Центр треугольника - Triangle center - Wikipedia

Эта статья о концепции геометрии. Чтобы узнать о месте в Лексингтоне, штат Кентукки, см. Центр Треугольника.

В геометрия, а центр треугольника (или же центр треугольника) - точка на плоскости, которая в некотором смысле центр треугольника, близкого к центрам квадраты и круги, то есть точка, которая по той или иной мере находится посередине рисунка. Например, центроид, центр окружности, стимулятор и ортоцентр были знакомы древние греки, и могут быть получены простыми построениями.

Каждый из этих классических центров обладает свойством инвариантности (точнее, эквивариантный ) под преобразования подобия. Другими словами, для любого треугольника и любого преобразования подобия (например, вращение, отражение, расширение, или же перевод ), центр преобразованного треугольника совпадает с точкой преобразованного центра исходного треугольника. Эта инвариантность является определяющим свойством центра треугольника. Это исключает другие известные моменты, такие как Баллы Brocard которые не инвариантны относительно отражения и поэтому не могут считаться центрами треугольников.

Все центры равносторонний треугольник совпадают в его центроиде, но обычно отличаются друг от друга на разносторонние треугольники. Определения и свойства тысяч центров треугольников собраны в Энциклопедия центров треугольников.

История

Хотя древние греки открыли классические центры треугольника, они не сформулировали никакого определения центра треугольника. После древних греков несколько особых точек, связанных с треугольником, например Точка Ферма, центр девяти точек, Точка Лемуана, Точка Жергонна, и Точка Фейербаха были обнаружены. Во время возрождения интереса к геометрии треугольника в 1980-х годах было замечено, что эти особые точки обладают некоторыми общими свойствами, которые теперь составляют основу для формального определения центра треугольника.^[1][2] По состоянию на 1 сентября 2020 г.^{[Обновить]}, Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников содержит аннотированный список из 39 474 центров треугольника.^[3]

Формальное определение

А функция с действительным знаком ж трех реальных переменных а, б, c может иметь следующие свойства:

• Однородность: ж(та,tb,tc) = т^п ж(а,б,c) для некоторой постоянной п и для всех т > 0.
• Бисимметрия по второй и третьей переменным: ж(а,б,c) = ж(а,c,б).

Если ненулевой ж обладает обоими этими свойствами, он называется функция центра треугольника. Если ж - функция центра треугольника и а, б, c - длины сторон контрольного треугольника, то точка, трилинейные координаты находятся ж(а,б,c) : ж(б,c,а) : ж(c,а,б) называется центр треугольника.

Это определение гарантирует, что центры треугольников аналогичных треугольников соответствуют критериям инвариантности, указанным выше. По соглашению указывается только первая из трех трилинейных координат центра треугольника, поскольку две другие получаются с помощью циклическая перестановка из а, б, c. Этот процесс известен как цикличность.^[4][5]

Каждая функция центра треугольника соответствует уникальному центру треугольника. Эта переписка не биективный. Различные функции могут определять один и тот же центр треугольника. Например, функции ж₁(а,б,c) = 1/а и ж₂(а,б,c) = до н.э оба соответствуют центроиду. Две функции центра треугольника определяют один и тот же центр треугольника тогда и только тогда, когда их отношение является функцией, симметричной относительно а, б и c.

Даже если функция центра треугольника хорошо определена везде, то же самое нельзя всегда сказать о соответствующем центре треугольника. Например, пусть ж(а, б, c) быть 0, если а/б и а/c оба рациональны и 1 в противном случае. Тогда для любого треугольника с целыми сторонами центр связанного треугольника оценивается как 0: 0: 0, что не определено.

Домен по умолчанию

В некоторых случаях эти функции не определены в целом ℝ³. Например, трилинейные Икс₃₆₅ находятся а^1/2 : б^1/2 : c^1/2 так а, б, c не может быть отрицательным. Кроме того, чтобы изобразить стороны треугольника, они должны удовлетворять неравенству треугольника. Итак, на практике каждая функция домен ограничен регионом ℝ³ куда а ≤ б + c, б ≤ c + а, и c ≤ а + б. Этот регион Т является областью всех треугольников и областью по умолчанию для всех функций на основе треугольников.

