Биномиальная теорема - Binomial theorem - Wikipedia

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

В биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ появляется как б-я запись в пй ряд Треугольник Паскаля (отсчет начинается в 0). Каждая запись представляет собой сумму двух вышеупомянутых.

В элементарная алгебра, то биномиальная теорема (или же биномиальное разложение) описывает алгебраическое разложение полномочия из биномиальный. Согласно теореме можно разложить полином (Икс + у)^п в сумма включая условия формы топор^бу^c, где показатели б и c находятся неотрицательные целые числа с б + c = п, а коэффициент а каждого термина - это конкретный положительное число в зависимости от п и б. Например (для п = 4),

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$

Коэффициент а в срок топор^бу^c известен как биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ или же ${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$ (оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для варьирования п и б могут быть организованы в форме Треугольник Паскаля. Эти числа также встречаются в комбинаторика, куда ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ дает количество различных комбинации из б элементы который можно выбрать из п-элемент набор. Следовательно ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ часто произносится как "п выберите б".

История

Частные случаи биномиальной теоремы были известны по крайней мере с 4 века до нашей эры, когда Греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для экспоненты2.^[1][2] Есть свидетельства того, что биномиальная теорема для кубов была известна в Индии в VI веке нашей эры.^[1][2]

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие количество способов выбора k объекты из п без замены представляли интерес для древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это Чандамшастра индийского лирика Пингала (ок. 200 г. до н.э.), в котором содержится метод ее решения.^[3]:230 Комментатор Халаюда из 10 века нашей эры объясняет этот метод, используя то, что теперь известно как Треугольник Паскаля.^[3] К VI веку нашей эры индийские математики, вероятно, знали, как выразить это как частное. ${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$,^[4] и четкое изложение этого правила можно найти в тексте XII века. Лилавати к Бхаскара.^[4]

Первую формулировку биномиальной теоремы и таблицу биномиальных коэффициентов, насколько нам известно, можно найти в работе автора Аль-Караджи, цитируется Аль-Самав'ал в своем «аль-Бахире».^[5][6][7] Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов^[8] а также предоставил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математическая индукция.^[8] Персидский поэт и математик Омар Хайям вероятно, был знаком с этой формулой до более высоких порядков, хотя многие из его математических работ утеряны.^[2] Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII в. Ян Хуэй^[9] а также Чу Ши-Чи.^[2] Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту XI века. Цзя Сянь, хотя эти записи теперь также утеряны.^[3]:142

В 1544 г. Майкл Стифель ввел термин «биномиальный коэффициент» и показал, как их использовать для выражения ${\displaystyle (1+a)^{n}}$ с точки зрения ${\displaystyle (1+a)^{n-1}}$, через «треугольник Паскаля».^[10] Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своей Арифметический треугольник.^[11] Однако схема чисел была уже известна европейским математикам позднего Возрождения, в том числе Стифелю, Никколо Фонтана Тарталья, и Саймон Стевин.^[10]

Исаак Ньютон обычно приписывают обобщенную биномиальную теорему, справедливую для любого рационального показателя.^[10][12]

Заявление

Согласно теореме, можно расширить любую неотрицательную степень Икс + у в сумму вида

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$

куда ${\displaystyle n\geq 0}$ целое число и каждый ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ положительное целое число, известное как биномиальный коэффициент. (Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение мощности принимается равным 1, и этот мультипликативный коэффициент часто опускается в члене. Поэтому часто можно увидеть, что правая часть записывается как ${\displaystyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\ldots }$.) Эту формулу также называют биномиальная формула или биномиальная идентичность. С помощью обозначение суммирования, это можно записать как

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$

Окончательное выражение следует из предыдущего ввиду симметрии Икс и у в первом выражении, и из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична. Простой вариант биномиальной формулы получается следующим образом: замена 1 за у, так что в нем участвует только один Переменная. В таком виде формула выглядит так:

