Когерентное состояние - Coherent state

В физика особенно в квантовая механика, а когерентное состояние это конкретный квантовое состояние из квантовый гармонический осциллятор, часто описываемое как состояние, динамика которого наиболее близко напоминает колебательное поведение классический гармонический осциллятор. Это был первый пример квантовая динамика когда Эрвин Шредингер вывел его в 1926 г., ища решения Уравнение Шредингера которые удовлетворяют принцип соответствия.^[1] Квантовый гармонический осциллятор и, следовательно, когерентные состояния возникают в квантовой теории широкого круга физических систем.^[2] Например, когерентное состояние описывает колебательное движение частицы, заключенной в квадратичный потенциальная яма (для более ранней справки см, например,Шиффа учебник^[3]). Когерентное состояние описывает состояние в системе, для которого волновой пакет основного состояния смещен из источника системы. Это состояние может быть связано с классическими решениями по частице, колеблющейся с амплитудой, эквивалентной смещению.

Эти состояния, выраженные как собственные векторы из оператор опускания и формирование переполнен семьи, были представлены в ранних работах Джон Р. Клаудер, е. грамм.^[4] В квантовой теории света (квантовая электродинамика ) и другие бозонный квантовые теории поля, когерентные состояния были введены работами Рой Дж. Глаубер в 1963 году и также известны как Глаубер заявляет.

Понятие когерентных состояний значительно абстрагировано; это стало главной темой в математическая физика И в Прикладная математика, с приложениями от квантование к обработка сигналов и обработка изображений (видеть Когерентные состояния в математической физике ). По этой причине когерентные состояния, связанные с квантовый гармонический осциллятор иногда упоминаются как канонические когерентные состояния (CCS), стандартные когерентные состояния, Гауссовский состояния или состояния осциллятора.

Когерентные состояния в квантовой оптике

Рисунок 1: Электрическое поле, измеренное оптическим гомодинное обнаружение, как функция фазы для трех когерентных состояний, излучаемых Nd: YAG-лазером. Количество квантового шума в электрическом поле полностью не зависит от фазы. По мере увеличения напряженности поля, то есть амплитуды колебаний α когерентного состояния, квантовый шум или неопределенность остаются постоянными на уровне 1/2 и, таким образом, становятся все менее значительными. В пределе большого поля состояние становится хорошим приближением бесшумной устойчивой классической волны. Среднее число фотонов трех состояний сверху вниз n⟩ = 4,2, 25,2, 924,5.^[5]

Рисунок 2: Колебательный волновой пакет соответствует второму когерентному состоянию, изображенному на рисунке 1. В каждой фазе светового поля распределение имеет вид Гауссовский постоянной ширины.

Рисунок 3: Функция Вигнера когерентного состояния, изображенного на рисунке 2. Распределение сосредоточено на амплитуде состояния α и имеет вид симметрично относительно этой точки. Волны возникают из-за экспериментальных ошибок.

В квантовая оптика когерентное состояние относится к состоянию квантованного электромагнитное поле, так далее.^[2][6][7] который описывает максимальный вид согласованность и классический вид поведения. Эрвин Шредингер получил его как "минимум неуверенность " Гауссовский волновой пакет в 1926 году в поисках решений Уравнение Шредингера которые удовлетворяют принцип соответствия.^[1] Это состояние минимальной неопределенности, с единственным свободным параметром, выбранным, чтобы сделать относительную дисперсию (стандартное отклонение в натуральных безразмерных единицах) равной для положения и импульса, причем каждый из них одинаково мал при высокой энергии.

Далее, в отличие от собственные состояния энергии системы, временная эволюция когерентного состояния сосредоточена вдоль классического траектории. Квантовый линейный гармонический осциллятор и, следовательно, когерентные состояния возникают в квантовой теории широкого круга физических систем. Они встречаются в квантовой теории света (квантовая электродинамика ) и другие бозонный квантовые теории поля.

Хотя гауссовские волновые пакеты с минимальной неопределенностью были хорошо известны, они не привлекали к себе полного внимания до тех пор, пока Рой Дж. Глаубер в 1963 г. дал полное квантово-теоретическое описание когерентности в электромагнитном поле.^[8] В этом отношении одновременный вклад ЭКГ. Сударшан не следует пропускать,^[9] (Однако в статье Глаубера есть примечание, которое гласит: «Использование этих состояний в качестве производящие функции для ${\displaystyle n}$-квантовые состояния, однако, были получены Дж. Швингером. ^[10]Глауберу было предложено сделать это, чтобы дать описание Эксперимент Хэнбери-Брауна и Твисса которые генерировали очень широкую базовую линию (сотни или тысячи миль) картины интерференции который можно использовать для определения диаметра звезд. Это открыло путь к гораздо более полному пониманию согласованности. (Подробнее см. Квантово-механическое описание.)

