Номер декана - Dean number - Wikipedia

В Номер декана (Де) это безразмерная группа в механика жидкости, что происходит при исследовании течения в криволинейных трубы и каналы. Он назван в честь Британский ученый В. Р. Дин, который первым предложил теоретическое решение движения жидкости через изогнутые трубы для ламинарный поток с помощью процедуры возмущения из Поток Пуазейля в прямой трубе к потоку в трубе с очень малой кривизной.[1][2]

Физический контекст

Схема пары вихрей Дина, образующихся в изогнутых трубах.

Если жидкость движется по прямой трубе, которая в какой-то момент становится изогнутой, центростремительные силы на изгибе частицы жидкости изменят свое основное направление движения. Будет создаваться неблагоприятный градиент давления из-за кривизны с увеличением давления, поэтому уменьшение скорости вблизи выпуклой стенки и обратное будет происходить по направлению к внешней стороне трубы. Это приводит к вторичному движению, накладываемому на первичный поток, при этом жидкость в центре трубы уносится к внешней стороне колена, а жидкость у стенки трубы возвращается внутрь колена. Ожидается, что это вторичное движение появится в виде пары противоположно вращающихся ячеек, которые называются Дин вихри.

Определение

Номер декана обычно обозначается Де (или же Dn). Для потока в трубе или трубе он определяется как:

куда

  • это плотность жидкости
  • это динамическая вязкость
  • - масштаб осевой скорости
  • - диаметр (для некруглой геометрии используется эквивалентный диаметр; см. Число Рейнольдса )
  • - радиус кривизны пути канала.
  • это Число Рейнольдса.

Следовательно, число Дина является произведением числа Рейнольдса (на основе осевого потока через трубу диаметром ) и квадратный корень из коэффициента кривизны.

Переход турбулентности

Для низких чисел Дина (De <40 ~ 60) поток является полностью однонаправленным. По мере увеличения числа Дина от 40 ~ 60 до 64 ~ 75 в поперечном сечении могут наблюдаться некоторые волнообразные возмущения, свидетельствующие о некотором вторичном течении. При более высоких числах Дина (De> 64 ~ 75) пара вихрей Дина становится стабильной, что указывает на первичную динамическую нестабильность. Вторичная нестабильность появляется при De> 75 ~ 200, когда вихри представляют собой волнообразные движения, закручивание и, в конечном итоге, слияние и расщепление пар. При De> 400 образуется полностью турбулентный поток.[3] Переход от ламинарного к турбулентному потоку также рассматривался в ряде исследований, хотя универсального решения не существует, так как параметр сильно зависит от коэффициента кривизны.[4] Несколько неожиданно ламинарный поток может поддерживаться для больших чисел Рейнольдса (даже в два раза для самых высоких изученных коэффициентов кривизны), чем для прямых труб, хотя известно, что кривизна вызывает нестабильность.[5]

Уравнения Дина

Номер декана появляется в так называемом Уравнения Дина.[6] Это приближение к полному Уравнения Навье – Стокса для установившегося аксиально однородного потока Ньютоновская жидкость в тороидальный труба, полученная путем сохранения только ведущий заказ эффекты кривизны (т.е. начальник уравнения для ).

Мы используем ортогональные координаты с соответствующими единичными векторами по средней линии трубы в каждой точке. Осевое направление , с нормаль в плоскости центральной линии, и в бинормальный. Для осевого потока, управляемого градиентом давления , осевая скорость масштабируется с . Поперечные скорости масштабируются с , и поперечные давления с . Длины масштабируются с учетом радиуса трубы. .

Тогда в терминах этих безразмерных переменных и координат уравнения Дина имеют вид

куда

это конвективная производная.

Номер декана D является единственным параметром, оставшимся в системе, и инкапсулирует ведущий заказ эффекты кривизны. Аппроксимации более высокого порядка будут включать дополнительные параметры.

Для эффектов слабой кривизны (небольшой D) уравнения Дина можно решить как разложение в ряд по D. Первая поправка к осевому Поток Пуазейля представляет собой пару вихрей в поперечном сечении, несущую поток изнутри наружу изгиба через центр и обратно по краям. Это решение стабильно до критического числа Дина. .[7] Для большего D, есть несколько решений, многие из которых нестабильны.


Связь с числом нуссельта


в которой:

  • Re - число Рейнольдса
  • Де - номер декана
  • Nu - число Нуссельта

Рекомендации

  1. ^ Дин, У. Р. (1927). «Замечание о движении жидкости в изогнутой трубе». Фил. Mag. 4 (20): 208–223. Дои:10.1080/14786440708564324.
  2. ^ Дин, У. Р. (1928). «Обтекаемое движение жидкости в изогнутой трубе». Фил. Mag. Серия 7. 5 (30): 673–695. Дои:10.1080/14786440408564513.
  3. ^ Лиграни, Филипп М. "Исследование развития и структуры вихря Дина в изогнутом прямоугольном канале с соотношением сторон 40 по номерам Дина до 430", Исследовательская лаборатория армии США (Отчет подрядчика ARL-CR-144) и Исследовательский центр Льюиса (Отчет подрядчика НАСА 4607), июль 1994. Проверено 11 июля 2017 года.
  4. ^ Калпаклы, Афанасия (2012). Экспериментальное исследование турбулентных течений через изгибы труб. (Тезис). Стокгольм, Швеция: Королевский технологический институт KTH Mechanics. С. 461–512.
  5. ^ Тейлор, Г. И. (1929). «Критерий турбулентности в изогнутых трубах». Труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 124 (794): 243–249. Bibcode:1929RSPSA.124..243T. Дои:10.1098 / rspa.1929.0111.
  6. ^ Местель, Дж. Течение в изогнутых трубах: уравнения Дина, Раздаточный материал лекции для курса M4A33, Императорский колледж.
  7. ^ Dennis, C.R .; Нг, М. (1982). «Двойные решения для устойчивого ламинарного потока через изогнутую трубу». Q. J. Mech. Appl. Математика. 35 (3): 305. Дои:10.1093 / qjmam / 35.3.305.