${\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}$

или эквивалентно

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}$

Примеры

Простым примером применения биномиальной теоремы является вывод формулы для квадрат из Икс + у:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, появляющиеся в этом разложении, соответствуют второй строке треугольника Паскаля. (Верхняя «1» треугольника по соглашению считается строкой 0). Коэффициенты при более высоких степенях Икс + у соответствуют нижним рядам треугольника:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}$

Из этих примеров можно увидеть несколько закономерностей. В общем, для расширения (Икс + у)^п:

1. полномочия Икс начать с п и уменьшать на 1 в каждом члене, пока не достигнет 0 (с Икс⁰ = 1, часто неписаные);
2. полномочия у начинаются с 0 и увеличиваются на 1, пока не достигнут п;
3. то п-я строка Треугольника Паскаля будет коэффициентами расширенного бинома, когда члены расположены таким образом;
4. количество членов в разложении до объединения одинаковых членов является суммой коэффициентов и равно 2^п; и
5. будут п + 1 термины в выражении после объединения одинаковых терминов в раскрытии.

Простой пример с конкретным положительным значением у:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$

Простой пример с конкретным отрицательным значением у:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$

Геометрическое объяснение

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Для положительных значений а и б, биномиальная теорема с п = 2 является геометрически очевидным фактом, что квадрат со стороной а + б можно разрезать на квадрат со стороны а, квадрат стороны б, и два прямоугольника со сторонами а и б. С п = 3, теорема утверждает, что куб со стороной а + б можно нарезать кубиком стороны а, куб стороны б, три а × а × б прямоугольные коробки и три а × б × б прямоугольные коробки.

В исчисление, эта картина также дает геометрическое доказательство производная ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$^[13] если установить ${\displaystyle a=x}$ и ${\displaystyle b=\Delta x,}$ устный перевод б как бесконечно малый изменение в а, то на этой картинке видно бесконечно малое изменение объема п-размерный гиперкуб, ${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$ где коэффициент при линейном члене (в ${\displaystyle \Delta x}$) является ${\displaystyle nx^{n-1},}$ площадь п лица, каждое из измерений п − 1:

${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$

Подставив это в определение производной через коэффициент разницы и принятие ограничений означает, что условия более высокого порядка, ${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$ и выше, становятся незначительными и дает формулу ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$ интерпретируется как

"бесконечно малая скорость изменения объема п-куб при изменении длины стороны - это площадь п своего (п − 1)-мерные лица ».

Если интегрировать эту картину, что соответствует применению основная теорема исчисления, получается Квадратурная формула Кавальери, интеграл ${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$ - видеть доказательство квадратурной формулы Кавальери для подробностей.^[13]

Биномиальные коэффициенты

Основная статья: Биномиальный коэффициент

Коэффициенты, входящие в биномиальное разложение, называются биномиальные коэффициенты. Обычно они пишутся ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ и произносится "п выберите k".

Формулы

Коэффициент Икс^п−kу^k дается формулой

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},}$

который определяется в терминах факториал функция п!. Эквивалентно эту формулу можно записать

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$

с k множители в числителе и знаменателе дробная часть. Хотя эта формула включает дробь, биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ на самом деле целое число.

Комбинаторная интерпретация

Биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ можно интерпретировать как количество способов выбора k элементы из п-элементный набор. Это связано с биномами по следующей причине: если мы напишем (Икс + у)^п как товар

${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$

тогда, согласно распределительный закон, в расширении будет один член для каждого выбора Икс или же у от каждого из биномов произведения. Например, будет только один термин Икс^п, соответствующий выбору Икс от каждого бинома. Однако будет несколько условий вида Икс^п−2у², по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов, которые вносят у. Поэтому после объединение похожих терминов, коэффициент Икс^п−2у² будет равно количеству способов выбрать точно 2 элементы из п-элементный набор.

