Асимптотическая безопасность в квантовой гравитации - Asymptotic safety in quantum gravity - Wikipedia

Асимптотическая безопасность (иногда также называют непертурбативная перенормируемость) - это концепция в квантовая теория поля который направлен на поиск последовательной и предсказательной квантовой теории гравитационное поле. Его ключевой ингредиент - это нетривиальная неподвижная точка теории ренормгруппа поток, который контролирует поведение константы связи в ультрафиолетовом (УФ) режиме и защищает физические величины от расхождений. Хотя первоначально было предложено Стивен Вайнберг найти теорию квантовая гравитация, идея нетривиальной неподвижной точки, обеспечивающая возможную УФ завершение может быть применен также к другим теориям поля, в частности к пертурбативно неперенормируемый ед. В этом отношении он похож на квантовая тривиальность.

Суть асимптотической безопасности заключается в том, что нетривиальные неподвижные точки ренормгруппы можно использовать для обобщения процедуры пертурбативная перенормировка. В асимптотически безопасной теории муфты не обязательно должны быть малыми или стремиться к нулю в пределе высоких энергий, а скорее стремятся к конечным значениям: они приближаются к нетривиальному УФ фиксированная точка. Динамика констант связи, то есть их масштабная зависимость, описываемая ренормгруппой (РГ), является, таким образом, особенной в своем УФ-пределе в том смысле, что все их безразмерные комбинации остаются конечными. Этого достаточно, чтобы избежать нефизических расхождений, например в амплитуды рассеяния. Требование фиксированной УФ-точки ограничивает форму голое действие и значения чистых констант связи, которые становятся прогнозами асимптотической программы безопасности, а не входными данными.

Что касается гравитации, стандартная процедура пертурбативной перенормировки не работает, поскольку Постоянная Ньютона, соответствующий параметр разложения, имеет отрицательное значение массовый размер рендеринг общая теория относительности пертурбативно неперенормируемый. Это привело к поиску непертурбативных структур, описывающих квантовую гравитацию, включая асимптотическую безопасность, которая, в отличие от других подходов, характеризуется использованием методов квантовой теории поля, однако, без зависимости от пертурбативных методов. В настоящее время накапливается доказательство наличия неподвижной точки, пригодной для обеспечения асимптотической безопасности, в то время как строгое доказательство ее существования все еще отсутствует.

Мотивация

Гравитация на классическом уровне описывается формулой Полевые уравнения Эйнштейна общей теории относительности,${\displaystyle \textstyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda =8\pi G\,T_{\mu \nu }}$. Эти уравнения объединяют пространство-время геометрия, закодированная в метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ с содержанием вопроса, содержащимся в тензор энергии-импульса ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$. Квантовая природа материи проверена экспериментально, например квантовая электродинамика на сегодняшний день является одной из наиболее точно подтвержденных теорий в физике. По этой причине квантование гравитации тоже кажется правдоподобным. К сожалению, квантование не может быть выполнено стандартным способом (пертурбативная перенормировка): уже простой подсчет мощности сигнализирует о пертурбативной неперенормируемости, поскольку массовый размер постоянной Ньютона ${\displaystyle -2}$. Проблема возникает следующим образом. Согласно традиционная точка зрения перенормировка реализована путем введения контрчленов, которые должны отменять расходящиеся выражения, появляющиеся в петлевые интегралы. Однако, применяя этот метод к гравитации, контрчлены, необходимые для устранения всех расхождений, увеличиваются до бесконечного числа. Поскольку это неизбежно приводит к бесконечному количеству свободных параметров, подлежащих измерению в экспериментах, программа вряд ли будет иметь предсказательную силу, кроме ее использования в качестве низкоэнергетического эффективная теория.

Оказывается, первые расхождения в квантовании ОТО, которые нельзя поглотить в контрчленах последовательно (т.е. без необходимости вводить новые параметры), появляются уже на однопетлевом уровне при наличии полей материи.^[1] На уровне двух петель проблемные расхождения возникают даже в чистой гравитации.^[2]Чтобы преодолеть эту концептуальную трудность, потребовалось развитие непертурбативных методов, обеспечивающих различные кандидаты теории квантовой гравитации В течение долгого времени преобладало мнение, что сама концепция квантовой теории поля - хотя и весьма успешна в случае других фундаментальных взаимодействий - обречена на провал для гравитации. Напротив, идея асимптотической безопасности сохраняет квантовые поля в качестве теоретической арены и вместо этого отказывается только от традиционной программы пертурбативной перенормировки.