В классическом оптика, свет считается электромагнитные волны исходящий от источника. Часто когерентный лазерный свет рассматривается как свет, излучаемый многими такими источниками, которые находятся в фаза. Собственно, картина одного фотон совпадение по фазе с другим недопустимо в квантовой теории. Лазерное излучение производится в резонансная полость где резонансная частота резонатора такая же, как частота, связанная с атомные электронные переходы обеспечение притока энергии в поле. По мере роста энергии в резонансном режиме вероятность стимулированное излучение только в этом режиме увеличивается. Это положительно Обратная связь в котором амплитуда в резонансном режиме увеличивается экспоненциально пока некоторые нелинейные эффекты ограничить это. В качестве контрпримера лампочка излучает свет в континуум режимов, и нет ничего, что могло бы выбрать один режим по сравнению с другим. Процесс излучения очень случайен в пространстве и времени (см. тепловой свет ). В лазер однако свет излучается в резонансном режиме, и этот режим очень последовательный. Таким образом, лазерный свет идеализируется как когерентное состояние. (Классически мы описываем такое состояние электрическое поле колеблется как устойчивая волна. См. Рис.1)

Помимо описания лазеров, когерентные состояния также удобно ведут себя при описании квантового действия светоделители: два входных луча когерентного состояния будут просто преобразованы в два луча когерентного состояния на выходе с новыми амплитудами, заданными классическими формулами электромагнитных волн;^[11] такое простое поведение не происходит для других состояний ввода, включая числовые состояния. Аналогичным образом, если световой луч когерентного состояния частично поглощается, то остальная часть представляет собой чистое когерентное состояние с меньшей амплитудой, тогда как частичное поглощение света некогерентного состояния дает более сложный статистический смешанное состояние.^[11] Тепловой свет можно описать как статистическую смесь когерентных состояний, и типичный способ определения неклассический свет состоит в том, что его нельзя описать как простую статистическую смесь когерентных состояний.^[11]

Собственные состояния энергии линейного гармонического осциллятора (например, массы на пружинах, колебания решетки в твердом теле, колебательные движения ядер в молекулах или колебания в электромагнитном поле) являются квантовыми состояниями с фиксированным числом. В Состояние Фока (например, одиночный фотон) является наиболее частичным состоянием; он имеет фиксированное количество частиц и неопределенную фазу. Когерентное состояние равномерно распределяет квантово-механическую неопределенность между канонически сопряженные координаты, положение и импульс, а также относительная неопределенность фазы [определено эвристически ] и амплитуда примерно равны - и малы при большой амплитуде.

Квантово-механическое определение

Математически когерентное состояние ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ определяется как (единственное) собственное состояние оператор аннигиляции â с соответствующим собственным значением α. Формально это читается так:

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

С â не является эрмитский, α в общем случае комплексное число. Письмо ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta },}$ |α| и θ называются амплитудой и фазой состояния ${\displaystyle |\alpha \rangle }$.

Штат ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ называется каноническое когерентное состояние в литературе, поскольку существует много других типов когерентных состояний, как можно увидеть в сопутствующей статье Когерентные состояния в математической физике.

Физически эта формула означает, что когерентное состояние остается неизменным при аннигиляции возбуждения поля или, скажем, частицы. Собственное состояние оператора уничтожения имеет Пуассоновский числовое распределение, выраженное на основе собственных состояний энергии, как показано ниже. А распределение Пуассона является необходимым и достаточным условием статистической независимости всех обнаружений. Сравните это с одночастичным состоянием ( ${\displaystyle |1\rangle }$ Состояние Фока ): как только одна частица обнаружена, вероятность обнаружения другой равна нулю.

Для вывода этого будет использоваться безразмерные операторы, Икс и п, обычно называется квадратуры поля в квантовой оптике. (Видеть Обезразмеривание.) Эти операторы связаны с операторами положения и импульса массы м на пружине с постоянной k,

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

Рисунок 4: Вероятность обнаружения n фотонов, распределение числа фотонов когерентного состояния на рисунке 3. Как это необходимо для Распределение Пуассона среднее число фотонов равно отклонение распределения числа фотонов. Полоски относятся к теории, точки - к экспериментальным значениям.

Для оптическое поле,

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

- действительная и мнимая составляющие моды электрического поля внутри полости объемом ${\displaystyle V}$.