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Пример

Коэффициент ху² в

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$

равно ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$ потому что есть три Икс,у строки длиной 3 с ровно двумя уs, а именно

${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$

соответствующие трем 2-элементным подмножествам {1, 2, 3}, а именно

${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$

где каждое подмножество определяет позиции у в соответствующей строке.

Общий случай

Расширение (Икс + у)^п дает сумму 2^п продукты формы е₁е₂ ... е_п где каждый е_я является Икс или жеу. Перестановка факторов показывает, что каждый продукт равен Икс^п−kу^k для некоторых k между 0 ип. Для данного k, последовательно оказываются равными:

• количество копий Икс^{п − k}у^k в расширении
• количество п-персонаж Икс,у струны, имеющие у точно k позиции
• количество k-элементные подмножества {1, 2, ..., п}
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если кто-то определяет ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ в качестве ${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Это доказывает биномиальную теорему.

Индуктивное доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда п = 0, обе стороны равны 1, поскольку Икс⁰ = 1 и ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$ Теперь предположим, что равенство выполняется для данного п; мы докажем это для п + 1. За j, k ≥ 0, позволять [ж(Икс, у)]_j,k обозначим коэффициент при Икс^jу^k в полиноме ж(Икс, у). По индуктивному предположению (Икс + у)^п является многочленом от Икс и у такой, что [(Икс + у)^п]_j,k является ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ если j + k = п, и 0 иначе. Личность

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$

показывает, что (Икс + у)^п+1 также является полиномом от Икс и у, и

${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$

так как если j + k = п + 1, тогда (j − 1) + k = п и j + (k − 1) = п. Теперь правая часть

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$

к Личность Паскаля.^[14] С другой стороны, если j + k ≠ п + 1, тогда (j – 1) + k ≠ п и j + (k – 1) ≠ п, так что получаем 0 + 0 = 0. Таким образом

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$

что является индуктивной гипотезой с п + 1 заменен на п и на этом индуктивный шаг завершен.

Обобщения

Обобщенная биномиальная теорема Ньютона

Основная статья: Биномиальный ряд

Около 1665 г. Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, чтобы разрешить действительные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. (Такое же обобщение применимо и к сложный показателей.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечная серия. Для этого нужно придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, чего нельзя сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа р, можно определить

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$

куда ${\displaystyle (\cdot )_{k}}$ это Символ Поххаммера, здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями, когда р является целым неотрицательным числом. Тогда, если Икс и у настоящие числа с |Икс| > |у|,^{[Примечание 1]} и р любое комплексное число,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$

Когда р - целое неотрицательное число, биномиальные коэффициенты при k > р равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и существует не более р + 1 ненулевые члены. Для других значений р, ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Например, р = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }$

Принимая р = −1, обобщенный биномиальный ряд дает формула геометрического ряда, Годен до |Икс| < 1:

${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots }$

В более общем плане с р = −s:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$

Так, например, когда s = 1/2,

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }$

Дальнейшие обобщения

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда Икс и у - комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить |Икс| > |у|^{[Примечание 1]} и определить полномочия Икс + у и Икс используя голоморфный ветка журнала определяется на открытом диске радиуса |Икс| сосредоточен на Икс. Обобщенная биномиальная теорема верна также для элементов Икс и у из Банахова алгебра так долго как ху = yx, и Икс обратима, и ||у/Икс|| < 1.

Версия биномиальной теоремы верна для следующих Символ Поххаммера -подобное семейство многочленов: для заданной действительной константы c, определять ${\displaystyle x^{(0)}=1}$ и

${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$

за ${\displaystyle n>0.}$ потом^[15]

${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$

Дело c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.

В более общем смысле, последовательность ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ полиномов называется биномиальный если

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$ для всех ${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, и
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$ для всех ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle n}$.