История асимптотической безопасности

Осознав пертурбативную неперенормируемость гравитации, физики попытались использовать альтернативные методы, чтобы решить проблему расходимости, например, пересуммирование или расширенные теории с подходящими полями материи и симметриями, все из которых имеют свои недостатки. В 1976 г. Стивен Вайнберг предложил обобщенный вариант условия перенормируемости, основанный на нетривиальной неподвижной точке лежащего в основе ренормгруппа (RG) поток для силы тяжести.^[3]Это было названо асимптотической безопасностью.^[4][5]Идея УФ-пополнения с помощью нетривиальной неподвижной точки ренормализационных групп была предложена ранее Кеннет Г. Уилсон и Джорджио Паризи в скалярная теория поля^[6][7] (смотрите также Квантовая тривиальность Применимость к пертурбативно неперенормируемым теориям впервые была явно продемонстрирована для Нелинейная сигма-модель ^[8] и для варианта Модель Гросс-Невё.^[9]

Что касается гравитации, то первые исследования этой новой концепции были выполнены в ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ измерения пространства-времени в конце семидесятых. Ровно в двух измерениях существует теория чистой гравитации, которую можно перенормировать согласно старой точке зрения. (Чтобы отобразить Действие Эйнштейна – Гильберта ${\displaystyle \textstyle {1 \over 16\pi G}\int \mathrm {d} ^{2}x{\sqrt {g}}\,R}$ безразмерная, постоянная Ньютона ${\displaystyle G}$ должны быть массовый размер ноль.) Для малых, но конечных ${\displaystyle \epsilon }$ теория возмущений все еще применимо, и можно расширить бета-функция (${\displaystyle \beta }$-функция), описывающая ренормгруппу бега постоянной Ньютона как степенной ряд от ${\displaystyle \epsilon }$. Действительно, в этом духе удалось доказать, что он отображает нетривиальную неподвижную точку.^[4]

Однако было непонятно, как сделать продолжение из ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ к ${\displaystyle d=4}$ размеры, поскольку при расчетах использовалась малость параметра расширения ${\displaystyle \epsilon }$. Вычислительных методов для непертурбативной обработки к тому времени не было. По этой причине идея асимптотической безопасности в квантовой гравитации была отложена на несколько лет. Только в начале 90-х гг. ${\displaystyle 2+\epsilon }$ размерная гравитация была пересмотрена в различных работах, но все еще не продолжила размерность до четырех.

Что касается вычислений, выходящих за рамки теории возмущений, то ситуация улучшилась с появлением новых функциональная ренормализационная группа методы, в частности так называемые эффективное среднее действие (масштабно-зависимая версия эффективное действие ). Представлен в 1993 г. Кристоф Веттерих и Тим Р. Моррис для скалярных теорий,^[10][11] и Мартином Рейтером и Кристофом Веттерихом для общих калибровочные теории (на плоском евклидовом пространстве),^[12] это похоже на Вильсоновское действие (крупнозернистый свободная энергия)^[6] и хотя утверждается, что на более глубоком уровне оно отличается,^[13] это фактически связано преобразованием Лежандра.^[11] В отрезать Масштабная зависимость этого функционала определяется функциональным уравнением потока, которое, в отличие от предыдущих попыток, может быть легко применено и при наличии локальных калибровочных симметрий.

В 1996 году Мартин Рейтер построил аналогичное эффективное среднее действие и соответствующее уравнение потока для гравитационного поля.^[14]Он соответствует требованиям фоновая независимость, один из фундаментальных принципов квантовой гравитации. Эту работу можно считать существенным прорывом в исследованиях квантовой гравитации, связанных с асимптотической безопасностью, поскольку она обеспечивает возможность непертурбативных вычислений для произвольных измерений пространства-времени. Было показано, что по крайней мере для Усечение Эйнштейна – Гильберта, простейший анзац для действия эффективного среднего, нетривиальная неподвижная точка действительно присутствует.

Эти результаты являются отправной точкой для многих последующих вычислений. Поскольку в новаторской работе Мартина Рейтера не было ясно, в какой степени результаты зависят от рассмотренного анзаца усечения, следующим очевидным шагом было увеличение усечения. Этот процесс был инициирован Роберто Перкаччи и его сотрудниками, начиная с включения материальных полей.^[15]До настоящего времени множество различных работ постоянно растущего сообщества, включая, например, ${\displaystyle f(R)}$- и Тензор Вейля квадратные усечения - независимо подтвердили, что асимптотический сценарий безопасности действительно возможен: существование нетривиальной фиксированной точки было показано в пределах каждого усечения, изученного до сих пор.^[16] Хотя до сих пор нет окончательного доказательства, появляется все больше свидетельств того, что программа асимптотической безопасности может в конечном итоге привести к последовательной и предсказательной квантовой теории гравитации в общих рамках квантовая теория поля.

Асимптотическая безопасность: основная идея

Теоретическое пространство

Траектории ренормгруппа поток в теоретическом пространстве, параметризованный бесконечным числом констант связи. По соглашению стрелки векторного поля (и стрелки на зеленой траектории) указывают от УФ к ИК шкалам. Набор действий, которые лежат внутри теоретического пространства и втянуты в фиксированная точка под обратным потоком RG (т.е. идущим в направлении, противоположном стрелкам) называется УФ-критической поверхностью. Гипотеза асимптотической безопасности состоит в том, что траектория может быть реализована в Природе только в том случае, если она содержится в критической ультрафиолетовой поверхности, поскольку только в этом случае она имеет допустимый предел высокой энергии (оранжевые, синие и пурпурные траектории, например). Траектории вне этого пространства теории ухода поверхности для ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ поскольку они развивают неприемлемые расхождения в УФ-диапазоне, при переходе к более низким масштабам они приближаются к критической поверхности УФ-излучения. Эта ситуация представлена ​​зеленой траекторией, которая лежит над поверхностью и убегает от нее для увеличения масштаба RG (напротив зеленой стрелки).

