Неточное дифференциальное уравнение - Inexact differential equation

An неточное дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение формы (см. также: неточная разница )

{ Displaystyle M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0, { text {where}} { frac { partial M} { partial y}} neq { frac { partial N} { partial x}}.}

Решение таких уравнений пришло с изобретением интегрирующий фактор к Леонард Эйлер в 1739 г.^[1]

Метод решения

Чтобы решить уравнение, нам нужно преобразовать его в точное дифференциальное уравнение. Для этого нам нужно найти интегрирующий фактор ${ displaystyle mu}$ умножить уравнение на. Начнем с самого уравнения. ${ Displaystyle M , dx + N , dy = 0}$ , так что получаем ${ Displaystyle му М , dx + му N , dy = 0}$ . Нам потребуется ${ displaystyle mu}$ удовлетворить ${ displaystyle { frac { partial mu M} { partial y}} = { frac { partial mu N} { partial x}}}$ . Мы получили ${ Displaystyle { frac { partial mu} { partial y}} M + { frac { partial M} { partial y}} mu = { frac { partial mu} { partial x} } N + { frac { partial N} { partial x}} mu}$ . После упрощения получаем ${ Displaystyle M mu _ {y} -N mu _ {x} + (M_ {y} -N_ {x}) mu = 0}$ . Поскольку это уравнение в частных производных, в большинстве случаев это чрезвычайно сложно решить, однако в некоторых случаях мы получим либо ${ Displaystyle му (х, у) = му (х)}$ или же ${ Displaystyle му (х, у) = му (у)}$ , и в этом случае нам нужно только найти ${ displaystyle mu}$ с линейное дифференциальное уравнение первого порядка или разделимое дифференциальное уравнение, и как таковой либо ${ displaystyle mu (y) = e ^ {- int {{ frac {M_ {y} -N_ {x}} {M}} , dy}}}$ или же ${ displaystyle mu (x) = e ^ { int {{ frac {M_ {y} -N_ {x}} {N}} , dx}}}$ .