Магнитное число Рейнольдса - Magnetic Reynolds number

В магнитное число Рейнольдса (р_м) является магнитным аналогом Число Рейнольдса, фундаментальный безразмерная группа это происходит в магнитогидродинамика. Это дает оценку относительного воздействия адвекция или же индукция магнитного поля движением проводящей среды, часто жидкости, к магнитному распространение. Обычно это определяется:

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}~~\sim {\frac {\mathrm {induction} }{\mathrm {diffusion} }}}$

куда

• ${\displaystyle U}$ - типичный масштаб скорости потока
• ${\displaystyle L}$ - типичный масштаб длины потока
• ${\displaystyle \eta }$ это коэффициент магнитной диффузии

Механизм, с помощью которого движение проводящей жидкости создает магнитное поле, является предметом изучения. теория динамо. Однако, когда магнитное число Рейнольдса очень велико, диффузия и динамо не вызывают беспокойства, и в этом случае фокус вместо этого часто основан на влиянии магнитного поля на поток.

Вывод

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ широко используется в физике плазмы, где распространены два типа единиц СИ (гауссовские сгс и СИ-мкс), потому что гауссовские сгс-единицы часто позволяют более чистые выводы, из которых физическое обоснование более ясно, поэтому стоит записать вывод в обоих наборах единиц. В теории магнитогидродинамика, уравнение переноса для магнитного поля, ${\displaystyle \mathbf {B} }$, является

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+{\frac {\rho _{e}}{\mu _{o}}}\nabla ^{2}\mathbf {B} }$

в единицах СИ мкс и

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+{\frac {\rho _{e}c^{2}}{4\pi }}\nabla ^{2}\mathbf {B} }$

в гауссовых единицах cgs, для проницаемости свободного пространства ${\displaystyle \mu _{o}}$, скорость света ${\displaystyle c}$, скорость жидкости ${\displaystyle \mathbf {u} }$, и удельное сопротивление ${\displaystyle \rho _{e}}$. Единицы ${\displaystyle \rho _{e}}$ - Ом-м в СИ-мкс и секунды в гауссовых единицах измерения. Последний член в каждом из этих уравнений представляет собой диффузионный член с кинематическим коэффициентом диффузии, ${\displaystyle \eta }$ имеющий единицы расстояния в квадрате в единицу времени, являющийся фактором, умножающим ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} }$. Таким образом, независимая от единиц форма этих двух уравнений имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} .}$

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ - это отношение двух членов в правой части при условии, что они имеют общую длину шкалы ${\displaystyle L}$ такой, что ${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$ в обоих терминах, и что масштаб ${\displaystyle \mathbf {u} }$ является ${\displaystyle U}$. Таким образом, можно найти

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}={\frac {UL\mu _{o}}{\rho _{e}}}}$

в единицах СИ мкс и

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}={\frac {4\pi UL}{\rho _{e}c^{2}}}}$

в гауссовых единицах cgs.

Некоторая путаница часто возникает из-за того, что ${\displaystyle \eta }$ обычно используется как для коэффициента магнитопроводности, так и для удельного сопротивления плазмы, причем соотношение в единицах СИ (мкс) ${\displaystyle \eta =\rho _{e}/\mu _{o}}$.

Общие характеристики для больших и малых R_м

За ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$адвекция относительно не важна, и поэтому магнитное поле будет иметь тенденцию релаксировать к чисто диффузионному состоянию, определяемому скорее граничными условиями, чем потоком.

За ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1}$, диффузия относительно не важна в масштабе длины L. Затем силовые линии магнитного поля адвектируются с потоком жидкости до тех пор, пока градиенты не концентрируются в областях с достаточно коротким масштабом длины, чтобы диффузия могла уравновесить адвекцию.

Диапазон значений

Солнце огромное и имеет большой ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$, порядка 10⁶. Диссипативные эффекты обычно невелики, и нетрудно поддерживать магнитное поле против диффузии.

Для Земли, ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ оценивается порядка 10³.^[1]Рассеяние более значимо, но магнитное поле поддерживается движением во внешнем сердечнике из жидкого железа. В Солнечной системе есть и другие тела с работающими динамо, например Юпитер, Сатурн и Меркурий, а также другие, которые этого не делают, например Марс, Венера и Луна.

Человеческий масштаб длины очень мал, поэтому обычно ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$. Генерация магнитного поля за счет движения проводящей жидкости была достигнута лишь в нескольких крупных экспериментах с использованием ртути или жидкого натрия.^[2][3][4]

Границы

В ситуациях, когда постоянное намагничивание невозможно, например, выше Температура Кюри, чтобы поддерживать магнитное поле ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ должен быть достаточно большим, чтобы индукция перевешивала диффузию. Для индукции важна не абсолютная величина скорости, а скорее относительные различия и сдвиги в потоке, которые растягивают и складывают силовые линии магнитного поля.^[5] Следовательно, более подходящей формой для магнитного числа Рейнольдса в этом случае является

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}}$

где S - мера деформации. Один из наиболее известных результатов принадлежит Бэкусу. ^[6]который гласит, что минимум ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$ для создания магнитного поля потоком в сфере такова, что