Программа асимптотической безопасности принимает современный Точка зрения Вильсона по квантовой теории поля. Здесь основные входные данные, которые необходимо зафиксировать вначале, - это, во-первых, виды квантовых полей, несущие теорию степени свободы и, во-вторых, лежащие в основе симметрии. Для любой рассматриваемой теории эти данные определяют этап, на котором происходит динамика ренормгруппы, так называемое пространство теории. Он состоит из всех возможных функционалов действия в зависимости от выбранных полей и соблюдения предписанных принципов симметрии. Таким образом, каждая точка в этом теоретическом пространстве представляет одно возможное действие. Часто можно думать о пространстве как о натянутом всеми подходящими полевыми мономами. В этом смысле любое действие в теоретическом пространстве представляет собой линейную комбинацию полевых мономов, где соответствующие коэффициенты являются константы связи, ${\displaystyle \{g_{\alpha }\}}$. (Здесь все муфты считаются безразмерными. Муфты всегда можно сделать безразмерными путем умножения на подходящую степень шкалы RG.)

Групповой поток ренормализации

В ренормгруппа (RG) описывает изменение физической системы из-за сглаживания или усреднения микроскопических деталей при переходе к более низкому разрешению. Это вводит в действие понятие зависимости от масштаба для интересующих функционалов действия. Бесконечно малые преобразования РГ отображают действия на близкие, тем самым создавая векторное поле в теоретическом пространстве. Зависимость действия от масштаба закодирована в "прогоне" констант связи, параметризующих это действие, ${\displaystyle \{g_{\alpha }\}\equiv \{g_{\alpha }(k)\}}$, со шкалой RG ${\displaystyle k}$. Это порождает траекторию в теоретическом пространстве (траекторию RG), описывающую эволюцию функционала действия по отношению к масштабу. Какая из всех возможных траекторий реализуется в Природе, предстоит определить измерениями.

Принимая предел УФ

Построение квантовой теории поля сводится к нахождению траектории РГ, которая бесконечно продолжена в том смысле, что функционал действия, описываемый формулой ${\displaystyle \{g_{\alpha }(k)\}}$ ведет себя хорошо для всех значений масштабного параметра импульса ${\displaystyle k}$, в том числе инфракрасный предел ${\displaystyle k\rightarrow 0}$ и ультрафиолетовый (УФ) предел ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Асимптотическая безопасность - это способ борьбы с последним пределом. Его фундаментальное требование - наличие фиксированная точка потока РГ. По определению это точка ${\displaystyle \{g_{\alpha }^{*}\}}$ в теоретическом пространстве, где останавливается работа всех связей, или, другими словами, ноль всех бета-функции: ${\displaystyle \beta _{\gamma }(\{g_{\alpha }^{*}\})=0}$ для всех ${\displaystyle \gamma }$. Кроме того, эта фиксированная точка должна иметь по крайней мере одно УФ-притягивающее направление. Это гарантирует, что одна или несколько траекторий RG пересекаются с фиксированной точкой для увеличения масштаба. Множество всех точек в теоретическом пространстве, которые "втягиваются" в фиксированную УФ-точку за счет перехода к большим масштабам, называется УФ критическая поверхность. Таким образом, критическая УФ-поверхность состоит из всех тех траекторий, которые защищены от УФ-расходимостей в том смысле, что все связи стремятся к конечным значениям фиксированной точки как ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Ключевая гипотеза, лежащая в основе асимптотической безопасности, заключается в том, что только траектории, полностью проходящие внутри ультрафиолетовой критической поверхности соответствующей фиксированной точки, могут быть бесконечно продолжены и, таким образом, определяют фундаментальную квантовую теорию поля. Очевидно, что такие траектории хорошо себя ведут в УФ-пределе, поскольку наличие фиксированной точки позволяет им «оставаться в точке» в течение бесконечно длинного «времени» РГ.

Что касается фиксированной точки, УФ-притягивающие направления называются релевантными, УФ-отталкивающие - нерелевантными, поскольку соответствующие поля масштабирования увеличиваются и уменьшаются соответственно, когда масштаб уменьшается. Следовательно, размерность УФ-критической поверхности равна количеству соответствующих связей. Таким образом, асимптотически безопасная теория тем более предсказуема, чем меньше размерность соответствующей УФ-критической поверхности.

Например, если критическая поверхность УФ имеет конечную размерность ${\displaystyle n}$ достаточно выполнить только ${\displaystyle n}$ измерения, чтобы однозначно идентифицировать траекторию Nature's RG. Однажды ${\displaystyle n}$ соответствующие соединения измеряются, требование асимптотической безопасности фиксирует все другие соединения, поскольку последние должны быть отрегулированы таким образом, чтобы траектория RG лежала в пределах критической поверхности UV. В этом духе теория очень предсказуема, поскольку бесконечное количество параметров фиксируется конечным числом измерений.