С этими (безразмерными) операторами гамильтониан любой системы принимает вид

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

Эрвин Шредингер искал наиболее классические состояния, когда впервые ввел гауссовы волновые пакеты с минимальной неопределенностью. В квантовое состояние гармонического осциллятора, который минимизирует отношение неопределенности с неопределенностью, равномерно распределенной между Икс и п удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

и поэтому

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1/2~.}$

Таким образом, учитывая (∆Икс−∆п)² ≥ 0, Шредингер обнаружил, что состояния минимальной неопределенности для линейного гармонического осциллятора являются собственными состояниями (X + iP).

С â является (X + iP), это распознается как связное состояние в смысле приведенного выше определения.

Используя обозначение для многофотонных состояний, Глаубер охарактеризовал состояние полной когерентности для всех порядков в электромагнитном поле как собственное состояние оператора аннигиляции - формально, в математическом смысле, то же состояние, которое обнаружил Шредингер. Название когерентное состояние закрепились после работы Глаубера.

Если неопределенность минимизирована, но не обязательно одинаково сбалансирована между Икс и п, состояние называется сжатое когерентное состояние.

Расположение когерентного состояния на комплексной плоскости (фазовое пространство ) центрирован в положении и импульсе классического осциллятора фазы θ и амплитуда |α| заданный собственным значением α (или такое же комплексное значение электрического поля для электромагнитной волны). Как показано на рисунке 5, неопределенность, равномерно распределенная во всех направлениях, представлена ​​диском диаметром¹⁄₂. При изменении фазы когерентное состояние вращается вокруг начала координат, и диск не искажается и не расширяется. Это наиболее похожее квантовое состояние на одну точку фазового пространства.

Рисунок 5: График когерентного состояния в фазовом пространстве. Это показывает, что неопределенность когерентного состояния равномерно распределена по всем направлениям. Горизонтальная и вертикальная оси - это квадратуры поля X и P соответственно (см. Текст). Красные точки на оси x очерчивают границы квантового шума на рисунке 1. Для получения более подробной информации см. Соответствующий рисунок формулировка фазового пространства.

Поскольку погрешность (и, следовательно, шум измерения) остается постоянной на¹⁄₂ по мере увеличения амплитуды колебаний состояние становится все более похожим на синусоидальную волну, как показано на рисунке 1. Более того, поскольку состояние вакуума ${\displaystyle |0\rangle }$ это просто когерентное состояние с α= 0, все когерентные состояния имеют ту же неопределенность, что и вакуум. Следовательно, можно интерпретировать квантовый шум когерентного состояния как результат вакуумных флуктуаций.

Обозначение ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ не относится к Состояние Фока. Например, когда α= 1, не следует ошибаться ${\displaystyle |1\rangle }$ для однофотонного фоковского состояния, которое также обозначается ${\displaystyle |1\rangle }$ в собственных обозначениях. Выражение ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ с α= 1 представляет собой распределение Пуассона числовых состояний ${\displaystyle |n\rangle }$ со средним числом фотонов, равным единице.

Формальное решение уравнения на собственные значения - это состояние вакуума, смещенное в положение α в фазовом пространстве, т. е. получается, если допустить унитарную оператор смещения D (α) работать на вакууме,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$,

куда â = X + iP и â^† = X-iP.

Это легко увидеть, как и практически все результаты, касающиеся когерентных состояний, с использованием представления когерентного состояния в базисе фоковских состояний:

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle ~,}$

куда ${\displaystyle |n\rangle }$ являются собственными векторами энергии (числа) гамильтониана

${\displaystyle H=\hbar \omega ({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})~.}$

Для соответствующих Пуассоновский распределение, вероятность обнаружения п фотоны это

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

Точно так же среднее число фотонов в когерентном состоянии равно

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

и дисперсия

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

То есть стандартное отклонение обнаруженного числа похоже на квадратный корень из обнаруженного числа. Так что в пределе больших α, эта статистика обнаружения эквивалентна статистике классической устойчивой волны.

Эти результаты относятся к результатам обнаружения на одном детекторе и, таким образом, относятся к когерентности первого порядка (см. степень согласованности ). Однако для измерений, коррелирующих обнаружение на нескольких детекторах, задействована когерентность более высокого порядка (например, корреляция интенсивности, когерентность второго порядка на двух детекторах). Глауберовское определение квантовой когерентности включает корреляционные функции n-го порядка (когерентность n-го порядка) для всех п. Совершенное когерентное состояние имеет все n-порядки корреляции, равные 1 (когерентный). Он идеально подходит для всех заказов.

