Спорадическая группа Маклафлина - McLaughlin sporadic group

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Маклафлина McL - это спорадическая простая группа из порядок

   2⁷ ⋅ 3⁶ ⋅ 5³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898,128,000

≈ 9×10⁸.

История и свойства

McL - одна из 26 спорадических групп, обнаруженная Джеком Маклафлином (1969 ) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующей на График Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершины. Это исправляет 2-2-3 треугольник в Решетка пиявки и, таким образом, является подгруппой группы Конвей группы ${displaystyle mathrm {Co} _{0}}$, ${displaystyle mathrm {Co} _{2}}$, и ${displaystyle mathrm {Co} _{3}}$. Его Множитель Шура имеет порядок 3, а его группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL: 2 является максимальной подгруппой группы Лионская группа.

McL имеет один класс сопряженной инволюции (элемент порядка 2), централизатор которого является максимальной подгруппой типа 2.₈. Это центр порядка 2; фактор по центру изоморфен знакопеременной группе A₈.

Представления

в Конвей группа Co₃, McL имеет нормализатор McL: 2, максимальный в Co₃.

McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Группа Матье M₂₂. Внешний автоморфизм меняет местами два класса M₂₂ группы. Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа в Co₃.

Удобное представление M₂₂ находится в матрицах перестановок по последним 22 координатам; он фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами начала координат и тип 2 точки Икс = (−3, 1²³) и у = (−4,-4,0²²)'. Край треугольника Икс-у = (1, 5, 1²²) является тип 3; он фиксируется Co₃. Это M₂₂ это одночлен, и максимальное, подгруппа представления McL.

Уилсон (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL определена корректно. в Решетка пиявки, предположим, что точка типа 3 v фиксируется экземпляром ${displaystyle mathrm {Co} _{3}}$. Подсчитайте тип 2 балла ш так что внутренний продукт v·ш = 3 (и, следовательно, v-ш это тип 2). Он показывает, что их количество 552 = 2³⋅3⋅23 и что этот Co₃ транзитивен на этих ш.

| McL | = | Co3 | / 552 = 898,128,000.

McL - единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионный тип. Он имеет 2 таких представления, одно размерности 3520 и одно размерности 4752.

Максимальные подгруппы

Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп группы McL следующим образом:

• U₄(3) заказ 3 265 920 индекс 275 - точечный стабилизатор его действия на графе Маклафлина
• M₂₂ порядок 443,520, индекс 2,025 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
• U₃(5) порядок 126,000 индекс 7,128
• 3¹⁺⁴: 2.S₅ заказ 58,320 индекс 15,400
• 3⁴:M₁₀ заказ 58,320 индекс 15,400
• L₃(4):2₂ заказ 40,320 индекс 22,275
• 2.А₈ порядок 40,320, индекс 22,275 - централизатор инволюции
• 2⁴: А₇ порядок 40,320, индекс 22,275 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
• M₁₁ заказ 7,920 индекс 113,400
• 5₊¹⁺²: 3: 8 индекс порядка 3000 299,376

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп.^[2]

Показаны циклические структуры в представлении перестановки ранга 3, степени 275, McL.^[3]

Учебный класс	Заказ централизатора	Кол-во элементов	След	Тип цикла
1А	898,128,000	1	24
2А	40,320	3^4 ⋅ 5^2 ⋅ 11	8	1^35, 2^120
3А	29,160	2^4 ⋅ 5^2 ⋅ 7 ⋅ 11	-3	1^5, 3^90
3B	972	2^3 ⋅ 3 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	6	1^14, 3^87
4А	96	2^2 ⋅ 3^5 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	4	1^7, 2^14, 4^60
5А	750	2^6 ⋅ 3^5 ⋅ ⋅ 7 ⋅ 11	-1	5^55
5B	25	2^7 ⋅ 3^6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4	1^5, 5^54
6А	360	2^4 ⋅ 3^4 ⋅ 5^2 ⋅ 7 ⋅ 11	5	1^5, 3^10, 6^40
6B	36	2^5 ⋅ 3^4 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	2	1^2, 2^6, 3^11, 6^38
7А	14	2^6 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 11	3	1^2, 7^39	эквивалент мощности
7B	14	2^6 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 11	3	1^2, 7^39
8А	8	2^4 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	2	1, 2^3, 4^7, 8^30
9А	27	2^7 ⋅ 3^3 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	3	1^2, 3, 9^30	эквивалент мощности
9B	27	2^7 ⋅ 3^3 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	3	1^2, 3, 9^30
10А	10	2^6 ⋅ 3^5 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	3	5^7, 10^24
11А	11	2^7 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 7	2	11^25	эквивалент мощности
11B	11	2^7 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 7	2	11^25
12А	12	2^5 ⋅ 3^5 ⋅ 5^3 ⋅ 7 ⋅ 11	1	1, 2^2, 3^2, 6^4, 12^20
14А	14	2^6 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 11	1	2, 7^5, 14^17	эквивалент мощности
14B	14	2^6 ⋅ 3^6 ⋅ 5^3 ⋅ 11	1	2, 7^5, 14^17
15А	30	2^6 ⋅ 3^5 ⋅ 5^2 ⋅ 7 ⋅ 11	2	5, 15^18	эквивалент мощности
15B	30	2^6 ⋅ 3^5 ⋅ 5^2 ⋅ 7 ⋅ 11	2	5, 15^18
30А	30	2^6 ⋅ 3^5 ⋅ 5^2 ⋅ 7 ⋅ 11	0	5, 15^2, 30^8	эквивалент мощности
30B	30	2^6 ⋅ 3^5 ⋅ 5^2 ⋅ 7 ⋅ 11	0	5, 15^2, 30^8

Обобщенный чудовищный самогон

Основная статья: Обобщенный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для Конвей группы, соответствующий ряд Маккея – Томпсона есть ${displaystyle T_{2A}( au )}$ и ${displaystyle T_{4A}( au )}$.

Рекомендации

1. Conway et al. (1985)
2. http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/permrep/McLG1-p275B0
3. http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/permrep/McLG1-p275B0

• Конвей, Дж. Х.; Curtis, R.T .; Нортон, С. П.; Паркер, Р. А .; и Уилсон, Р.А.: "Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры простых групп."Оксфорд, Англия, 1985 год.
• Финкельштейн, Ларри (1973), "Максимальные подгруппы группы Конвея C₃ и группа Маклафлина ", Журнал алгебры, 25: 58–89, Дои:10.1016/0021-8693(73)90075-6, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0346046
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Маклафлин, Джек (1969), «Простая группа порядка 898 128 000», в Брауэр, Р.; Сах, Чих-хан (ред.), Теория конечных групп (Симпозиум, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, 1968), Бенджамин, Нью-Йорк, стр. 109–111, МИСТЕР  0242941
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

внешняя ссылка

• MathWorld: группа Маклафлина
• Атлас представлений конечных групп: группа Маклафлина