Другие полезные домены

Существуют различные случаи, когда может быть желательно ограничить анализ меньшей областью, чем Т. Например:

• Центры Икс₃, Икс₄, Икс₂₂, Икс₂₄, Икс₄₀ сделать конкретную ссылку на острые треугольники,
  а именно этот регион Т куда а² ≤ б² + c², б² ≤ c² + а², c² ≤ а² + б².
• При различении точки Ферма и Икс₁₃ важна область треугольников с углом, превышающим 2π / 3,
  другими словами, треугольники, для которых а² > б² + до н.э + c² или же б² > c² + ок + а² или же c² > а² + ab + б².
• Область большой практической ценности, так как она Т но исключает все тривиальные треугольники (т.е. точки) и вырожденные треугольники
  (т.е. линии) - это набор всех неравносторонний треугольники. Получается снятием плоскостей б = c, c = а, а = б из Т.

Симметрия домена

Не все подмножества D ⊆ Т это жизнеспособный домен. Для подтверждения теста на бисимметрию D должен быть симметричным относительно плоскостей б = c, c = а, а = б. Для поддержки цикличности она также должна быть инвариантной относительно 2π / 3 поворотов вокруг прямой а = б = c. Самая простая область - это линия (т,т,т) что соответствует множеству всех равносторонний треугольники.

Примеры

Треугольник (ΔABC) с центроид (ГРАММ), стимулятор (Я), центр окружности (O), ортоцентр (Рука центр девяти точек (N)

Окружной центр

Точка совпадения серединных перпендикуляров сторон треугольника ABC - это центр описанной окружности. Трилинейные координаты центра описанной окружности равны

а(б² + c² − а²) : б(c² + а² − б²) : c(а² + б² − c²).

Позволять ж(а,б,c) = а(б² + c² − а²). потом

ж(та,tb,tc) = (та) ( (tb)² + (tc)² − (та)² ) = т³ ( а( б² + c² − а²) ) = т³ ж(а,б,c) (однородность)

ж(а,c,б) = а(c² + б² − а²) = а(б² + c² − а²) = ж(а,б,c) (бисимметрия)

так что f - функция центра треугольника. Поскольку соответствующий центр треугольника имеет те же трилинейи, что и центр описанной окружности, следует, что центр описанной окружности является центром треугольника.

1-й изогонический центр

Пусть A'BC - равносторонний треугольник с основанием BC и вершиной A 'на отрицательной стороне BC, а AB'C и ABC' - равносторонние треугольники, построенные аналогичным образом, основанные на двух других сторонах треугольника ABC. Тогда прямые AA ', BB' и CC 'совпадают, и точка совпадения - это 1-й изогональный центр. Его трилинейные координаты:

csc (A + π / 3): csc (B + π / 3): csc (C + π / 3).

Выражая эти координаты через а, б и c, можно убедиться, что они действительно удовлетворяют определяющим свойствам координат центра треугольника. Следовательно, 1-й изогонический центр также является центром треугольника.

Точка Ферма

Позволять

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&({\text{equivalently }}A>2\pi /3),\\0&\quad {\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}&({\text{equivalently }}B>2\pi /3{\text{ or }}C>2\pi /3),\\\csc(A+\pi /3)&\quad {\text{otherwise }}&({\text{equivalently no vertex angle exceeds }}2\pi /3).\end{cases}}}$

потом ж является бисимметричным и однородным, поэтому это функция центра треугольника. Более того, соответствующий центр треугольника совпадает с тупоугольной вершиной, если любой угол вершины превышает 2π / 3, и с 1-м изогоническим центром в противном случае. Следовательно, центр этого треугольника есть не что иное, как Точка Ферма.

Не примеры

Баллы Brocard

Трилинейные координаты первой точки Брокара равны c/б : а/c : б/а. Эти координаты удовлетворяют свойствам однородности и цикличности, но не бисимметрии. Таким образом, первая точка Брокара не является (в общем случае) центром треугольника. Вторая точка Брокара имеет трилинейные координаты б/c : c/а : а/б и аналогичные замечания применимы.