В отличие от других подходов, здесь не требуется простое действие, которое следует продвигать в квантовую теорию. Это пространство теории и уравнения потока RG, ​​которые определяют возможные неподвижные УФ-точки. Поскольку такая фиксированная точка, в свою очередь, соответствует голому действию, можно рассматривать голое действие как предсказание в программе асимптотической безопасности. Это можно рассматривать как стратегию систематического поиска среди теорий, которые уже являются «квантовыми», которая идентифицирует «острова» физически приемлемых теорий в «море» неприемлемых теорий, страдающих от коротких сингулярностей.

Гауссовские и негауссовские неподвижные точки

Неподвижная точка называется Гауссовский если это соответствует свободной теории. Его критические показатели согласен с каноническая массовая размерность соответствующих операторов, что обычно сводится к тривиальным значениям фиксированной точки ${\displaystyle g_{\alpha }^{*}=0}$ для всех основных соединений ${\displaystyle g_{\alpha }}$. Таким образом, стандартная теория возмущений применима только в окрестности гауссовой неподвижной точки. В этом отношении асимптотическая безопасность в гауссовой фиксированной точке эквивалентна пертурбативной перенормируемости плюс асимптотическая свобода. Однако из-за аргументов, представленных во вводных разделах, эта возможность исключена из-за гравитации.

Напротив, нетривиальная неподвижная точка, то есть неподвижная точка, критические показатели которой отличаются от канонических, называется негауссовский. Обычно для этого требуется ${\displaystyle g_{\alpha }^{*}\neq 0}$ по крайней мере для одного важного ${\displaystyle g_{\alpha }}$. Именно такая негауссовская фиксированная точка обеспечивает возможный сценарий квантовой гравитации. Таким образом, до сих пор исследования по этому предмету в основном были сосредоточены на установлении его существования.

Квантовая гравитация Эйнштейна (QEG)

Квантовая гравитация Эйнштейна (QEG) - это общее название для любой квантовой теории поля гравитации, которая (независимо от ее голое действие ) занимает метрика пространства-времени как переменная динамического поля и симметрия которой задается формулой инвариантность к диффеоморфизму. Это исправляет пространство теории и RG-поток эффективного среднего действия, определенного над ним, но он не выделяет априори какого-либо конкретного функционала действия. Однако уравнение потока определяет векторное поле в этом теоретическом пространстве, которое можно исследовать. Если он отображает негауссову фиксированную точку, с помощью которой УФ-предел может быть взят «асимптотически безопасным» способом, эта точка приобретает статус простого действия.

Реализация через эффективное среднее действие

Точное функциональное уравнение ренормгруппы

Основная статья: Функциональная ренормализационная группа

Основной инструмент для исследования гравитационного RG поток по шкале энергии ${\displaystyle k}$ на непертурбативном уровне - эффективное среднее действие ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ для гравитации.^[14] Это зависящая от масштаба версия эффективное действие где в основе функциональный интеграл полевые моды с ковариантными импульсы ниже ${\displaystyle k}$ подавляются, а интегрируются только остальные. Для данного теоретического пространства пусть ${\displaystyle \Phi }$ и ${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$ обозначают набор динамических и фоновых полей соответственно. потом ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ удовлетворяет следующим Функциональное уравнение РГ типа Веттериха-Морриса (ФРГ):^[10][11]

${\displaystyle k\partial _{k}\Gamma _{k}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}={\frac {1}{2}}\,{\mbox{STr}}{\Big [}{\big (}\Gamma _{k}^{(2)}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}+{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\big )}^{-1}k\partial _{k}{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\Big ]}.}$

Здесь ${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}}$ это второй функциональная производная из ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ относительно квантовых полей ${\displaystyle \Phi }$ при фиксированном ${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$. Оператор подавления режима ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]}$ обеспечивает ${\displaystyle k}$-зависимый массовый член для флуктуаций с ковариантными импульсами ${\displaystyle p^{2}\ll k^{2}}$ и исчезает для ${\displaystyle p^{2}\gg k^{2}}$Его появление в числителе и знаменателе дает суперслед ${\displaystyle ({\mbox{STr}})}$ как инфракрасный, так и ультрафиолетовый конечные, максимальные при импульсах ${\displaystyle p^{2}\approx k^{2}}$. FRGE - это точное уравнение без каких-либо пертурбативных приближений. Учитывая начальное условие, он определяет ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ для всех масштабов однозначно.

Решения ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ интерполяции FRGE между голым (микроскопическим) действием при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ и эффективное действие ${\displaystyle \Gamma [\Phi ]=\Gamma _{k=0}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}=\Phi {\big ]}}$ в ${\displaystyle k\rightarrow 0}$. Их можно визуализировать как траектории в нижележащем пространство теории. Обратите внимание, что сам FRGE не зависит от простого действия. В случае асимптотически безопасной теории затравочное действие определяется функционалом неподвижной точки ${\displaystyle \Gamma _{*}=\Gamma _{k\rightarrow \infty }}$.