Рой Дж. Глаубер Эта работа была вызвана результатами Ханбери-Брауна и Твисса, которые создали дальнодействующие (сотни или тысячи миль) интерференционные картины первого порядка за счет использования флуктуаций интенсивности (отсутствие когерентности второго порядка) с узкополосными фильтрами ( частичная когерентность первого порядка) на каждом детекторе. (Можно представить себе за очень короткие промежутки времени почти мгновенную интерференционную картину от двух детекторов из-за узкополосных фильтров, которая хаотично танцует из-за сдвига относительной разности фаз. С счетчиком совпадений танцующая интерференционная картина будет быть сильнее во времена повышенной интенсивности [общая для обоих лучей], и эта картина будет сильнее, чем фоновый шум.) Почти вся оптика была связана с когерентностью первого порядка. Результаты Хэнбери-Брауна и Твисса побудили Глаубера взглянуть на когерентность более высокого порядка, и он предложил полное квантово-теоретическое описание когерентности для всех порядков в электромагнитном поле (и квантово-теоретическое описание сигнала плюс шум). . Он ввел термин когерентное состояние и показали, что они возникают при взаимодействии классического электрического тока с электромагнитным полем.

В α ≫ 1из рисунка 5 простая геометрия дает Δθ |α | = 1/2. Из этого следует, что существует компромисс между неопределенностью числа и неопределенностью фазы, Δθ Δn = 1/2, что иногда интерпретируется как соотношение неопределенностей число-фаза; но это не формальное строгое соотношение неопределенностей: в квантовой механике нет однозначно определенного фазового оператора.^{[12] [13] [14] [15] [16][17] [18] [19]}

Волновая функция когерентного состояния

Временная эволюция распределения вероятностей с квантовой фазой (цветом) когерентного состояния с α = 3.

Чтобы найти волновую функцию когерентного состояния, волновой пакет Шредингера с минимальной неопределенностью, проще всего начать с гейзенберговской картины квантовый гармонический осциллятор для когерентного состояния ${\displaystyle |\alpha \rangle }$. Обратите внимание, что

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

Когерентное состояние является собственным состоянием оператора аннигиляции в Картинка Гейзенберга.

Нетрудно заметить, что в Картина Шредингера, то же собственное значение

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

происходит,

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$ .

В координатных представлениях, полученных в результате работы ${\displaystyle \langle x|}$, это составляет дифференциальное уравнение,

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

который легко решается дать

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

куда θ (t) - еще не определенная фаза, которую необходимо зафиксировать, потребовав, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Шредингера.

Следует, что

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

так что σ - начальная фаза собственного значения.

Среднее положение и импульс этого «минимального волнового пакета Шредингера» ψ^(α) таким образом колеблется, как классическая система,

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle ={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\cos(\sigma -\omega t)~,}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}(t)\rangle ={\sqrt {2m\hbar \omega }}\Im [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {2m\hbar \omega }}\sin(\sigma -\omega t)~.}$

Плотность вероятности остается гауссовой с центром на этом колеблющемся среднем значении,

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

Математические особенности канонических когерентных состояний

Канонические когерентные состояния, описанные до сих пор, имеют три свойства, которые взаимно эквивалентны, поскольку каждое из них полностью определяет состояние ${\displaystyle |\alpha \rangle }$, а именно

1. Они являются собственными векторами оператор аннигиляции:   ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$.
2. Их получают из вакуума путем применения унитарного оператор смещения:  ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$ .
3. Это состояния (сбалансированной) минимальной неопределенности: ${\displaystyle \Delta X=\Delta P=1/{\sqrt {2}}\,}$ .

Каждое из этих свойств может приводить к обобщениям, в целом отличным друг от друга (см. Статью "Когерентные состояния в математической физике «для некоторых из них). Мы подчеркиваем, что когерентные состояния обладают математическими характеристиками, которые сильно отличаются от таковых в Состояние Фока; например, два разных когерентных состояния не ортогональны,

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(связано с тем, что они являются собственными векторами несамосопряженного оператора уничтожения â).

Таким образом, если осциллятор находится в квантовом состоянии ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ это также с ненулевой вероятностью в другом квантовом состоянии ${\displaystyle |\beta \rangle }$ (но чем дальше в фазовом пространстве расположены состояния, тем меньше вероятность). Однако, поскольку они подчиняются соотношению замыкания, любое состояние может быть разложено на множество когерентных состояний. Таким образом, они образуют завышенная база, в котором по диагонали можно разложить любое состояние. Это предпосылка для Представление Сударшана-Глаубера П.

Это отношение замыкания может быть выражено разрешением тождественного оператора я в векторном пространстве квантовых состояний,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

Это разрешение идентичности тесно связано с Преобразование Сегала – Баргмана.