Первая и вторая точки Брокара - одна из многих бицентрических пар точек,^[6] пары точек, определенные из треугольника со свойством, что пара (но не каждая отдельная точка) сохраняется при подобиях треугольника. Несколько бинарных операций, таких как средняя точка и трилинейное произведение, при применении к двум точкам Брокара, а также к другим бицентрическим парам, создают центры треугольников.

Векторы положения

Центры треугольников можно записать следующим образом

${\displaystyle P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}}.}$

Здесь, ${\displaystyle P,A,B,C}$ - векторы положения, и координаты ${\displaystyle w_{A},w_{B},w_{C}}$ являются скалярами, определение которых соответствует каждому экземпляру центра, можно увидеть в следующей таблице, где, ${\displaystyle a,b,c}$ - длины сторон, и, ${\displaystyle S}$ это площадь треугольника, для получения которой можно использовать формулу Герона.

	${\displaystyle w_{A}}$	${\displaystyle w_{B}}$	${\displaystyle w_{C}}$	${\displaystyle w_{A}+w_{B}+w_{C}}$
Incenter	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a+b+c}$
Excenter	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b+c-a}$
	${\displaystyle a}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle c+a-b}$
	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle a+b-c}$
Центроид	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$
Окружной центр	${\displaystyle a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$	${\displaystyle b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})}$	${\displaystyle c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$	${\displaystyle 16S^{2}}$
Ортоцентр	${\displaystyle a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}}$	${\displaystyle b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}}$	${\displaystyle c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}}$	${\displaystyle 16S^{2}}$

${\displaystyle a\equiv {\overline {BC}}={\sqrt {({\vec {BC}},{\vec {BC}})}},}$

${\displaystyle b\equiv {\overline {CA}}={\sqrt {({\vec {CA}},{\vec {CA}})}},}$

${\displaystyle c\equiv {\overline {AB}}={\sqrt {({\vec {AB}},{\vec {AB}})}},}$

${\displaystyle 16S^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}).}$

Некоторые известные центры треугольников

Классические центры треугольников

Энциклопедия Центры треугольников ссылка	Имя	Стандартный символ	Трилинейные координаты	Описание
Икс1	Incenter	я	1 : 1 : 1	Пересечение биссектриса угла. Центр треугольника вписанный круг.
Икс2	Центроид	грамм	до н.э : ок : ab	Пересечение медианы. Центр массы равномерного треугольника пластинка.
Икс3	Окружной центр	О	потому что А : cos B : cos C	Пересечение перпендикулярные биссектрисы сторон. Центр треугольника описанный круг.
Икс4	Ортоцентр	ЧАС	загар А : загар B : загар C	Пересечение высоты.
Икс5	Девятиточечный центр	N	cos (B − C): cos (C − А): cos (А − B)	Центр круга, проходящего через середину каждой стороны, основание каждой высоты и среднюю точку между ортоцентром и каждой вершиной.
Икс6	Симедианная точка	K	а : б : c	Пересечение симедиан - отражение каждой медианы относительно соответствующей биссектрисы угла.
Икс7	Точка Жергонна	грамме	до н.э/(б + c − а) : ок/(c + а − б) : ab/(а + б − c)	Пересечение линий, соединяющих каждую вершину с точкой, где вписанная окружность касается противоположной стороны.
Икс8	Точка Нагеля	Nа	(б + c − а)/а : (c + а − б)/б: (а + б − c)/c	Пересечение линий, соединяющих каждую вершину с точкой, где вневписанная окружность касается противоположной стороны.
Икс9	Mittenpunkt	M	б + c − а : c + а − б : а + б − c	Различные эквивалентные определения.
Икс10	Spieker центр	Sп	до н.э(б + c) : ок(c + а) : ab(а + б)	Центр среднего треугольника. Центр масс равномерного треугольного каркаса.
Икс11	Точка Фейербаха	F	1 - cos (B − C): 1 - cos (C − А): 1 - cos (А − B)	Точка, в которой окружность из девяти точек касается вписанной окружности.
Икс13	Точка Ферма	Икс	csc (А + π / 3): csc (B + π / 3): csc (C + π / 3) *	Точка - это наименьшая возможная сумма расстояний от вершин.
Икс15 Икс16	Изодинамические точки	S S′	грех (А + π / 3): грех (B + π / 3): грех (C + π / 3) грех (А - π / 3): грех (B - π / 3): грех (C - π / 3)	Центры инверсия которые превращают треугольник в равносторонний треугольник.
Икс17 Икс18	Наполеон очки	N N′	сек (А - π / 3): сек (B - π / 3): сек (C - π / 3) сек (А + π / 3): сек (B + π / 3): сек (C + π / 3)	Пересечение линий, соединяющих каждую вершину с центром равностороннего треугольника, направленного наружу (первая точка Наполеона) или внутрь (вторая точка Наполеона), установленного на противоположной стороне.
Икс99	Точка Штейнера	S	до н.э/(б^2 − c^2) : ок/(c^2 − а^2) : ab/(а^2 − б^2)	Различные эквивалентные определения.

