K-стабильность - K-stability - Wikipedia

В математика, и особенно дифференциал и алгебраическая геометрия, K-стабильность является алгебро-геометрический условие устойчивости, для комплексные многообразия и комплексные алгебраические многообразия. Понятие K-устойчивости было впервые введено Ганг Тиан^[1] и переформулирован более алгебраически позже Саймон Дональдсон.^[2] Это определение было основано на сравнении с геометрическая теория инвариантов (GIT) стабильность. В частном случае Разновидности Фано, K-устойчивость в точности характеризует существование Метрики Келера – Эйнштейна. Вообще говоря, на любом компактном комплексном многообразии K-устойчивость предполагаемый быть эквивалентным существованию постоянная скалярная кривизна кэлерова метрика (метрики cscK).

История

В 1954 г. Эухенио Калаби сформулировал гипотезу о существовании кэлеровых метрик на компактных Кэлеровы многообразия, теперь известный как Гипотеза Калаби.^[3] Одна из формулировок гипотезы состоит в том, что компактное кэлерово многообразие ${\displaystyle X}$ допускает единственную метрику Кэлера – Эйнштейна в классе ${\displaystyle c_{1}(X)}$. В частном случае, когда ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$, такая метрика Кэлера – Эйнштейна была бы Ricci квартира, превращая многообразие в Многообразие Калаби – Яу. Гипотеза Калаби разрешилась в случае, когда ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ к Тьерри Обен и Шинг-Тунг Яу, и когда ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ пользователя Yau.^[4][5][6] В случае, когда ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$, вот когда ${\displaystyle X}$ это Многообразие Фано, метрика Кэлера-Эйнштейна не всегда существует. А именно, это было известно по работе Ёдзо Мацусима и Андре Лихнерович что кэлерово многообразие с ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ может допускать метрику Келлера-Эйнштейна, только если Алгебра Ли ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$ является редуктивный.^[7][8]

В 1983 году Дональдсон представил новое доказательство Теорема Нарасимхана-Сешадри.^[9] Как доказал Дональдсон, теорема утверждает, что голоморфное векторное расслоение по компактному Риманова поверхность является стабильный тогда и только тогда, когда он соответствует неприводимой унитарной Ян-Миллс связь. То есть унитарное соединение, которое является критическая точка функционала Янга-Миллса

${\displaystyle \operatorname {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatorname {vol} }$.

На римановой поверхности такая связность проективно плоская, и ее голономия дает проективное унитарное представление фундаментальная группа римановой поверхности, восстанавливая тем самым исходное утверждение теоремы с помощью М. С. Нарасимхан и К. С. Сешадри.^[10] В течение 1980-х годов эта теорема была обобщена в работах Дональдсона, Карен Уленбек и Яу, и Цзюнь Ли и Яу в Переписка Кобаяши – Хитчина, связывающее стабильные голоморфные векторные расслоения с Связи Эрмитова-Эйнштейна над произвольными компактными комплексными многообразиями. ^[11][12][13]

Ключевое наблюдение в случае голоморфных векторных расслоений состоит в том, что после фиксации голоморфной структуры любой выбор эрмитовой метрики приводит к унитарной связности, Черн связь. Таким образом, можно искать либо эрмитову связность Эйнштейна, либо соответствующую ей эрмитову метрику Эйнштейна. Побуждаемый этим, в 1993 году Яу был мотивирован предположить, что существование метрики Келера-Эйнштейна на многообразии Фано должно быть эквивалентно некоторой форме алгебро-геометрического условия устойчивости самого многообразия, так же как существование метрики Эрмитова-Эйнштейна. на голоморфном векторном расслоении равносильна его устойчивости. Яу предположил, что это условие устойчивости должно быть аналогом устойчивость склона векторных расслоений.^[14]

В 1997 году Тиан предложил такое условие устойчивости, которое он назвал K-стабильность после функционала K-энергии, введенного Тошики Мабучи.^[15][16] Определение Тиана было аналитическим по своей природе и относилось к случаю многообразий Фано. Несколько лет спустя Дональдсон ввел алгебраическое условие, описанное в этой статье, которое называется K-стабильность, которое имеет смысл на любом поляризованном многообразии и эквивалентно аналитическому определению Тиана в случае поляризованного многообразия ${\displaystyle (X,-K_{X})}$ куда ${\displaystyle X}$ Фано.^[2]

Определение

В этом разделе мы работаем над сложные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$, но основные положения определения применимы к любому полю. А поляризованное разнообразие пара ${\displaystyle (X,L)}$ куда ${\displaystyle X}$ это сложный алгебраическое многообразие и ${\displaystyle L}$ является обильная линейка на ${\displaystyle X}$. Такое поляризованное многообразие обладает вложением в проективное пространство

${\displaystyle \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{0}(X,L^{kr})\hookrightarrow \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{k})^{*})}$

куда ${\displaystyle k}$ любое положительное целое число, достаточно большое, чтобы ${\displaystyle L^{k}}$ является очень обильный, и поэтому каждое поляризованное разнообразие проективный. В геометрическая теория инвариантов, то Критерий Гильберта-Мамфорда показывает, что для проверки устойчивости точки ${\displaystyle x}$ в проективном алгебраическом многообразии ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$ под действием редуктивная алгебраическая группа ${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$, достаточно рассмотреть однопараметрические подгруппы (1-ПС) из ${\displaystyle G}$. Чтобы продолжить, нужно взять 1 PS ${\displaystyle G}$, сказать ${\displaystyle \lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G}$, и смотрит на предельную точку

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x}$.