Еще одна особенность в том, что ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ не имеет собственного â не имеет собственной бра). Следующее равенство является наиболее близкой формальной заменой и оказывается полезным для технических вычислений:

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle =\left({\partial \over \partial \alpha }+{\alpha ^{*} \over \alpha }{\partial \over \partial \alpha ^{*}}+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle ~.}$

Это последнее состояние известно как «состояние Агарвала» или когерентное состояние с добавлением фотонов и обозначается как ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

Нормализованные состояния порядка Агарвала п можно выразить как ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$^[20]

Вышеупомянутое разрешение идентичности может быть получено (ограничиваясь одним пространственным измерением для простоты) путем взятия матричных элементов между собственными состояниями положения, ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$, с обеих сторон уравнения. С правой стороны это сразу дает δ (х-у). В левой части то же самое получается путем вставки

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

из предыдущего раздела (время произвольно), затем интегрирование по ${\displaystyle \Im (\alpha )}$ с использованием Фурье-представление дельта-функции, а затем выполнить Гауссовский интеграл над ${\displaystyle \Re (\alpha )}$.

В частности, гауссовское состояние волнового пакета Шредингера следует из явного значения

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {e^{-{\frac {(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )}}{\pi ^{1/4}}}~.}$

Разрешение идентичности также может быть выражено в терминах положения и импульса частицы. Для каждого координатного измерения (с использованием адаптированных обозначений с новым значением для ${\displaystyle x}$),

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

отношение замыкания когерентных состояний читается

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

Его можно вставить в любое квантово-механическое математическое ожидание, связав его с некоторым квазиклассическим интегралом фазового пространства и объяснив, в частности, происхождение нормировочных факторов. ${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$ для классических функции раздела, в соответствии с квантовой механикой.

Помимо того, что когерентное состояние является точным собственным состоянием операторов аннигиляции, оно является приблизительный общее собственное состояние положения и импульса частицы. Снова ограничиваясь одним измерением,

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

Погрешность этих приближений измеряется величиной неопределенности позиции и импульса,

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

Тепловое когерентное состояние

Одномодовое термокогерентное состояние^[21] производится путем вытеснения термического смешанного состояния в фазовое пространство, в прямой аналогии со смещением вакуумного состояния с целью генерации когерентного состояния. В матрица плотности когерентного теплового состояния в операторном представлении имеет вид

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\dagger }(\alpha ),}$

куда ${\displaystyle D(\alpha )}$ это оператор смещения который порождает когерентное состояние ${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$ со сложной амплитудой ${\displaystyle \alpha }$, и ${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$ . В функция распределения равно

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

Используя разложение оператора единицы в Фока заявляет, ${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$, то оператор плотности определение можно выразить в следующем виде

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D(\alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

куда ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$ выступает за перемещенных Состояние Фока. Заметим, что если температура падает до нуля, мы имеем

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

какой матрица плотности для когерентного состояния. Среднее количество фотоны в этом состоянии можно рассчитать, как показано ниже

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

где для последнего члена мы можем написать

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{(1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

В результате находим

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

куда ${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$ это среднее значение фотон число, рассчитанное с учетом теплового состояния. Здесь для простоты обозначений мы определили

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}O\},}$

и мы пишем явно

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

В пределе ${\displaystyle \beta \to \infty }$ мы получаем ${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$, что согласуется с выражением для матрица плотности оператор при нулевой температуре. Аналогично, число фотонов отклонение можно оценить как

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^{2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

с ${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^{2}}$. Мы делаем вывод, что второй момент не может быть разделен с тепловым и квантовым моментами распределения, в отличие от среднего значения (первого момента). В этом смысле статистика фотонов смещенного теплового состояния не описывается суммой Статистика Пуассона и Статистика Больцмана. Распределение начального теплового состояния в фазовом пространстве расширяется в результате когерентного смещения.

Когерентные состояния конденсатов Бозе – Эйнштейна.