(*): фактически 1-й изогонический центр, но также и точка Ферма, когда А,B,C ≤ 2π / 3

Последние центры треугольников

В следующей таблице более поздних центров треугольников не упоминаются конкретные обозначения для различных точек. Также для каждого центра указана только первая трилинейная координата f (a, b, c). Остальные координаты можно легко получить, используя свойство цикличности трилинейных координат.

Энциклопедия Центры треугольников ссылка	Имя	Центральная функция е (а, б, в)	Описанный год
Икс21	Точка Шиффлера	1 / (cos B + cos C)	1985
Икс22	Эксетер пойнт	а(б^4 + c^4 − а^4)	1986
Икс111	Точка парирования	а/(2а^2 − б^2 − c^2)	начало 1990-х
Икс173	Точка конгруэнтных изоселизаторов	загар (А/ 2) + сек (А/2)	1989
Икс174	Yff центр конгруэнтности	сек (А/2)	1987
Икс175	Изопериметрическая точка	- 1 + сек (А/ 2) cos (B/ 2) cos (C/2)	1985
Икс179	Первая точка Аджима-Малфатти	сек^4(А/4)
Икс181	Точка Аполлония	а(б + c)^2/(б + c − а)	1987
Икс192	Точка равных параллелей	до н.э(ок + ab − до н.э)	1961
Икс356	Центр Морли	cos (А/ 3) + 2 cos (B/ 3) cos (C/3)
Икс360	Нулевая точка Хофштадтера	А/а	1992

Общие классы центров треугольников

Кимберлинг центр

В честь Кларка Кимберлинга, создавшего онлайн-энциклопедию более 32000 треугольных центров, все треугольные центры, перечисленные в энциклопедии, вместе называются Кимберлинг центры.^[7]

Центр полиномиального треугольника

Центр треугольника P называется центр полиномиального треугольника если трилинейные координаты P могут быть выражены как многочлены от а, б и c.

Центр правильного треугольника

Центр треугольника P называется правильный треугольник если трилинейные координаты P могут быть выражены как многочлены от Δ, а, б и c, где Δ - площадь треугольника.

Центр большого треугольника

Центр треугольника P называется центр большого треугольника если трилинейные координаты точки P могут быть выражены в виде f (A): f (B): f (C), где f (A) является функцией только угла A и не зависит от других углов или от длины сторон.^[8]

Центр трансцендентного треугольника

Центр треугольника P называется центр трансцендентного треугольника если P не имеет трилинейного представления с использованием только алгебраических функций от a, b и c.

Разное

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Позволять ж - функция центра треугольника. Если две стороны треугольника равны (скажем, а = б) тогда

${\displaystyle f(a,b,c)=f(b,a,c)}$(поскольку а = б)

${\displaystyle \quad \quad \quad \quad =f(b,c,a)}$(по бисимметрии)

поэтому два компонента центра связанного треугольника всегда равны. Следовательно, центры всех треугольников равнобедренного треугольника должны лежать на его линии симметрии. В равностороннем треугольнике все три компонента равны, поэтому все центры совпадают с центроидом. Итак, как и у круга, равносторонний треугольник имеет уникальный центр.

Excenters

Позволять

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Легко видеть, что это функция центра треугольника, и (при условии, что треугольник разносторонний) соответствующий центр треугольника является эксцентром, противоположным наибольшему углу при вершине. Два других специалиста могут быть выбраны аналогичными функциями. Однако, как указано выше, только одна из сторон равнобедренного треугольника и ни одна из сторон равностороннего треугольника никогда не может быть центром треугольника.