Это неподвижная точка действия 1-PS ${\displaystyle \lambda }$, и так линия закончилась ${\displaystyle x}$ в аффинное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$ сохраняется под действием ${\displaystyle \lambda }$. Действие мультипликативной группы ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ в одномерном векторном пространстве имеет масса, целое число, которое мы помечаем ${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$, со свойством, что

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

для любого ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ в волокне над ${\displaystyle x_{0}}$. Критерий Гильберта-Мамфорда гласит:

• Смысл ${\displaystyle x}$ является полустабильный если ${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$ для всех 1-PS ${\displaystyle \lambda <G}$.
• Смысл ${\displaystyle x}$ является стабильный если ${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$ для всех 1-PS ${\displaystyle \lambda <G}$.
• Смысл ${\displaystyle x}$ является неустойчивый если ${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$ для любого 1-PS ${\displaystyle \lambda <G}$.

Если кто-то хочет определить понятие устойчивости для многообразий, критерий Гильберта-Мамфорда предполагает, что достаточно рассматривать однопараметрические деформации многообразия. Это приводит к понятию тестовой конфигурации.

Тестовые конфигурации

Все общие слои тестовой конфигурации изоморфны многообразию X, тогда как центральный слой может быть различным и даже особенным.

А конфигурация теста для поляризованного разнообразия ${\displaystyle (X,L)}$ пара ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ куда ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ это схема с плоский морфизм ${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ является относительно обильным линейным расслоением для морфизма ${\displaystyle \pi }$, такое, что:

1. Для каждого ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$, то Полином Гильберта волокна ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$ равен полиному Гильберта ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ из ${\displaystyle (X,L)}$. Это следствие плоскостности ${\displaystyle \pi }$.
2. Есть действие ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ о семье ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ покрывая стандартное действие ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ на ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
3. Для любого (а значит, и для каждого) ${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$, ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$ как поляризованные разновидности. В частности вдали от ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$, семья тривиальна: ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$ куда ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$ проекция на первый фактор.

Мы говорим, что тестовая конфигурация ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ это конфигурация продукта если ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$, а тривиальная конфигурация если ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ действие на ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$ тривиален по первому фактору.

Инвариант Дональдсона-Футаки

Для определения понятия устойчивости, аналогичного критерию Гильберта-Мамфорда, необходимо понятие веса${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ на волокне над ${\displaystyle 0}$ тестовой конфигурации ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$ для поляризованного разнообразия ${\displaystyle (X,L)}$. По определению это семейство оснащено действием ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ покрытие действия на основании, и поэтому волокно тестовой конфигурации ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ фиксированный. То есть у нас есть действие ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ на центральном волокне ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$. В целом это центральное волокно не гладкое или даже не разнообразное. Есть несколько способов определить вес центрального волокна. Первое определение было дано с использованием версии Дин-Тиана обобщенного инварианта Футаки.^[17]Это определение является дифференциально-геометрическим и напрямую связано с проблемами существования в кэлеровой геометрии. Алгебраические определения были даны с использованием инвариантов Дональдсона-Футаки и CM-весов, определенных формулой пересечения.

По определению действие ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ на поляризованной схеме имеет действие ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ на обширной линейке ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$, и поэтому индуцирует действие на векторных пространствах ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ для всех целых чисел ${\displaystyle k\geq 0}$. Действие ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ на сложном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ индуцирует разложение в прямую сумму ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$ в весовые пространства, где каждый ${\displaystyle V_{i}}$ - одномерное подпространство в ${\displaystyle V}$, и действие ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ когда ограничено ${\displaystyle V_{i}}$ имеет вес ${\displaystyle w_{i}}$. Определить общий вес действия должно быть целым числом ${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$. Это то же самое, что и вес индуцированного действия ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ в одномерном векторном пространстве ${\displaystyle \bigwedge ^{n}V}$ куда ${\displaystyle n=\dim V}$.