Усечения теоретического пространства

Предположим, что существует набор базисных функционалов ${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$ охватывающий пространство теории рассматриваемого так, что любой функционал действия, т.е. любая точка этого теоретического пространства, может быть записан как линейная комбинация ${\displaystyle P_{\alpha }}$с. Тогда решения ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ из FRGE иметь расширения формы

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{\infty }g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}].}$

Вставив это расширение в FRGE и развернув трассу с правой стороны, чтобы извлечь бета-функции, получаем точное уравнение РГ в компонентной форме: ${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},g_{2},\cdots )}$. Эти уравнения вместе с соответствующими начальными условиями фиксируют эволюцию бегущих муфт ${\displaystyle g_{\alpha }(k)}$, и таким образом определить ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ полностью. Как видим, FRGE дает начало системе бесконечно много связанных дифференциальных уравнений, поскольку существует бесконечно много связей, и ${\displaystyle \beta }$-функции могут зависеть от всех из них. Это очень затрудняет решение системы в целом.

Возможный выход состоит в том, чтобы ограничить анализ конечномерным подпространством как приближение к полному пространству теории. Другими словами, такой усечение теоретического пространства обнуляет все связи, кроме конечного, с учетом только приведенного базиса ${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$ с ${\displaystyle \alpha =1,\cdots ,N}$. Это составляет анзац

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{N}g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}],}$

приводящая к системе конечного числа связанных дифференциальных уравнений, ${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},\cdots ,g_{N})}$, которые теперь можно решить с помощью аналитических или численных методов.

Очевидно, что нужно выбрать такое усечение, чтобы оно включало как можно больше характеристик точного потока. Хотя это приближение, усеченный поток все же демонстрирует непертурбативный характер FRGE, и ${\displaystyle \beta }$-функции могут содержать вклады всех мощностей муфт.

Доказательства асимптотической безопасности из усеченных уравнений потока

QEG блок-схема усечения Эйнштейна – Гильберта. Стрелки указывают от УФ к ИК шкалам. Темный цвет фона указывает на область быстрого течения, в областях светлого фона поток медленный или даже нулевой. Последний случай включает в себя окрестность гауссовой фиксированной точки в начале координат и NGFP в центре спиральных стрелок соответственно. Траектория перехода, касательная к зеленый стрелки соединяют негауссову точку с гауссовой неподвижной точкой и играют роль сепаратриса.

Усечение Эйнштейна – Гильберта

Как описано в предыдущем разделе, FRGE поддается систематическому построению непертурбативных приближений гравитационного бета-функции проецируя точный поток РГ на подпространства, натянутые подходящим анзацем для ${\displaystyle \Gamma _{k}}$. В простейшем виде такой анзац задается действием Эйнштейна – Гильберта, где Постоянная Ньютона ${\displaystyle G_{k}}$ и космологическая постоянная ${\displaystyle \Lambda _{k}}$ зависят от шкалы RG ${\displaystyle k}$. Позволять ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ и ${\displaystyle {\bar {g}}_{\mu \nu }}$ обозначают соответственно динамическую и фоновую метрики. потом ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ читает, для произвольного измерения пространства-времени ${\displaystyle d}$,

${\displaystyle \Gamma _{k}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}]={\frac {1}{16\pi G_{k}}}\int {\text{d}}^{d}x\,{\sqrt {g}}\,{\big (}-R(g)+2\Lambda _{k}{\big )}+\Gamma _{k}^{\text{gf}}[g,{\bar {g}}]+\Gamma _{k}^{\text{gh}}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}].}$

Фазовый портрет для усечения Эйнштейна – Гильберта. Показаны Траектории RG соответствующий блок-схеме слева. (Впервые получено в работе.^[17])

Здесь ${\displaystyle R(g)}$ это скалярная кривизна построенный из метрики ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. Более того, ${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gf}}}$ обозначает действие фиксации датчика, и ${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gh}}}$ то призрачное действие с призрачными полями ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$.

Соответствующие ${\displaystyle \beta }$-функции, описывающие эволюцию безразмерной постоянной Ньютона ${\displaystyle g_{k}=k^{d-2}G_{k}}$ и безразмерная космологическая постоянная ${\displaystyle \lambda _{k}=k^{-2}\Lambda _{k}}$, были получены впервые по ссылке^[14] для любого значения размерности пространства-времени, включая случаи ${\displaystyle d}$ ниже и выше ${\displaystyle 4}$ размеры. В частности, в ${\displaystyle d=4}$ размеры, которые они дают, на блок-схеме RG, показанной слева. Наиболее важным результатом является существование негауссовской неподвижной точки, пригодной для обеспечения асимптотической безопасности. Он привлекателен к ультрафиолету как в ${\displaystyle g}$- И в ${\displaystyle \lambda }$-направление.