Биантисимметричные функции

Функция ж является биантисимметричный если ж(а,б,c) = −ж(а,c,б) для всех а,б,c. Если такая функция также отлична от нуля и однородна, легко видеть, что отображение (a, b, c) → ж(а,б,c)² ж(б,c,а) ж(c,а,б) - функция центра треугольника. Соответствующий центр треугольника ж(а,б,c) : ж(б,c,а) : ж(c,а,б). По этой причине определение функции центра треугольника иногда включает ненулевые однородные биантисимметричные функции.

Новые центры из старых

Любая функция центра треугольника ж возможно нормализованный умножив его на симметричную функцию от а,б,c так что п = 0. Нормализованная функция центра треугольника имеет тот же центр треугольника, что и исходная, а также более сильное свойство: ж(та,tb,tc) = ж(а,б,c) для всех т > 0 и все (а,б,c). Нормированные функции центра треугольника вместе с нулевой функцией образуют алгебра при сложении, вычитании и умножении. Это дает простой способ создавать новые центры треугольников. Однако различные нормализованные функции центра треугольника часто определяют один и тот же центр треугольника, например ж и (abc)⁻¹(а+б+c)³ж .

Неинтересные центры

Предполагать а,б,c - вещественные переменные, а α, β, γ - любые три вещественные постоянные. Позволять

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{ if }}a<b{\text{ and }}a<c\quad {\text{(equivalently the first variable is the smallest)}},\\\gamma &\quad {\text{ if }}a>b{\text{ and }}a>c\quad {\text{(equivalently the first variable is the largest)}},\\\beta &\quad \;{\text{otherwise}}\quad \;\quad \quad \,\quad {\text{(equivalently the first variable is in the middle)}}.\end{cases}}}$ b { text {and}} a> c quad { text {(эквивалентно первая переменная самый большой)}}, beta & quad ; { text {else}} quad ; quad quad , quad { text {(эквивалентно первая переменная находится посередине)}} . end {case}}}

потом ж - функция центра треугольника, а α: β: γ - соответствующий центр треугольника, если стороны исходного треугольника помечены так, что а < б < c. Таким образом, каждая точка потенциально является центром треугольника. Однако подавляющее большинство центров треугольников мало интересны, как и большинство непрерывных функций. В Энциклопедия центров треугольников это постоянно расширяющийся список интересных.

Барицентрические координаты

Если ж является функцией центра треугольника, то так же аф и соответствующий центр треугольника аф(а,б,c) : парень(б,c,а) : ср(c,а,б). Поскольку это именно барицентрические координаты центра треугольника, соответствующего ж из этого следует, что центры треугольников с таким же успехом могли быть определены в терминах барицентрических, а не трилинейных. На практике переключиться с одной системы координат на другую несложно.

Бинарные системы

Помимо точки Ферма и 1-го изогонического центра, существуют и другие пары центров. Другая система образована Икс₃ и центр тангенциального треугольника. Рассмотрим функцию центра треугольника, задаваемую следующим образом:

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos(A)\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\,\,{\text{if the triangle is acute}},\\\cos(A)+\sec(B)\sec(C)\quad {\text{if the vertex angle at }}A{\text{ is obtuse}},\\\cos(A)-\sec(A)\quad \;\quad \;\quad \;\,{\text{if either of the angles at }}B{\text{ or }}C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$

Для соответствующего центра треугольника есть четыре различных возможности:

• cos (А): cos (B): cos (C), если справочный треугольник острый (это также центр описанной окружности).
• [cos (А) + сек (B) сек (C)]: [cos (B) - сек (B)]: [cos (C) - сек (C)], если угол при А тупой.
• [cos (А) - сек (А)]: [cos (B) + сек (C) сек (А)]: [cos (C) - сек (C)], если угол при B тупой.
• [cos (А) - сек (А)]: [cos (B) - сек (B)]: [cos (C) + сек (А) сек (B)], если угол при C тупой.

Обычный расчет показывает, что в каждом случае эти трилинейные линии представляют центр касательного треугольника. Таким образом, эта точка является центром треугольника, который является близким спутником центра описанной окружности.