Определить весовая функция тестовой конфигурации ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ быть функцией ${\displaystyle w(k)}$ куда ${\displaystyle w(k)}$ общий вес ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ действие в векторном пространстве ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ для каждого неотрицательного целого числа ${\displaystyle k\geq 0}$. Пока функция ${\displaystyle w(k)}$ не является полиномом в общем случае, он становится полиномом степени ${\displaystyle n+1}$ для всех ${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$ для некоторого фиксированного целого числа ${\displaystyle k_{0}}$, куда ${\displaystyle n=\dim X}$. В этом можно убедиться, используя эквивариантную теорему Римана-Роха. Напомним, что полином Гильберта ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ удовлетворяет равенству ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ для всех ${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$ для некоторого фиксированного целого числа ${\displaystyle k_{1}}$, и является полиномом степени ${\displaystyle n}$. Для таких ${\displaystyle k\gg 0}$, давай напишем

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1})}$.

В Инвариант Дональдсона-Футаки тестовой конфигурации ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ это рациональное число

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}}$.

Особенно ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$ куда ${\displaystyle f_{1}}$ - член первого порядка в разложении

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2})}$.

Инвариант Дональдсона-Футаки не меняется, если ${\displaystyle L}$ заменяется положительной силой ${\displaystyle L^{r}}$, поэтому в литературе K-устойчивость часто обсуждается с помощью ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-строчные связки.

Инвариант Дональдсона-Футаки можно описать в терминах теория пересечений, и это был подход, использованный Тианом при определении веса CM.^[18] Любая тестовая конфигурация ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ допускает естественную компактификацию ${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$ над ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ (например, см. ^[19][20]), то CM-вес определяется формулой

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

куда ${\displaystyle \mu ={\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$. Это определение по формуле пересечения теперь часто используется в алгебраической геометрии.

Известно, что ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ совпадает с ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$, так что мы можем взять вес ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ быть либо ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ или же ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$. Вес ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ можно также выразить через форму Чоу и гипердискриминант.^[21]В случае многообразий Фано есть интерпретация веса в терминах новых ${\displaystyle \beta }$-инвариантен оценкам, найденным Чи Ли^[22] и Кенто Фудзита.^[23]

K-стабильность

Чтобы определить K-стабильность, нам нужно сначала исключить определенные тестовые конфигурации. Первоначально предполагалось, что следует просто игнорировать тривиальные тестовые конфигурации, как определено выше, чей инвариант Дональдсона-Футаки всегда равен нулю, но Ли и Сюй заметили, что требуется больше осторожности в определении.^[24][25] Один из элегантных способов определения K-устойчивости дается формулой Секелихиди используя норму тестовой конфигурации, которую мы сначала опишем.^[26]

Для тестовой конфигурации ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$, определим норму следующим образом. Позволять ${\displaystyle A_{k}}$ быть бесконечно малым генератором ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ действие в векторном пространстве ${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$. потом ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$. Аналогично многочленам ${\displaystyle w(k)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$, функция ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$ является многочленом для достаточно больших целых чисел ${\displaystyle k}$, в этом случае степень ${\displaystyle n+2}$. Запишем его разложение как

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

В норма тестовой конфигурации определяется выражением

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

По аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда, если у человека есть понятие деформации (тестовая конфигурация) и веса на центральном слое (инвариант Дональдсона-Футаки), можно определить условие устойчивости, называемое K-стабильность.

Позволять ${\displaystyle (X,L)}$ - поляризованное алгебраическое многообразие. Мы говорим что ${\displaystyle (X,L)}$ является:

• К-полустабильный если ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ для всех тестовых конфигураций ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ за ${\displaystyle (X,L)}$.
• K-стабильный если ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ для всех тестовых конфигураций ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ за ${\displaystyle (X,L)}$, и дополнительно ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ в любое время ${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$.
• К-полистабильный если ${\displaystyle (X,L)}$ K-полустабильно, и, кроме того, когда ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$, тестовая конфигурация ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ это конфигурация продукта.
• K-нестабильный если он не K-полустабильный.

Гипотеза Яу – Тиан – Дональдсона.

K-стабильность была первоначально введена как алгебро-геометрическое условие, которое должно характеризовать существование метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразии Фано. Это стало известно как Гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона (для многообразий Фано) и был положительно разрешен в 2012 г. Xiuxiong Chen, Саймон Дональдсон, и Песня Солнца ^{[27][28][29][30]}(См. Также Тиан ^[31][32]), следуя стратегии, основанной на методе непрерывности относительно угла конуса метрики Келера-Эйнштейна с коническими особенностями вдоль фиксированного антиканонического дивизора, а также углубленного использования теории Громова-Чигера-Колдинга-Тиана. Пределы Хаусдорфа кэлеровых многообразий с оценками Риччи. Вскоре после этого доказательство, основанное на «классическом» методе непрерывности, было предоставлено Датаром и Секелихиди,^[33][34] за которым следует еще один Чен – Сун – Ван ^[35] на основе потока Келера-Риччи. Берман-Буксом-Йонссон также представил доказательство^[36] из вариационного подхода. 2019 год Премия Веблена был награжден Ченом, Дональдсоном и Сун за их работу. Они утверждали, что работа Тиана содержит некоторые математические ошибки и материал, который следует приписать им; Тиан оспорил их претензии.^[а][b]

Теорема (Чен-Дональдсон-Сан, см. Также Тиан, а вскоре после этого Датар-Секелихиди, Чен-Сун-Ван и Берман-Буксом-Йонссон): Многообразие Фано ${\displaystyle X}$ допускает метрику Кэлера-Эйнштейна в классе ${\displaystyle c_{1}(X)}$ тогда и только тогда, когда пара ${\displaystyle (X,-K_{X})}$ является K-полистабильным.

