRevD.8.3633..
3. Дж. Т Хоофт (1999). «Когда была открыта асимптотическая свобода?». Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 74: 413–425. arXiv:hep-th / 9808154. Bibcode:1999НуФС..74..413Т. Дои:10.1016 / S0920-5632 (99) 00207-8.
4. Пендлтон, В .; Росс, Г. (1981). «Прогнозы массы и угла смешивания по фиксированным инфракрасным точкам». Phys. Латыш. B98: 291. Bibcode:1981ФЛБ ... 98..291П. Дои:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
5. Хилл, К. (1981). «Массы кварков и лептонов из неподвижных точек ренормгруппы». Phys. Rev. D24: 691. Bibcode:1981ПхРвД..24..691Х. Дои:10.1103 / PhysRevD.24.691.

дальнейшее чтение

• Пескин, М. и Шредер, Д .; Введение в квантовую теорию поля, Westview Press (1995). Стандартный вводный текст, охватывающий многие темы в QFT, включая расчет бета-функций; особенно см. главу 16.
• Вайнберг, Стивен; Квантовая теория полей, (3 тома) Cambridge University Press (1995). Монументальный трактат по QFT.
• Зинн-Джастин, Жан; Квантовая теория поля и критические явления, Издательство Оксфордского университета (2002). Акцент на ренормализационную группу и смежные темы.

внешняя ссылка