• А Конденсат Бозе – Эйнштейна (BEC) - это набор бозонных атомов, находящихся в одном квантовом состоянии. В термодинамической системе основное состояние становится макроскопически заполненным ниже критической температуры - примерно, когда тепловая длина волны де Бройля больше, чем расстояние между атомами. Считается, что сверхтекучесть жидкого гелия-4 связана с конденсацией Бозе – Эйнштейна в идеальном газе. Но ⁴Он имеет сильные взаимодействия, и фактор структуры жидкости (статистика 2-го порядка) играет важную роль. Использование когерентного состояния для представления сверхтекучей компоненты ⁴Он дал хорошую оценку фракций конденсат / неконденсат в сверхтекучести, согласующуюся с результатами рассеяния медленных нейтронов.^[22][23][24] Большинство особых свойств сверхтекучей среды вытекают непосредственно из использования когерентного состояния для представления сверхтекучей компоненты, которая действует как макроскопически заполненное однокомпонентное состояние с четко определенной амплитудой и фазой во всем объеме. (Сверхтекучая составляющая ⁴Он идет от нуля при температуре перехода до 100% при абсолютном нуле. Но доля конденсата около 6%.^[25] при температуре абсолютного нуля, T = 0K.)
• В начале изучения сверхтекучести Пенроуз и Онсагер предложил метрику («параметр порядка») сверхтекучести.^[26] Он был представлен макроскопической факторной компонентой (макроскопическим собственным значением) в приведенной матрице плотности первого порядка. Потом, К. Н. Ян ^[27] предложил более обобщенную меру макроскопической квантовой когерентности, названную «внедиагональный дальний порядок» (ODLRO),^[27] в том числе фермионные и бозонные системы. ODLRO существует всякий раз, когда есть макроскопически большой факторный компонент (собственное значение) в приведенной матрице плотности любого порядка. Сверхтекучесть соответствует большой факторной составляющей в приведенной матрице плотности первого порядка. (И все матрицы пониженной плотности более высокого порядка ведут себя аналогичным образом.) Сверхпроводимость включает в себя крупную факторную составляющую 2-го порядка ("Куперовская электронная пара ") приведенная матрица плотности.
• Матрицы приведенной плотности, используемые для описания макроскопической квантовой когерентности в сверхтекучих жидкостях, формально такие же, как корреляционные функции, используемые для описания порядков когерентности в излучении. Оба являются примерами макроскопической квантовой когерентности. Макроскопически большая когерентная составляющая плюс шум в электромагнитном поле, как это дает описание Глаубера «сигнал плюс шум», формально то же самое, что макроскопически большая сверхтекучая составляющая плюс нормальная жидкостная составляющая в двухжидкостной модели сверхтекучести.
• Повседневное электромагнитное излучение, такое как радио и телевизионные волны, также является примером почти когерентных состояний (макроскопическая квантовая когерентность). Это должно «дать паузу» относительно традиционного разграничения квантового и классического.
• Когерентность в сверхтекучести не следует приписывать какой-либо подгруппе атомов гелия; это своего рода коллективное явление, в котором участвуют все атомы (аналогично куперовскому спариванию в сверхпроводимости, как указано в следующем разделе).

Когерентные электронные состояния в сверхпроводимости

• Электроны - фермионы, но когда они объединяются в пары Куперовские пары они действуют как бозоны и поэтому могут коллективно образовывать когерентное состояние при низких температурах. Это спаривание на самом деле происходит не между электронами, а в состояниях, доступных электронам, входящим и выходящим из этих состояний.^[28] Куперовское спаривание относится к первой модели сверхпроводимости.^[29]
• Эти когерентные состояния являются частью объяснения таких эффектов, как Квантовый эффект Холла в низкотемпературных сверхпроводящий полупроводники.

Обобщения

• По словам Гилмора и Переломова, которые показали это независимо, построение когерентных состояний может рассматриваться как проблема в теория групп, и, таким образом, когерентные состояния могут быть связаны с группами, отличными от Группа Гейзенберга, что приводит к рассмотренным выше каноническим когерентным состояниям.^{[30][31][32][33]} Более того, эти когерентные состояния можно обобщить на квантовые группы. Эти темы со ссылками на оригинальные работы подробно обсуждаются в Когерентные состояния в математической физике.

• В квантовая теория поля и теория струн, обобщение когерентных состояний на случай, когда бесконечно много степени свободы используются для определения состояние вакуума с другим ожидаемое значение вакуума из исходного вакуума.
• В одномерных квантовых системах многих тел с фермионными степенями свободы низкоэнергетические возбужденные состояния могут быть аппроксимированы как когерентные состояния оператора бозонного поля, который создает возбуждения частица-дырка. Такой подход называется бозонизация.
• Гауссовские когерентные состояния нерелятивистской квантовой механики можно обобщить на релятивистские когерентные состояния частиц Клейна-Гордона и Дирака.^[34][35][36]
• Когерентные состояния также появились в работах по петля квантовой гравитации или для построения (полу) классической канонической квантовой общей теории относительности.^[37][38]

Смотрите также

• Когерентные состояния в математической физике
• Квантовая теория поля
• Квантовая оптика
• Квантовый усилитель
• Электромагнитное поле
• Степень согласованности

внешняя ссылка

• Квантовые состояния светового поля
• Глауберовы состояния: когерентные состояния квантового гармонического осциллятора
• Измерение когерентного состояния с интерактивной статистикой фотонов