Расширение келерова метрики постоянной скалярной кривизны

Ожидается, что гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона должна применяться в более общем смысле к метрикам cscK над произвольными гладкими поляризованными многообразиями. Фактически, гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона относится к этой более общей ситуации, причем случай многообразий Фано является частным случаем, о котором ранее предположили Яу и Тиан. Дональдсон построил гипотезу Яу и Тиан из случая Фано после того, как было введено его определение K-устойчивости для произвольных поляризованных многообразий.^[2]

Гипотеза Яу – Тиан – Дональдсона: Гладкая поляризация. ${\displaystyle (X,L)}$ допускает постоянную кэлерову метрику скалярной кривизны в классе ${\displaystyle c_{1}(L)}$ тогда и только тогда, когда пара ${\displaystyle (X,L)}$ является K-полистабильным.

Как уже говорилось, гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона была разрешена в условиях Фано. В 2009 году Дональдсон доказал, что гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона верна для торические многообразия комплексной размерности 2.^[37][38][39] Для произвольных поляризованных многообразий Стоппа, также используя работы Ареццо и Пакара, доказал, что существование метрики cscK влечет K-полистабильность.^[40][41] В некотором смысле это легкое направление гипотезы, поскольку оно предполагает существование решения сложного уравнения в частных производных и приводит к сравнительно легкому алгебраическому результату. Существенная проблема состоит в том, чтобы доказать обратное направление, что чисто алгебраическое условие подразумевает существование решения для уравнения в частных производных.

Примеры

Гладкие кривые

Смотрите также: Стабильная кривая

Это было известно со времен оригинальной работы Пьер Делинь и Дэвид Мамфорд это гладко алгебраические кривые асимптотически устойчивы в смысле геометрической теории инвариантов, в частности, что они K-устойчивы.^[42] В этом случае гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона эквивалентна гипотезе теорема униформизации. А именно, каждая гладкая кривая допускает метрику Кэлера-Эйнштейна постоянной скалярной кривизны либо ${\displaystyle +1}$ в случае проективная линия ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$, ${\displaystyle 0}$ в случае эллиптические кривые, или же ${\displaystyle -1}$ в случае компактных римановых поверхностей рода ${\displaystyle g>1}$.

Торические разновидности

K-стабильность была первоначально введена Дональдсоном в контексте торические многообразия.^[2] В торической постановке многие сложные определения K-устойчивости упрощаются до данных о многограннике моментов ${\displaystyle P}$ поляризованного торического многообразия ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$. Во-первых, известно, что для проверки K-устойчивости достаточно рассмотреть конфигурации торических тестов, где все пространство тестовой конфигурации также является торическим многообразием. Любая такая торическая тестовая конфигурация может быть элегантно описана выпуклой функцией на многограннике моментов, и Дональдсон первоначально определил K-устойчивость для таких выпуклых функций. Если конфигурация торического теста ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ за ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ задается выпуклой функцией ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle P}$, то инвариант Дональдсона-Футаки можно записать как

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right)}$,

куда ${\displaystyle d\mu }$ это Мера Лебега на ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle d\sigma }$ каноническая мера на границе ${\displaystyle P}$ возникающий из его описания как многогранника моментов (если ребро ${\displaystyle P}$ задается линейным неравенством ${\displaystyle h(x)\leq a}$ для некоторого аффинного линейного функционала h на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с целыми коэффициентами, то ${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$), и ${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$. Дополнительно норму тестовой конфигурации можно определить как

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|=\|f-{\bar {f}}\|_{L^{2}}}$,

куда ${\displaystyle {\bar {f}}}$ это среднее значение ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle d\mu }$.

Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить выпуклые функции особенно простого вида. Мы говорим выпуклую функцию на ${\displaystyle P}$ является кусочно-линейный если это можно записать как максимум ${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$ для некоторых аффинных линейных функционалов ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$. Обратите внимание, что по определению константы ${\displaystyle a}$, инвариант Дональдсона-Футаки ${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$ инвариантен относительно добавления аффинного линейного функционала, поэтому мы всегда можем взять один из ${\displaystyle h_{i}}$ быть постоянной функцией ${\displaystyle 0}$. Мы говорим, что выпуклая функция простой кусочно-линейный если это максимум две функции, и поэтому задается ${\displaystyle f=\max(0,h)}$ для некоторой аффинной линейной функции ${\displaystyle h}$, и простой рациональный кусочно-линейный если ${\displaystyle h}$ имеет рациональных помощников. Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить K-устойчивость только на простых рациональных кусочно-линейных функциях. Такой результат силен, поскольку можно легко вычислить инварианты Дональдсона-Футаки таких простых тестовых конфигураций и, следовательно, вычислить, когда данная торическая поверхность является K-стабильной.

