Стандартизированный момент - Standardized moment

В теория вероятности и статистика, а стандартизированный момент из распределение вероятностей момент (обычно более высокая степень центральный момент ), который нормализован. Нормализация обычно представляет собой деление на выражение стандартное отклонение что делает масштаб момента инвариантным. Это имеет то преимущество, что такие нормированные моменты различаются только другими свойствами, кроме изменчивости, облегчая, например, сравнение формы различных распределений вероятностей.^[1]

Стандартная нормализация

Позволять Икс быть случайная переменная с распределением вероятностей п и среднее значение ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ (т.е. первый необработанный момент или момент около нуля ), оператор E, обозначающий ожидаемое значение из Икс. Тогда стандартизированный момент степени k является ${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}},}$^[2] то есть отношение kth момент о среднем

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}P(x)\,dx,}$

к kя сила стандартное отклонение,

${\displaystyle \sigma ^{k}=\left({\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}\right)^{k}.}$

Сила k потому что моменты масштабируются как ${\displaystyle x^{k},}$ означающий, что ${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X):}$ они есть однородные функции степени k, таким образом, стандартизованный момент равен масштабный инвариант. Это также можно понять, потому что моменты имеют измерение; в указанном выше соотношении, определяющем стандартизованные моменты, размеры сокращаются, поэтому они безразмерные числа.

Первые четыре стандартизованных момента можно записать как:

Степень k		Комментарий
1	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}={\frac {\mu -\mu }{\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}}=0}$	Первый стандартизированный момент равен нулю, потому что первый момент относительно среднего всегда равен нулю.
2	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1}$	Второй стандартизованный момент равен единице, потому что второй момент относительно среднего равен отклонение σ^2.
3	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}}$	Третий стандартизированный момент - это мера перекос.
4	${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}}$	Четвертый стандартизированный момент относится к эксцесс.

Для асимметрии и эксцесса существуют альтернативные определения, основанные на третьем и четвертом кумулянт соответственно.

Другие нормализации

Дальнейшая информация: Нормализация (статистика)

Другой масштабно-инвариантной безразмерной мерой характеристик распределения является коэффициент вариации, ${\displaystyle {\frac {\sigma }{\mu }}}$. Однако это нестандартный момент, во-первых, потому что он взаимный, а во-вторых, потому что ${\displaystyle \mu }$ - это первый момент около нуля (среднее значение), а не первый момент около среднего значения (которое равно нулю).

Видеть Нормализация (статистика) для дальнейшей нормализации соотношений.

Смотрите также

• Коэффициент вариации
• Момент (математика)
• Центральный момент
• Стандартный балл § Другие нормализации

Рекомендации

1. Рэмси, Джеймс Бернард; Ньютон, Х. Джозеф; Харвилл, Джейн Л. (01.01.2002). «ГЛАВА 4 МГНОВЕНИЯ И ФОРМА ГИСТОГРАММ». Элементы статистики: в приложениях к экономике и социальным наукам. Duxbury / Thomson Learning. п. 96. ISBN  9780534371111.
2. В., Вайсштейн, Эрик. «Стандартный момент». mathworld.wolfram.com. Получено 2016-03-30.