Эта неподвижная точка связана с один нашел в ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ размерности пертурбативными методами в том смысле, что она восстанавливается в непертурбативном подходе, представленном здесь, путем вставки ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ в ${\displaystyle \beta }$-функции и расширение по мощности ${\displaystyle \epsilon }$.^[14] Поскольку ${\displaystyle \beta }$-функции, как было показано, существуют и явно вычисляются для любого реального, то есть не обязательно целого значения ${\displaystyle d}$, здесь нет аналитического продолжения. Фиксированная точка в ${\displaystyle d=4}$ размеры также являются прямым результатом непертурбативных уравнений потока, и, в отличие от более ранних попыток, нет экстраполяции в ${\displaystyle \epsilon }$ необходимо.

Расширенные усечения

Впоследствии существование неподвижной точки, найденной в рамках усечения Эйнштейна – Гильберта, было подтверждено в подпространствах последовательно возрастающей сложности. Следующим шагом в этом развитии было включение ${\displaystyle R^{2}}$-терм в анзаце усечения.^[18]Это было расширено дальше, учитывая полиномы скалярной кривизны ${\displaystyle R}$ (так называемый ${\displaystyle f(R)}$-усечения),^[19]и площадь Тензор кривизны Вейля.^[20][21]Кроме того, теории f (R) были исследованы в приближении локального потенциала, в котором были найдены непертурбативные неподвижные точки в поддержку сценария асимптотической безопасности.^[22]Кроме того, исследовано влияние различных видов материальных полей.^[15]Также вычисления, основанные на действии эффективного среднего, инвариантного при репараметризации поля, похоже, восстанавливают критическую фиксированную точку.^[23]В совокупности эти результаты представляют собой убедительное свидетельство того, что гравитация в четырех измерениях является непертурбативно перенормируемой квантовой теорией поля, действительно с УФ критическая поверхность уменьшенной размерности, согласованной всего несколькими соответствующими связями.^[16]

Микроскопическая структура пространства-времени

Результаты исследований, связанных с асимптотической безопасностью, показывают, что эффективная время из QEG имеют фрактал -подобные свойства в микроскопических масштабах. Можно, например, определить их спектральную размерность и утверждать, что они претерпевают уменьшение размеров с 4-х измерений при макроскопические расстояния до 2-х измерений под микроскопом.^[24][25]В этом контексте можно было бы провести связь с другими подходами к квантовой гравитации, например к причинные динамические триангуляции и сравните результаты.^[26]

Физические приложения асимптотически безопасной гравитации

Основная статья: Физические приложения асимптотически безопасной гравитации

Феноменологические последствия асимптотического сценария безопасности исследуются во многих областях гравитационной физики. Например, асимптотическая безопасность в сочетании с Стандартная модель позволяет утверждать о массе бозон Хиггса и ценность постоянная тонкой структуры.^[27]Кроме того, это дает возможные объяснения конкретных явлений в космология и астрофизика, касательно черные дыры или же инфляция, например.^[27] В этих различных исследованиях используется возможность того, что требование асимптотической безопасности может привести к новым прогнозам и выводам для рассматриваемых моделей, часто без зависимости от дополнительных, возможно, ненаблюдаемых предположений.

Критика асимптотической безопасности

Некоторые исследователи утверждали, что текущие реализации программы асимптотической безопасности для гравитации имеют нефизические особенности, такие как выполнение постоянной Ньютона.^[28] Другие утверждали, что само понятие асимптотической безопасности употреблено неправильно, поскольку оно предполагает новую особенность по сравнению с парадигмой Вильсона RG, ​​хотя ее нет (по крайней мере, в контексте квантовой теории поля, где этот термин также используется).^[29]

Смотрите также

• Физический портал

• Асимптотическая свобода
• Причинная динамическая триангуляция
• Причинные множества
• Критические явления
• Евклидова квантовая гравитация
• Фрактальная космология
• Функциональная ренормализационная группа
• Петлевая квантовая гравитация
• Пертурбативная перенормировка
• Планковский масштаб
• Физические приложения асимптотически безопасной гравитации
• Исчисление Редже
• Квантовая гравитация
• Ренормализационная группа
• Ультрафиолетовая фиксированная точка