Примером K-неустойчивого многообразия является торическая поверхность ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$, первый Поверхность Хирцебруха, какой Взрывать из комплексная проективная плоскость в точке, относительно поляризации, заданной ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$, куда ${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}}$ это взрыв и ${\displaystyle E}$ исключительный дивизор.

Моментный многогранник первого Поверхность Хирцебруха.

Мера ${\displaystyle d\sigma }$ на горизонтальной и вертикальной граничных гранях многогранника просто ${\displaystyle dx}$ и ${\displaystyle dy}$. На диагональном лице ${\displaystyle x+y=2}$ мера дается ${\displaystyle (dx-dy)/2}$. Рассмотрим выпуклую функцию ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ на этом многограннике. потом

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6}$,

и

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5}$.

Таким образом

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0}$,

и так первая поверхность Хирцебруха ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$ K-неустойчиво.

Альтернативные понятия

Гильберт и стабильность Чоу

K-устойчивость возникает из аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда для конечномерной геометрической теории инвариантов. Можно напрямую использовать геометрическую теорию инвариантов для получения других понятий устойчивости для многообразий, которые тесно связаны с K-стабильностью.

Возьмите поляризованное разнообразие ${\displaystyle (X,L)}$ с полиномом Гильберта ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, и исправить ${\displaystyle r>0}$ такой, что ${\displaystyle L^{r}}$ очень много с исчезающими высшими когомологиями. Пара ${\displaystyle (X,L^{r})}$ затем можно отождествить с точкой в Схема гильберта подсхем ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$ с полиномом Гильберта ${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$.

Эта схема Гильберта может быть вложена в проективное пространство как подсхема грассманиана (который проективен через Плюккеровское вложение ). Общая линейная группа ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$ действует на этой схеме Гильберта, и две точки в схеме Гильберта эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие поляризованные многообразия изоморфны. Таким образом, можно использовать геометрическую теорию инвариантов для действия этой группы, чтобы дать понятие устойчивости. Эта конструкция зависит от выбора ${\displaystyle r>0}$, поэтому говорят, что поляризованное разнообразие асимптотически устойчивый по Гильберту если оно устойчиво относительно этого вложения для всех ${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$ достаточно большой, для некоторых фиксированных ${\displaystyle r_{0}}$.

Существует еще одно проективное вложение схемы Гильберта, называемое вложением Чоу, которое обеспечивает другую линеаризацию схемы Гильберта и, следовательно, другое условие устойчивости. Поэтому аналогично можно определить асимптотическая устойчивость Чау. Явно вес Чоу для фиксированного ${\displaystyle r>0}$ можно вычислить как

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

за ${\displaystyle r}$ достаточно большой.^[43] В отличие от инварианта Дональдсона-Футаки, вес Чоу изменяется, если линейный пучок ${\displaystyle L}$ заменяется некоторой силой ${\displaystyle L^{k}}$. Однако из выражения

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

можно заметить, что

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})}$,

и поэтому K-стабильность в некотором смысле является пределом устойчивости Чжоу как размерности проективного пространства ${\displaystyle X}$ встроен в бесконечность.

Аналогичным образом можно определить асимптотическую полустабильность Чоу и асимптотическую полустабильность Гильберта, а различные понятия устойчивости связаны следующим образом:

Асимптотически стабильный по Чау ${\displaystyle \implies }$ Асимптотически устойчивая по Гильберту ${\displaystyle \implies }$ Асимптотически полустабильный гильбертов ${\displaystyle \implies }$ Асимптотически полустабильный Чоу ${\displaystyle \implies }$ К-полустабильный

Однако неизвестно, следует ли из K-устойчивости асимптотическую устойчивость по Чжоу.^[44]

Наклон K-стабильность

Первоначально Яу предсказал, что правильное понятие устойчивости для многообразий должно быть аналогично устойчивости наклона для векторных расслоений. Юлиус Росс и Ричард Томас разработал теорию устойчивости склонов разновидностей, известную как наклон K-устойчивость. Росс и Томас показали, что любая тестовая конфигурация, по сути, получается путем взрыва множества ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ вдоль последовательности ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ инвариантные идеалы с носителями на центральном слое.^[45] Этот результат в основном принадлежит Дэвиду Мамфорду.^[46] Ясно, что в каждой тестовой конфигурации преобладает ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ по идеалу формы

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

куда ${\displaystyle t}$ координата на ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Заручившись поддержкой идеалов, это соответствует взрыву флаг подсхем

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

внутри копии ${\displaystyle X\times \{0\}}$ из ${\displaystyle X}$. Это разложение можно получить, по существу, взяв разложение в весовом пространстве инвариантного идеала ${\displaystyle I}$ под ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ действие.