Оператор ${\displaystyle Q}$ на пространстве многочленов называется базисный оператор последовательности ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ если ${\displaystyle Qp_{0}=0}$ и ${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ для всех ${\displaystyle n\geqslant 1}$. Последовательность ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ является биномиальным тогда и только тогда, когда его базисным оператором является Дельта-оператор.^[16] Письмо ${\displaystyle E^{a}}$ для смены ${\displaystyle a}$ оператора, дельта-операторы, соответствующие указанным выше семействам многочленов "Поххаммера", являются обратной разностью ${\displaystyle I-E^{-c}}$ за ${\displaystyle c>0}$, обычная производная для ${\displaystyle c=0}$, а прямая разница ${\displaystyle E^{-c}-I}$ за ${\displaystyle c<0}$.

Полиномиальная теорема

Основная статья: Полиномиальная теорема

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Общая версия

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$

где суммирование ведется по всем последовательностям целых неотрицательных индексов k₁ через k_м так что сумма всех k_я являетсяп. (Для каждого члена в расширении показатели должны составлять в сумме доп). Коэффициенты ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$ известны как полиномиальные коэффициенты и могут быть вычислены по формуле

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$

Комбинаторно полиномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$ подсчитывает количество различных способов раздел ан п-элемент установлен в непересекающийся подмножества размеров k₁, ..., k_м.

Многобиномиальная теорема

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$

Это может быть записано более кратко: многоиндексная запись, так как

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$

Общее правило Лейбница

Основная статья: Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница дает п-я производная произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы:^[17]

${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$

Здесь верхний индекс (п) указывает на п-я производная функции. Если установить ж(Икс) = е^топор и грамм(Икс) = е^bx, а затем отменяет общий множитель е^{(а + б)Икс} с обеих сторон результата восстанавливается обычная биномиальная теорема.^[18]

Приложения

Многоугловые тождества

Для сложные числа биномиальную теорему можно объединить с формула де Муавра уступить многоугольные формулы для синус и косинус. Согласно формуле Де Муавра,

${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно расширить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos (nx) и грех (nx). Например, поскольку

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,}$

Формула Де Муавра говорит нам, что

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$

которые являются обычными двухугловыми тождествами. Аналогично, поскольку

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$

Формула Де Муавра дает

${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$

В целом,

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$

и

${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$

Серия для е

В номер е часто определяется формулой

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению приводит к обычному бесконечная серия за е. Особенно:

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$

В kый член этой суммы

${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$

В качестве п → ∞, рациональное выражение правильных подходов 1, и поэтому

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$

Это указывает на то, что е можно записать в виде ряда:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$

В самом деле, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающая функция из п, следует из теорема о монотонной сходимости для рядов сумма этого бесконечного ряда равнае.

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией массы вероятности отрицательное биномиальное распределение. Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$ с вероятностью успеха ${\displaystyle p\in [0,1]}$ все не происходит

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Полезная верхняя граница для этой величины: ${\displaystyle e^{-p|S|}.}$^[19]

В абстрактной алгебре

Биномиальная теорема верна в более общем смысле для любых элементов Икс и у из полукольцо удовлетворение ху = yx. В теорема верно даже в более общем смысле: альтернативность достаточно вместо ассоциативность.

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, Икс, Икс², Икс³, ...} имеет биномиальный тип.

В популярной культуре

• Биномиальная теорема упоминается в Песня генерал-майора в комической опере Пираты Пензанса.
• Профессор Мориарти описывается Шерлоком Холмсом как написавший трактат по биномиальной теореме.
• Португальский поэт Фернандо Песоа, используя гетероним Альваро де Кампос, писал, что «бином Ньютона так же красив, как Венера Милосская. Правда в том, что это мало кто замечает ".^[20]
• В фильме 2014 года Имитационная игра Алан Тьюринг ссылается на работу Исаака Ньютона над теоремой о биномах во время его первой встречи с командующим Деннистоном в Блетчли-парке.