Рекомендации

1. 'т Хоофт, Джерард; Велтман, Мартинус Дж. Г. (1974). «Однопетлевые расходимости в теории гравитации». Annales de l'Institut Анри Пуанкаре. А. 20 (1): 69–94. Bibcode:1974AIHPA..20 ... 69T.
2. Goroff, Marc H .; Саньотти, Августо (1986). «Ультрафиолетовое поведение силы тяжести Эйнштейна». Ядерная физика. Б. 266 (3–4): 709–736. Bibcode:1986НуФБ.266..709Г. Дои:10.1016/0550-3213(86)90193-8.
3. Вайнберг, Стивен (1978). «Критические явления для теоретиков поля». В Зичичи, Антонино (ред.). Понимание основных составляющих материи. Субъядерная серия. 14. С. 1–52. Дои:10.1007/978-1-4684-0931-4_1. ISBN  978-1-4684-0931-4.
4. Вайнберг, Стивен (1979). «Ультрафиолетовые расходимости в квантовых теориях гравитации». У С. У. Хокинга; W. Israel (ред.). Общая теория относительности: обзор столетия Эйнштейна. Издательство Кембриджского университета. С. 790–831.
5. Хамбер, Х. В. (2009). Квантовая гравитация - интегральный подход по траектории Фейнмана. Издательство Springer. ISBN  978-3-540-85292-6.
6. Уилсон, Кеннет Дж .; Когут, Джон Б. (1974). «Ренормализационная группа и ε-разложение». Отчеты по физике. 12 (2): 75–199. Bibcode:1974PhR .... 12 ... 75Вт. Дои:10.1016/0370-1573(74)90023-4.
7. Паризи, Джорджио (1976). «О неперенормируемых взаимодействиях». Новые разработки в квантовой теории поля и статистической механике Каржез, 1976 г.. Новые разработки в квантовой теории поля и статистической механике Каржеза. С. 281–305. Дои:10.1007/978-1-4615-8918-1_12. ISBN  978-1-4615-8920-4.
8. Брезин, Эдуард; Зинн-Джастин, Жан (1976). «Перенормировка нелинейной сигма-модели в 2 + эпсилон-измерениях». Письма с физическими проверками. 36 (13): 691–693. Bibcode:1976ПхРвЛ..36..691Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.36.691.
9. Гавендски, Кшиштоф; Купиайнен, Антти (1985). «Перенормировка неперенормируемого». Письма с физическими проверками. 55 (4): 363–365. Bibcode:1985ПхРвЛ..55..363Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.55.363. PMID  10032331.
10. Веттерих, Кристоф (1993). «Точное уравнение эволюции эффективного потенциала». Phys. Латыш. Б. 301 (1): 90–94. arXiv:1710.05815. Bibcode:1993ФЛБ..301 ... 90Вт. Дои:10.1016 / 0370-2693 (93) 90726-Х. S2CID  119536989.
11. Моррис, Тим Р. (1994-06-10). «Точная ренормгруппа и приближенные решения». Международный журнал современной физики A. 09 (14): 2411–2449. arXiv:hep-ph / 9308265. Bibcode:1994IJMPA ... 9.2411M. Дои:10.1142 / S0217751X94000972. ISSN  0217-751X. S2CID  15749927.
12. Рейтер, Мартин; Веттерих, Кристоф (1994). «Эффективное среднее действие для калибровочных теорий и точных эволюционных уравнений». Ядерная физика B. 417 (1–2): 181–214. Bibcode:1994НуФБ.417..181Р. Дои:10.1016/0550-3213(94)90543-6.
13. См. Например обзорная статья Berges, Tetradis и Wetterich (2002) в дальнейшее чтение.
14. Рейтер, Мартин (1998). «Непертурбативное уравнение эволюции квантовой гравитации». Phys. Rev. Д. 57 (2): 971–985. arXiv:hep-th / 9605030. Bibcode:1998ПхРвД..57..971Р. Дои:10.1103 / PhysRevD.57.971. S2CID  119454616.
15. Доу, Джамель; Перкаччи, Роберто (1998). «Бегущие гравитационные муфты». Классическая и квантовая гравитация. 15 (11): 3449–3468. arXiv:hep-th / 9707239. Bibcode:1998CQGra..15.3449D. Дои:10.1088/0264-9381/15/11/011. S2CID  14255057.
16. Обзоры по асимптотической безопасности и QEG с исчерпывающими списками литературы см. дальнейшее чтение.
17. Рейтер, Мартин; Saueressig, Франк (2002). "Ренормализационная группа потока квантовой гравитации в усечении Эйнштейна-Гильберта". Phys. Rev. Д. 65 (6): 065016. arXiv:hep-th / 0110054. Bibcode:2002ПхРвД..65ф5016Р. Дои:10.1103 / PhysRevD.65.065016. S2CID  17867494.
18. Лаушер, Оливер; Рейтер, Мартин (2002). "Уравнение потока квантовой гравитации Эйнштейна в усечении высшей производной". Физический обзор D. 66 (2): 025026. arXiv:hep-th / 0205062. Bibcode:2002ПхРвД..66б5026Л. Дои:10.1103 / PhysRevD.66.025026. S2CID  119105398.
19. Коделло, Алессандро; Перкаччи, Роберто; Рахмед, Кристоф (2008). «Ультрафиолетовые свойства f (R) -гравитации». Международный журнал современной физики A. 23 (1): 143–150. arXiv:0705.1769. Bibcode:2008IJMPA..23..143C. Дои:10.1142 / S0217751X08038135. S2CID  119689597.
20. Бенедетти, Дарио; Machado, Pedro F .; Saueressig, Франк (2009). «Асимптотическая безопасность при высшей производной гравитации». Буквы A по современной физике. 24 (28): 2233–2241. arXiv:0901.2984. Bibcode:2009MPLA ... 24.2233B. Дои:10.1142 / S0217732309031521. S2CID  15535049.
21. Контакт с теорией возмущений устанавливается в: Нидермайер, Макс (2009). «Гравитационные неподвижные точки из теории возмущений». Письма с физическими проверками. 103 (10): 101303. Bibcode:2009PhRvL.103j1303N. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.101303. PMID  19792294.
22. Приближение LPA было впервые исследовано в квантовой гравитации в: Бенедетти, Дарио; Каравелли, Франческо (2012). «Приближение локального потенциала в квантовой гравитации». JHEP. 17 (6): 1–30. arXiv:1204.3541. Bibcode:2012JHEP ... 06..017B. Дои:10.1007 / JHEP06 (2012) 017. S2CID  53604992.
23. Донкин, Иван; Павловский, Ян М. (2012). «Фазовая диаграмма квантовой гравитации из диффеоморфизм-инвариантных РГ-потоков». arXiv:1203.4207 [hep-th ].
24. Лаушер, Оливер; Рейтер, Мартин (2001). «Ультрафиолетовая неподвижная точка и обобщенное уравнение потока квантовой гравитации». Физический обзор D. 65 (2): 025013. arXiv:hep-th / 0108040. Bibcode:2002ПхРвД..65б5013Л. Дои:10.1103 / PhysRevD.65.025013. S2CID  1926982.
25. Лаушер, Оливер; Рейтер, Мартин (2005). «Фрактальная структура пространства-времени в асимптотически безопасной гравитации». Журнал физики высоких энергий. 2005 (10): 050. arXiv:hep-th / 0508202. Bibcode:2005JHEP ... 10..050л. Дои:10.1088/1126-6708/2005/10/050. S2CID  14396108.
26. Для обзора см. дальнейшее чтение: Рейтер; Saueressig (2012)
27. См. Основную статью Физические приложения асимптотически безопасной гравитации и ссылки в нем.
28. Донохью, Джон Ф. (11 марта 2020 г.). «Критика программы асимптотической безопасности». Границы физики. 8: 56. arXiv:1911.02967. Bibcode:2020FrP ..... 8 ... 56D. Дои:10.3389 / fphy.2020.00056. ISSN  2296-424X. S2CID  207847938.
29. Асрат, Месерет (2018). «Комментарии к асимптотической безопасности в четырехмерных N = 1 суперсимметричных калибровочных теориях». arXiv:1805.11543.