В частном случае, когда этот флаг подсхем имеет длину один, инвариант Дональдсона-Футаки может быть легко вычислен, и мы приходим к K-устойчивости наклона. Учитывая подсхему ${\displaystyle Z\subset X}$ определено идеальный пучок ${\displaystyle I_{Z}}$, тестовая конфигурация имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} )}$,

какой деформация до нормального конуса вложения ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$.

Если разнообразие ${\displaystyle X}$ имеет многочлен Гильберта ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$определить склон из ${\displaystyle X}$ быть

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}}$.

Чтобы определить наклон подсхемы ${\displaystyle Z}$рассмотрим Многочлен Гильберта-Самуэля подсхемы ${\displaystyle Z}$,

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2})}$,

за ${\displaystyle r\gg 0}$ и ${\displaystyle x}$ рациональное число такое, что ${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$. Коэффициенты ${\displaystyle a_{i}(x)}$ являются многочленами от ${\displaystyle x}$ степени ${\displaystyle n-i}$, а К-наклон ${\displaystyle I_{Z}}$ относительно ${\displaystyle c}$ определяется

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}(a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}})\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

Это определение имеет смысл при любом выборе действительного числа. ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ куда ${\displaystyle \epsilon (Z)}$ это Константа Сешадри из ${\displaystyle Z}$. Обратите внимание, что принимая ${\displaystyle Z=\emptyset }$ мы восстанавливаем наклон ${\displaystyle X}$. Пара ${\displaystyle (X,L)}$ является склон К-полустабильный если для всех правильных подсхем ${\displaystyle Z\subset X}$, ${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$ для всех ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ (можно также определить наклон K-устойчивость и наклон К-полистабильности требуя, чтобы это неравенство было строгим, с некоторыми дополнительными техническими условиями).

Росс и Томас показали, что K-полустабильность влечет наклонную K-полустабильность.^[47] Однако, в отличие от векторных расслоений, K-устойчивость не предполагает K-устойчивость. В случае векторных расслоений достаточно рассматривать только отдельные подпучки, но для многообразий необходимо также учитывать флаги длины больше единицы. Несмотря на это, K-стабильность наклона все еще может использоваться для идентификации K-нестабильных разновидностей и, следовательно, по результатам Стоппы, препятствовать существованию метрики cscK. Например, Росс и Томас использовали K-устойчивость наклона, чтобы показать, что проектирование нестабильного векторного расслоения над K-стабильной базой является K-неустойчивым и, следовательно, не допускает метрики cscK. Это противоположно результатам Хонга, которые показывают, что проективизация стабильного расслоения на базу, допускающую метрику cscK, также допускает метрику cscK и, следовательно, является K-стабильной.^[48]

K-стабильность фильтрации

Работа Апостолова-Кальдербанка-Гаудюшона-Тоннесена-Фридмана показывает существование многообразия, которое не допускает никакой экстремальной метрики, но, по-видимому, не дестабилизируется какой-либо тестовой конфигурацией.^[49] Это говорит о том, что определение K-устойчивости, данное здесь, может быть недостаточно точным, чтобы в целом вытекала гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона. Однако этот пример является дестабилизируется пределом тестовых конфигураций. Это было уточнено Секелихиди, который представил K-стабильность фильтрации.^[50][51] Фильтрация здесь - это фильтрация координатного кольца

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

поляризованного разнообразия ${\displaystyle (X,L)}$. Рассматриваемые фильтрации должны быть совместимы с градуировкой на координатном кольце в следующем смысле: A фильтрация ${\displaystyle \chi }$ из ${\displaystyle R}$ представляет собой цепочку конечномерных подпространств

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

такое, что выполняются следующие условия:

1. Фильтрация мультипликативный. То есть, ${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$ для всех ${\displaystyle i,j\geq 0}$.
2. Фильтрация совместима с градацией по ${\displaystyle R}$ поступающие из оцененных частей ${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$. То есть, если ${\displaystyle f\in F_{i}R}$, то каждый однородный кусок ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle F_{i}R}$.
3. Выхлопные газы ${\displaystyle R}$. То есть у нас есть ${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$.

Учитывая фильтрацию ${\displaystyle \chi }$, это Алгебра Риса определяется

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

Мы говорим, что фильтрация конечно порождена, если ее алгебра Риса конечно порождена. Давид Витт Нистрем доказал, что фильтрация конечно порождена тогда и только тогда, когда она возникает из тестовой конфигурации, а Секелихиди доказал, что любая фильтрация является пределом конечно порожденных фильтраций.^[52] Объединив эти результаты, Секелихиди заметил, что пример Апостолова-Кальдербанка-Гаудюшона-Тоннесена-Фридмана не нарушил бы гипотезу Яу-Тиан-Дональдсона, если бы K-стабильность была заменена фильтрационной K-стабильностью. Это говорит о том, что определение K-стабильности, возможно, потребуется отредактировать, чтобы учесть эти ограничивающие примеры.