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}}$

куда ${\displaystyle L=a}$ - радиус сферы и ${\displaystyle S=e_{max}}$ - максимальная скорость деформации, которая с тех пор была улучшена Проктором примерно на 25%.^[7]

Во многих исследованиях генерации магнитного поля потоком рассматривается удобный в вычислительном отношении периодический куб. В этом случае минимум оказывается^[8]

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }=2.48}$

куда ${\displaystyle S}$ - среднеквадратичная деформация в масштабированной области со сторонами длины ${\displaystyle 2\pi }$. Если исключить срез на мелкие чешуйки в кубе, то ${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73}$ - минимум, где ${\displaystyle U}$ - среднеквадратичное значение.

Связь с числом Рейнольдса и числом Пекле

Магнитное число Рейнольдса имеет аналогичный вид как для Число Пекле и Число Рейнольдса. Все три могут рассматриваться как дающие отношение адвективных к диффузионным эффектам для конкретного физического поля и имеют аналогичную форму скорости, умноженной на длину, деленную на коэффициент диффузии. Магнитное число Рейнольдса связано с магнитным полем в МГД-потоке, в то время как число Рейнольдса связано с самой скоростью жидкости, а число Пекле связано с теплотой. Безразмерные группы возникают при обезразмеривании соответствующих определяющих уравнений: уравнение индукции, то уравнение импульса, а уравнение теплопроводности.

Связь с вихретоковым торможением

Безразмерное магнитное число Рейнольдса, ${\displaystyle R_{m}}$, также используется в случаях, когда физическая жидкость не задействована.

${\displaystyle R_{m}=\mu \sigma }$ × (характерная длина) × (характерная скорость)

куда

${\displaystyle \mu }$ магнитная проницаемость

${\displaystyle \sigma }$ - электропроводность.

За ${\displaystyle R_{m}<1}$ то скин эффект незначительна, а вихретоковое торможение крутящий момент соответствует теоретической кривой асинхронного двигателя.

За ${\displaystyle R_{m}>30}$ преобладает скин-эффект, и тормозной момент уменьшается с увеличением скорости намного медленнее, чем предсказывается моделью асинхронного двигателя.^[9]

Смотрите также

• Число Лундквиста
• Магнитогидродинамика
• Число Рейнольдса
• Число Пекле

Рекомендации

1. Дэвис, С .; и другие. (2015). «Ограничения свойств материала на динамику и эволюцию ядра Земли» (PDF). Природа Геонауки. 8: 678. Bibcode:2015НатГе ... 8..678Д. Дои:10.1038 / ngeo2492.
2. Gailitis, A .; и другие. (2001). «Насыщение магнитного поля в эксперименте Рижское динамо». Письма с физическими проверками. 86 (14): 3024. arXiv:физика / 0010047. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.3024Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.3024. PMID  11290098.
3. Steiglitz, R .; У. Мюллер (2001). «Экспериментальная демонстрация однородного двухмасштабного динамо». Физика жидкостей. 13: 561–564. Bibcode:2001ФФл ... 13..561С. Дои:10.1063/1.1331315.
4. Moncheaux, R .; и другие. (2007). «Генерация магнитного поля действием динамо в турбулентном потоке жидкого натрия». Письма с физическими проверками. 98: 044502. arXiv:физика / 0701075. Bibcode:2007ПхРвЛ..98д4502М. Дои:10.1103 / PhysRevLett.98.044502.
5. Моффатт, К. (2000). «Размышления о магнитогидродинамике» (PDF): 347–391.
6. Бэкус, Г. (1958). «Класс самоподдерживающихся диссипативных сферических динамо». Анна. Phys. 4: 372. Bibcode:1958 АнФи ... 4..372Б. Дои:10.1016 / 0003-4916 (58) 90054-Х.
7. Проктор, М. (1977). «О необходимом условии Бэкуса для действия динамо в проводящей сфере». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика. 9: 177. Bibcode:1977GApFD ... 9 ... 89P. Дои:10.1080/03091927708242317.
8. Уиллис, А. (2012). «Оптимизация магнитного динамо». Письма с физическими проверками. 109: 251101. arXiv:1209.1559. Bibcode:2012PhRvL.109y1101W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.109.251101. PMID  23368443.
9. Риппер, доктор медицины; Эндин, В.Г. (март 1975 г.). «Измерение крутящего момента вихретокового торможения на толстом медном диске». Proc IEE. 122 (3): 301–302. Дои:10.1049 / piee.1975.0080.

дальнейшее чтение

• Моффатт, Х. Кейт, 2000 г. "Размышления о магнитогидродинамике ". В: Перспективы гидродинамики (ISBN  0-521-53169-1) (Под ред. Г. К. Бэтчелора, Г. К. Моффатта и М. Г. Уорстера) Издательство Кембриджского университета С. 347–391.
• П. А. Дэвидсон, 2001 г., Введение в магнитогидродинамику (ISBN  0-521-79487-0), Издательство Кембриджского университета.