Рекомендации

1. Шредингер, Э. (1926). "Der stetige Übergang von der Mikrozur Makromechanik". Die Naturwissenschaften (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 14 (28): 664–666. Bibcode:1926NW ..... 14..664S. Дои:10.1007 / bf01507634. ISSN  0028-1042. S2CID  34680073.
2. Дж. Р. Клаудер и Б. Скагерстам, Когерентные состояния, World Scientific, Сингапур, 1985.
3. Л.И. Шифф, Квантовая механика, Макгроу Хилл, Нью-Йорк, 1955.
4. Клаудер, Джон Р. (1960). «Вариант действия и квантование Фейнмана спинорных полей в терминах обычных c-чисел». Анналы физики. Elsevier BV. 11 (2): 123–168. Bibcode:1960AnPhy..11..123K. Дои:10.1016/0003-4916(60)90131-7. ISSN  0003-4916.
5. Breitenbach, G .; Шиллер, С .; Млынек, Дж. (1997). «Измерение квантовых состояний сжатого света» (PDF). Природа. Springer Nature. 387 (6632): 471–475. Bibcode:1997Натура.387..471Б. Дои:10.1038 / 387471a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4259166.
6. Чжан, Вэй-Минь; Фэн Да Сюань; Гилмор, Роберт (1990-10-01). «Когерентные состояния: теория и некоторые приложения». Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 62 (4): 867–927. Bibcode:1990РвМП ... 62..867З. Дои:10.1103 / revmodphys.62.867. ISSN  0034-6861.
7. J-P. Gazeau, Когерентные состояния в квантовой физике, Wiley-VCH, Берлин, 2009.
8. Глаубер, Рой Дж. (1963-09-15). «Когерентные и некогерентные состояния радиационного поля». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 131 (6): 2766–2788. Bibcode:1963ПхРв..131.2766Г. Дои:10.1103 / Physrev.131.2766. ISSN  0031-899X.
9. Сударшан, Э.С.Г. (1963-04-01). «Эквивалентность квазиклассического и квантово-механического описания статистических световых пучков». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 10 (7): 277–279. Bibcode:1963ПхРвЛ..10..277С. Дои:10.1103 / Physrevlett.10.277. ISSN  0031-9007.
10. Швингер, Джулиан (1953-08-01). «Теория квантованных полей. III». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 91 (3): 728–740. Bibcode:1953ПхРв ... 91..728С. Дои:10.1103 / Physrev.91.728. ISSN  0031-899X.
11. Леонхардт, Ульф (1997). Измерение квантового состояния света. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521497305.
12. Л. Сасскинд и Дж. Глоговер, Квантовомеханический оператор фазы и времени,Физика 1 (1963) 49.
13. Carruthers, P .; Ньето, Майкл Мартин (1968-04-01). «Фазовые и угловые переменные в квантовой механике». Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 40 (2): 411–440. Bibcode:1968РвМП ... 40..411С. Дои:10.1103 / revmodphys.40.411. ISSN  0034-6861. S2CID  121002585.
14. Barnett, S.M .; Пегг, Д.Т. (1989). «Об эрмитовом оптическом фазовом операторе». Журнал современной оптики. Informa UK Limited. 36 (1): 7–19. Bibcode:1989JMOp ... 36 .... 7B. Дои:10.1080/09500348914550021. ISSN  0950-0340.
15. Busch, P .; Грабовский, М .; Лахти, П.Дж. (1995). «Кто боится мер POV? Единый подход к квантовым фазовым наблюдаемым». Анналы физики. Elsevier BV. 237 (1): 1–11. Bibcode:1995AnPhy.237 .... 1B. Дои:10.1006 / aphy.1995.1001. ISSN  0003-4916.
16. Додонов, В В (08.01.2002). "'«Неклассические» состояния в квантовой оптике: «сжатый» обзор первых 75 лет ». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика. IOP Publishing. 4 (1): R1 – R33. Дои:10.1088/1464-4266/4/1/201. ISSN  1464-4266.
17. В.В. Додонов, В.И. Манько (ред.), Теория неклассических состояний света, Тейлор и Фрэнсис, Лондон, Нью-Йорк, 2003.
18. Вурдас, А (01.02.2006). «Аналитические представления в квантовой механике». Журнал физики A: математические и общие. IOP Publishing. 39 (7): R65 – R141. Дои:10.1088 / 0305-4470 / 39/7 / r01. ISSN  0305-4470.
19. J-P. Газо,Когерентные состояния в квантовой физике, Wiley-VCH, Берлин, 2009.
20. Agarwal, G. S .; Тара, К. (1991-01-01). «Неклассические свойства состояний, порождаемых возбуждениями на когерентном состоянии». Физический обзор A. 43 (1): 492–497. Bibcode:1991ПхРвА..43..492А. Дои:10.1103 / PhysRevA.43.492. PMID  9904801.