Смотрите также

• Кэлерово многообразие
• Метрика Келера-Эйнштейна
• Геометрическая теория инвариантов
• Гипотеза Калаби
• Переписка Кобаяши-Хитчин
• Стабильная кривая

Рекомендации

1. Тиан, банда (1997). «Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной». Inventiones Mathematicae. 130 (1): 1–37. Bibcode:1997InMat.130 .... 1T. Дои:10.1007 / s002220050176. МИСТЕР  1471884. S2CID  122529381.
2. Дональдсон, Саймон К. (2002). «Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий». Журнал дифференциальной геометрии. 62 (2): 289–349. Дои:10.4310 / jdg / 1090950195.
3. Калаби, Эухенио (1956), «Пространство кэлеровых метрик», Труды Международного конгресса математиков 1954 г., 2, Гронинген: E.P. Нордхофф, стр. 206–207
4. Т. Обен. Équations du type Monge-Ampère sur les Varétéskähleriennes compactes. C. R. Acad. Sci. Париж Сэр. А-В, 283 (3): Aiii, A119 – A121, 1976.
5. Шинг-Тунг Яу. Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии. Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 74(5):1798–1799, 1977.
6. Шинг-Тунг Яу. О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. Я. Сообщения по чистой и прикладной математике, 31(3):339–411, 1978.
7. Ёдзо Мацусима. Sur la structure du groupe d’hom´ eomorphismes analytiques d’une suree varéété kählérienne. Nagoya Math. J., 11: 145–150, 1957.
8. Андре Лихнерович. Géométrie des groupes de transformations. Travaux et Recherches Mathématiques, III. Данод, Париж, 1958 год.
9. Дональдсон, Саймон К. (1983). Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри. Журнал дифференциальной геометрии, 18(2), 269-277.
10. М. С. Нарасимхан и К. С. Сешадри. Стабильные и унитарные векторные расслоения на компактной римановой поверхности. Анналы математики (2), 82:540–567, 1965.
11. Саймон К. Дональдсон. Антиавтодуальные связности Янга-Миллса над комплексными алгебраическими поверхностями и стабильные векторные расслоения. Proc. Лондонская математика. Soc. (3), 50(1):1–26, 1985.
12. Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу. О существовании связностей Эрмитова – Янга – Миллса в стабильных векторных расслоениях. Сообщения по чистой и прикладной математике, 39 (S, доп.): S257 – S293, 1986. Границы математических наук: 1985 (Нью-Йорк, 1985).
13. Ли, июнь и Яу, Шинг-Тунг (1987). Связность Эрмитова – Янга – Миллса на некелеровых многообразиях. В «Математические аспекты теории струн» (стр. 560-573).
14. С.-Т. Яу. Открытые задачи по геометрии. В Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990), том 54 Proc. Симпози. Чистая математика, страницы 1–28. Амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1993.
15. Ганг Тиан. Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной. Inventiones Mathematicae, 130(1):1–37, 1997.
16. Тошики Мабучи. Отображения K-энергии, интегрирующие инварианты Футаки. Математический журнал Тохоку (2), 38(4):575–593, 1986.
17. Ганг Тянь. Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной. Inventiones Mathematicae, 130(1):1–37, 1997.
18. Г. Тиан. Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной. Изобретения. Матем., 130 (1): 1–37, 1997.
19. Ю. Одака. Обобщение теории склонов Росса-Томаса. Осака Дж. Математика, 50 (1): 171-185.
20. X. Ван. Рост и вес ЖКТ. Математика. Res. Lett., 19 (4): 909–926.
21. Св. Павел. Гипердискриминантные многогранники, многогранники Чоу и энергетическая асимптотика Мабучи. Анна. математики. (2), 175 (1): 255–296.
22. Чи Ли. K-полустабильность - это эквивариантная минимизация объема. Duke Math. J., 166 (16): 3147-3218
23. Кенто Фуджита, оценочный критерий равномерной K-устойчивости многообразий Q-Фано, J. Reine Angew. Math.751 (2019), 309-338
24. К. Ли и К. Сюй. Специальная тестовая конфигурация и K-устойчивость фановомногообразий. Анна. математики. (2), 180 (1): 197–232, 2014.
25. J. Stoppa. Замечание об определении K-устойчивости. arXiv e-prints, pagearXiv: 1111.5826, ноябрь 2011 г.
26. Г. Секелихиди. Введение в экстремальные кэлеровы метрики, том 152 аспирантуры по математике. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2014.