дальнейшее чтение

• Нидермайер, Макс; Рейтер, Мартин (2006). «Асимптотический сценарий безопасности в квантовой гравитации». Живущий Преподобный Релятив. 9 (1): 5. Bibcode:2006LRR ..... 9 .... 5N. Дои:10.12942 / lrr-2006-5. ЧВК  5256001. PMID  28179875.
• Перкаччи, Роберто (2009). «Асимптотическая безопасность». В Орити, Д. (ред.). Подходы к квантовой гравитации: к новому пониманию пространства, времени и материи. Издательство Кембриджского университета. arXiv:0709.3851. Bibcode:2007arXiv0709.3851P.
• Бергес, Юрген; Тетрадис, Николаос; Веттерих, Кристоф (2002). «Непертурбативный перенормировочный поток в квантовой теории поля и статистической физике». Отчеты по физике. 363 (4–6): 223–386. arXiv:hep-ph / 0005122. Bibcode:2002ФР ... 363..223Б. Дои:10.1016 / S0370-1573 (01) 00098-9. S2CID  119033356.
• Рейтер, Мартин; Зауэрессиг, Франк (2012). «Квантовая гравитация Эйнштейна». Новый J. Phys. 14 (5): 055022. arXiv:1202.2274. Bibcode:2012NJPh ... 14e5022R. Дои:10.1088/1367-2630/14/5/055022. S2CID  119205964.
• Бонанно, Альфио; Заурессиг, Франк (2017). «Асимптотически безопасная космология - отчет о состоянии». Comptes Rendus Physique. 18 (3–4): 254. arXiv:1702.04137. Bibcode:2017CRPhy..18..254B. Дои:10.1016 / j.crhy.2017.02.002. S2CID  119045691.
• Литим, Даниэль (2011). "Renormalisation group and the Planck scale". Философские труды Королевского общества A. 69 (1946): 2759–2778. arXiv:1102.4624. Bibcode:2011RSPTA.369.2759L. Дои:10.1098/rsta.2011.0103. PMID  21646277. S2CID  8888965.
• Nagy, Sandor (2012). "Lectures on renormalization and asymptotic safety". Анналы физики. 350: 310–346. arXiv:1211.4151. Bibcode:2014AnPhy.350..310N. Дои:10.1016/j.aop.2014.07.027. S2CID  119183995.

внешняя ссылка

• The Asymptotic Safety FAQs — A collection of questions and answers about asymptotic safety and a comprehensive list of references.
• Asymptotic Safety in quantum gravity - А Scholarpedia article about the same topic with some more details on the gravitational effective average action.
• The Quantum Theory of Fields: Effective or Fundamental? — A talk by Steven Weinberg at ЦЕРН 7 июля 2009 г.
• Asymptotic Safety - 30 Years Later — All talks of the workshop held at the Институт периметра on November 5 – 8, 2009.
• Four radical routes to a theory of everything — An article by Amanda Gefter on quantum gravity, published 2008 in New Scientist (Physics & Math).