Смотрите также

• Математический портал

• Биномиальное приближение
• Биномиальное распределение
• Биномиальная обратная теорема
• Приближение Стирлинга

Примечания

1. Это должно гарантировать конвергенцию. В зависимости от р, ряд также может иногда сходиться, когда |Икс| = |у|.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. "Биномиальная теорема". Вольфрам MathWorld.
2. Кулидж, Дж. Л. (1949). «История биномиальной теоремы». Американский математический ежемесячник. 56 (3): 147–157. Дои:10.2307/2305028. JSTOR  2305028.
3. Жан-Клод Марцлофф; С.С. Уилсон; Дж. Гернет; Дж. Домбрес (1987). История китайской математики. Springer.
4. Биггс, Н. Л. (1979). «Корни комбинаторики». Historia Math. 6 (2): 109–136. Дои:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
5. «БИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: ШИРОКОРАСПРЕДЕЛЕННАЯ КОНЦЕПЦИЯ В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ИСЛАМСКОЙ МАТЕМАТИКЕ» (PDF). core.ac.uk. п. 401. Получено 2019-01-08.
6. «Укрощение неизвестного. История алгебры с древности до начала двадцатого века» (PDF). Бюллетень Американского математического общества: 727. Однако алгебра продвинулась в других отношениях. Около 1000 г. аль-Караджи сформулировал биномиальную теорему
7. Рашед, Р. (30 июня 1994 г.). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй. Springer Science & Business Media. п. 63. ISBN  9780792325659.
8. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Абу Бекр ибн Мухаммад ибн аль-Хусейн аль-Караджи», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
9. Ландау, Джеймс А. (1999-05-08). "Архив списка рассылки Historia Matematica: Re: [HM] Треугольник Паскаля" (адрес электронной почты списка рассылки). Архивы Historia Matematica. Получено 2007-04-13.
10. Клайн, Моррис (1972). История математической мысли. Издательство Оксфордского университета. п. 273.
11. Кац, Виктор (2009). «14.3: Элементарная вероятность». История математики: введение. Эддисон-Уэсли. п. 491. ISBN  0-321-38700-7.
12. Бурбаки, Н. (18 ноября 1998 г.). Элементы истории математики в мягкой обложке. Дж. Мелдрам (переводчик). ISBN  978-3-540-64767-6.
13. Барт, Нильс Р. (2004). "Вычисление квадратурной формулы Кавальери по симметрии п-Кубик ». Американский математический ежемесячник. 111 (9): 811–813. Дои:10.2307/4145193. ISSN  0002-9890. JSTOR  4145193, авторская копия, дальнейшие замечания и ресурсы
14. Биномиальная теорема - индуктивные доказательства В архиве 24 февраля 2015 г. Wayback Machine
15. Соколовский, Дан; Ренни, Бэзил С. (февраль 1979 г.). «Проблема 352» (PDF). Crux Mathematicorum. 5 (2): 55–56.
16. Айгнер, Мартин (1997) [Перепечатка издания 1979 года]. Комбинаторная теория. Springer. п.105. ISBN  3-540-61787-6.
17. Олвер, Питер Дж. (2000). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Springer. С. 318–319. ISBN  9780387950006.
18. Спайви, Майкл З. (2019). Искусство доказательства биномиальных тождеств. CRC Press. п. 71. ISBN  978-1351215800.
19. Обложка, Томас М .; Томас, Джой А. (01.01.2001). Сжатие данных. John Wiley & Sons, Inc. стр. 320. Дои:10.1002 / 0471200611.ch5. ISBN  9780471200611.
20. "Arquivo Pessoa: Obra Édita - O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo". arquivopessoa.net.

дальнейшее чтение

• Сумка, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Индийский J. History Sci. 1 (1): 68–74.
• Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). «(5) Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр.153 –256. ISBN  978-0-201-55802-9. OCLC  17649857.

внешняя ссылка

• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Бином Ньютона», Энциклопедия математики, EMS Press
• Биномиальная теорема к Стивен Вольфрам, и "Биномиальная теорема (шаг за шагом)" Брюс Коллетти и Джефф Брайант, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007.

В этой статье использован материал индуктивного доказательства биномиальной теоремы о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.