27. X. Chen, S.K. Donaldson, S. Sun. Метрики Келера-Эйнштейна и устойчивость. Уведомления о международных математических исследованиях, 1(8):2119–2125.
28. X. Chen, S.K. Donaldson, S. Sun. Метрики Кэлера – Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Аппроксимация метрик с коническими особенностями. Журнал Американского математического общества, 28(1):183–197.
29. X. Chen, S.K. Donaldson, S. Sun. Метрики Кэлера – Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π. Журнал Американского математического общества, 28(1):199–234.
30. X. Chen, S.K. Donaldson, S. Sun. Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Ограничения по мере приближения угла конуса к 2π и завершение основного доказательства. Журнал Американского математического общества, 28(1):235–278.
31. Тиан, Г., 2015. K-устойчивость и метрики Келера-Эйнштейна. Сообщения по чистой и прикладной математике, 68 (7), стр 1085-1156.
32. Тиан Г. Исправление: K-устойчивость и метрики Келера-Эйнштейна. Сообщения по чистой и прикладной математике, 68 (11): 2082–2083, 2015.
33. Г. Секелихиди. Частичная C ^ 0-оценка по методу непрерывности. J. Amer. Математика. Soc. 29 (2016), 537–560.
34. В. Датар и Г. Секелихиди. Метрики Кэлера – Эйнштейна по методу гладкой непрерывности. Геом. Funct. Анал., 26, 04 2016
35. Сюйсюн Чен, Сун Сун и Бин Ван. Поток Кэлера – Риччи, метрика Келера – Эйнштейна и K-устойчивость. Геом. Тополь, 2 (6): 3145–3173, 2018.
36. Роберт Берман, Себастьен Буксом, Маттиас Йонссон. Вариационный подход к гипотезе Яу-Тиан-Дональдсона. Появиться в Журнале АПП
37. Дональдсон, С.К. Внутренние оценки решений уравнения Абреу Collectanea Math. 56 103-142 2005 г.
38. Дональдсон, С. К. (2008). Экстремальные метрики на торических поверхностях: метод непрерывности. Журнал дифференциальной геометрии, 79(3), 389-432.
39. С. К. Дональдсон. Метрики постоянной скалярной кривизны на торических поверхностях.Геометрический и функциональный анализ, 19(1):83–136, 2009.
40. J. Stoppa. K-устойчивость кэлеровых многообразий постоянной скалярной кривизны. Успехи в математике, 221(4):1397–1408, 2009.
41. К. Ареццо и Ф. Пакар. Раздутие и устранение сингуляров кэлеровых многообразий постоянной скалярной кривизны. Acta Mathematica, 196(2):179–228, 2006.
42. Делинь, П., и Мамфорд, Д. (1969). Неприводимость пространства кривых данного рода. Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 36, 75-109.
43. Г. Сэкелихиди. Фильтры и тест-конфигурации. Математика. Ann., 362 (1-2): 451–484, 2015. С приложением Себастьяна Буксома.
44. Дж. Росс и Р. Томас. Исследование критерия Гильберта-Мамфорда устойчивости проективных многообразий. J. Algebraic Geom., 16 (2): 201–255,2007.
45. Дж. Росс и Р. Томас. Исследование критерия Гильберта-Мамфорда устойчивости проективных многообразий. J. Algebraic Geom., 16 (2): 201–255,2007.
46. Мамфорд, Д. (1977). Устойчивость проективных многообразий. Enseignement Math. (2) 23, 39–110.
47. Росс, Дж. И Томас, Р. Препятствие к существованию кэлеровых метрик постоянной скалярной кривизны. Журнал дифференциальной геометрии, 72 (3): 429–466, 2006.
48. Хонг, И-Дж. (1999) .Уравнения постоянной эрмитовой скалярной кривизны на линейчатых многообразиях, Журн. Диф. Геом.53, 465–516.
49. В. Апостолов, Д. М. Дж. Кальдербанк, П. Годюшон и К. В. Тённесен-Фридман. Гамильтоновы 2-формы в кэлеровой геометрии. III. Экстремальные показатели и стабильность. Изобретать. Матем., 173 (3): 547–601, 2008.
50. Г. Сэкелихиди. Фильтры и тест-конфигурации. Математика. Ann., 362 (1-2): 451–484, 2015. С приложением Себастьяна Буксома.
51. Г. Сэкелихиди. Введение в экстремальные кэлеровы метрики, том 152 аспирантуры по математике. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2014.
52. Д. Витт Нюстрём. Тестовые конфигурации и окуньковские тела. Сост. Матем., 148 (6): 1736–1756, 2012.

Примечания

1. Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон, Сон Сун. «О некоторых последних достижениях в геометрии Кэлера».
2. Ганг Тянь. «Ответ на CDS» и «Дополнительные комментарии по CDS»., Исправление: K-устойчивость и метрики Келера-Эйнштейна