Бисимметрия и инвариантность

Отражение треугольника меняет порядок его сторон. На изображении координаты относятся к (c,б,а) треугольник и (используя "|" в качестве разделителя) отражение произвольной точки α: β: γ есть γ | β | α. Если ж является функцией центра треугольника, отражение его центра треугольника равно ж(c,а,б) | ж(б,c,а) | ж(а,б,c), который по бисимметрии совпадает с ж(c,б,а) | ж(б,а,c) | ж(а,c,б). Поскольку это также центр треугольника, соответствующий ж относительно (c,б,а) треугольник, бисимметрия гарантирует, что все центры треугольника инвариантны относительно отражения. Поскольку повороты и сдвиги можно рассматривать как двойные отражения, они также должны сохранять центры треугольников. Эти свойства инвариантности служат обоснованием для определения.

Альтернативная терминология

Некоторые другие названия расширения: равномерное масштабирование, изотропное масштабирование, гомотетия, и гомотия.

Неевклидова и другие геометрии

Изучение треугольных центров традиционно связано с Евклидова геометрия, но центры треугольников можно изучать и в неевклидова геометрия.^[9] Сферический центры треугольников могут быть определены с помощью сферическая тригонометрия.^[10] Центры треугольников, которые имеют одинаковую форму для евклидова и гиперболическая геометрия можно выразить с помощью гиротригонометрия.^[11][12][13] В неевклидовой геометрии следует отказаться от предположения, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

Центры тетраэдры или многомерный симплексы также можно определить по аналогии с двумерными треугольниками.^[13]

Смотрите также

• Центральная линия
• Энциклопедия центров треугольников

Примечания

1. Кимберлинг, Кларк. «Центры треугольников». Получено 2009-05-23. В отличие от квадратов и кругов, треугольники имеют множество центров. Древние греки нашли четыре: центр тяжести, центр тяжести, центр окружности и ортоцентр. Пятый центр, обнаруженный намного позже, - это точка Ферма. После этого в литературу были добавлены точки, которые теперь называются центром девяти точек, точкой симедианы, точкой Жергонна и точкой Фейербаха. В 1980-х годах было замечено, что эти особые точки обладают некоторыми общими свойствами, которые теперь составляют основу формального определения центра треугольника.
2. Кимберлинг, Кларк (11 апреля 2018 г.) [1994]. «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Математический журнал. 67 (3): 163–187. Дои:10.2307/2690608. JSTOR  2690608.
3. Кимберлинг, Кларк. «Это ЧАСТЬ 20: Центры X (38001) - X (40000)». Энциклопедия центров треугольников.
4. Вайсштейн, Эрик В.. «Треугольник Центр». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. Получено 25 мая 2009.
5. Вайсштейн, Эрик В. "Функция центра треугольника". MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. Получено 1 июля 2009.
6. Бицентрические пары точек, Энциклопедия центров треугольников, дата обращения 2012-05-02.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Кимберлинг Центр». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. Получено 25 мая 2009.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Центр Большого Треугольника». MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. Получено 25 мая 2009.
9. Рассел, Роберт А. (18 апреля 2019 г.). «Центры неевклидовых треугольников». arXiv:1608.08190 [math.MG ].
10. Роб, Джонсон. «Сферическая тригонометрия» (PDF).
11. Гиперболические барицентрические координаты, Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, AJMAA, том 6, выпуск 1, статья 18, стр. 1-35, 2009 г.
12. Центры гиперболического треугольника: специальный релятивистский подход, Авраам Ангар, Springer, 2010 г.
13. Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение, Абрахам Ангар, World Scientific, 2010 г.^{[мертвая ссылка ]}

внешняя ссылка

• Манфред Эверс, О центрах и центральных линиях треугольников на эллиптической плоскости
• Манфред Эверс, О геометрии треугольника в эллиптической и расширенной гиперболической плоскости
• Кларк Кимберлинг, Центры треугольников из Эвансвиллский университет
• Эд Пегг, Центры треугольников в 2D, 3D, сферических и гиперболических из Wolfram Research.
• Пол Ю, Экскурсия по геометрии треугольника из Атлантический университет Флориды.