21. Oz-Vogt, J .; Mann, A .; Ревзен, М. (1991). «Тепловые когерентные состояния и термические сжатые состояния». Журнал современной оптики. Informa UK Limited. 38 (12): 2339–2347. Bibcode:1991JMOp ... 38.2339O. Дои:10.1080/09500349114552501. ISSN  0950-0340.
22. Hyland, G.J .; Rowlands, G .; Каммингс, Ф.В. (1970). «Предложение по экспериментальному определению равновесной доли конденсата в сверхтекучем гелии». Письма о физике A. Elsevier BV. 31 (8): 465–466. Bibcode:1970ФЛА ... 31..465Н. Дои:10.1016/0375-9601(70)90401-9. ISSN  0375-9601.
23. Майерс, Дж. (2004-04-01). «Конденсация Бозе-Эйнштейна, фазовая когерентность и двухжидкостное поведение в ⁴Он". Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 92 (13): 135302. Bibcode:2004ПхРвЛ..92м5302М. Дои:10.1103 / Physrevlett.92.135302. ISSN  0031-9007. PMID  15089620.
24. Майерс, Дж. (26 июля 2006 г.). "Конденсация Бозе-Эйнштейна и поведение двух жидкостей в ⁴Он". Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 74 (1): 014516. Bibcode:2006ПхРвБ..74а4516М. Дои:10.1103 / Physrevb.74.014516. ISSN  1098-0121.
25. Олинто, А.С. (1987-04-01). «Конденсатная фракция в сверхтекучем He4». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 35 (10): 4771–4774. Bibcode:1987PhRvB..35.4771O. Дои:10.1103 / Physrevb.35.4771. ISSN  0163-1829. PMID  9940648.
26. Пенроуз, Оливер; Онсагер, Ларс (1956-11-01). «Конденсация Бозе-Эйнштейна и жидкий гелий». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 104 (3): 576–584. Bibcode:1956ПхРв..104..576П. Дои:10.1103 / Physrev.104.576. ISSN  0031-899X.
27. Ян, К. Н. (1962-10-01). «Концепция внедиагонального дальнего порядка и квантовые фазы жидкого гелия и сверхпроводников». Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 34 (4): 694–704. Bibcode:1962РвМП ... 34..694Л. Дои:10.1103 / revmodphys.34.694. ISSN  0034-6861.
28. [видеть Джон Бардин Глава в: Кооперативные явления, ред. Х. Хакен и М. Вагнер (Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, 1973)]
29. Bardeen, J .; Купер, Л. Н .; Шриффер, Дж. Р. (1957-12-01). «Теория сверхпроводимости». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 108 (5): 1175–1204. Bibcode:1957ПхРв..108.1175Б. Дои:10.1103 / Physrev.108.1175. ISSN  0031-899X.
30. Переломов А. М. Когерентные состояния для произвольных групп Ли. Commun. Математика. Phys. 26 (1972) 222-236; arXiv: math-ph / 0203002.
31. А. Переломов, Обобщенные когерентные состояния и их приложения, Springer, Берлин, 1986.
32. Гилмор, Роберт (1972). «Геометрия симметризованных состояний». Анналы физики. Elsevier BV. 74 (2): 391–463. Bibcode:1972AnPhy..74..391G. Дои:10.1016/0003-4916(72)90147-9. ISSN  0003-4916.
33. Гилмор Р. (1974). «О свойствах когерентных состояний» (PDF). Revista Mexicana de Física. 23 (1–2): 143–187.
34. Г. Кайзер, Квантовая физика, теория относительности и сложное пространство-время: к новому синтезу, Северная Голландия, Амстердам, 1990 г.
35. S.T. Али, Дж. П. Антуан и Дж.П. Газо, Когерентные состояния, всплески и их обобщения, Springer-Verlag, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг, 2000.
36. Анастопулос, Харис (2004-08-25). «Обобщенные когерентные состояния для вращающихся релятивистских частиц». Журнал физики A: математические и общие. 37 (36): 8619–8637. arXiv:Quant-ph / 0312025. Bibcode:2004JPhA ... 37.8619A. Дои:10.1088/0305-4470/37/36/004. ISSN  0305-4470. S2CID  119064935.
37. Аштекар, Абхай; Левандовски, Ежи; Марольф, Дональд; Моуран, Хосе; Тиманн, Томас (1996). «Когерентные преобразования состояний для пространств связей». Журнал функционального анализа. 135 (2): 519–551. arXiv:gr-qc / 9412014. Дои:10.1006 / jfan.1996.0018. ISSN  0022-1236.
38. Sahlmann, H .; Thiemann, T .; Винклер, О. (2001). «Когерентные состояния для канонической квантовой общей теории относительности и бесконечного тензорного произведения». Ядерная физика B. Elsevier BV. 606 (1–2): 401–440. arXiv:gr-qc / 0102038. Bibcode:2001НуФБ.606..401С. Дои:10.1016 / s0550-3213 (01) 00226-7. ISSN  0550-3213. S2CID  17857852.