Логранк тест - Logrank test

В тест logrank, или же логранговый тест, это проверка гипотез сравнить выживание распределения двух выборок. Это непараметрический тестировать и использовать, когда данные искажены правильно и подвергнутый цензуре (технически цензура должна быть неинформативной). Он широко используется в клинические испытания для определения эффективности нового лечения по сравнению с контрольным лечением, когда измеряется время до события (например, время от первоначального лечения до сердечного приступа). Тест иногда называют Тест Мантела – Кокса, названный в честь Натан Мантел и Дэвид Кокс. Логранговый тест также можно рассматривать как стратифицированный по времени Тест Кокрана – Мантеля – Хензеля.

Тест был впервые предложен Натан Мантел и был назван тест logrank к Ричард и Джулиан Пето.^[1][2][3]

Определение

Статистика теста logrank сравнивает оценки функции опасности двух групп в каждое наблюдаемое время события. Он строится путем вычисления наблюдаемого и ожидаемого количества событий в одной из групп в каждое наблюдаемое время события, а затем их суммирования для получения общей сводки по всем точкам за все время, в которых произошло событие.

Рассмотрим две группы пациентов, например, лечение против контроля. Позволять ${displaystyle 1,ldots ,J}$ быть разным временем наблюдаемых событий в каждой группе. Позволять ${displaystyle N_{1,j}}$ и ${displaystyle N_{2,j}}$ быть количеством субъектов, находящихся в "группе риска" (у которых еще не было события или которые не подвергались цензуре) в начале периода ${displaystyle j}$ в группах соответственно. Позволять ${displaystyle O_{1,j}}$ и ${displaystyle O_{2,j}}$ быть наблюдаемым количеством событий в группах за раз ${displaystyle j}$. Наконец, определим ${displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$ и ${displaystyle O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}}$.

В нулевая гипотеза состоит в том, что две группы имеют идентичные функции опасности, ${displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$. Следовательно, при ${displaystyle H_{0}}$, для каждой группы ${displaystyle i=1,2}$, ${displaystyle O_{i,j}}$ следует за гипергеометрическое распределение с параметрами ${displaystyle N_{j}}$, ${displaystyle N_{i,j}}$, ${displaystyle O_{j}}$. Это распределение имеет ожидаемое значение ${displaystyle E_{i,j}=N_{i,j}{frac {O_{j}}{N_{j}}}}$ и дисперсия ${displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}left({frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}ight)left({frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}ight)}$.

Для всех ${displaystyle j=1,ldots ,J}$, статистика лог-ранга сравнивает ${displaystyle O_{i,j}}$ к его ожиданию ${displaystyle E_{i,j}}$ под ${displaystyle H_{0}}$. Он определяется как

${displaystyle Z={frac {sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{sqrt {sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}} {xrightarrow {d}} {mathcal {N}}(0,1)}$ (за ${displaystyle i=1}$ или же ${displaystyle 2}$)

Посредством Центральная предельная теорема, распределение ${displaystyle Z}$ сходится к стандартному нормальному распределению как ${displaystyle J}$ стремится к бесконечности и поэтому может быть аппроксимирован стандартным нормальным распределением для достаточно большого ${displaystyle J}$. Улучшенное приближение может быть получено путем приравнивания этой величины к распределениям типа I или II (бета) Пирсона с соответствующими первыми четырьмя моментами, как описано в Приложении B к статье Пето и Пето.^[2]

Асимптотическое распределение

Если две группы имеют одинаковую функцию выживания, статистика логарифмического ранга приблизительно стандартная. Односторонний уровень ${displaystyle alpha }$ test отклонит нулевую гипотезу, если ${displaystyle Z>z_{alpha }}$ куда ${displaystyle z_{alpha }}$ это верхний ${displaystyle alpha }$ квантиль стандартного нормального распределения. Если коэффициент опасности ${displaystyle lambda }$, Существуют ${displaystyle n}$ все предметы, ${displaystyle d}$ вероятность того, что у субъекта любой группы в конечном итоге произойдет событие (так что ${displaystyle nd}$ - ожидаемое количество событий на момент анализа), а доля субъектов, рандомизированных в каждую группу, составляет 50%, тогда логранговая статистика приблизительно нормальна со средним значением ${displaystyle (log {lambda }),{sqrt {frac {n,d}{4}}}}$ и дисперсия 1.^[4] Для одностороннего уровня ${displaystyle alpha }$ тест с силой ${displaystyle 1-eta }$, требуется размер выборки${displaystyle n={frac {4,(z_{alpha }+z_{eta })^{2}}{dlog ^{2}{lambda }}}}$куда ${displaystyle z_{alpha }}$ и ${displaystyle z_{eta }}$ - квантили стандартного нормального распределения.

Совместное распространение

Предполагать ${displaystyle Z_{1}}$ и ${displaystyle Z_{2}}$ являются статистикой лог-ранга в двух разных временных точках одного исследования (${displaystyle Z_{1}}$ ранее). Опять же, предположим, что функции риска в двух группах пропорциональны соотношению рисков. ${displaystyle lambda }$ и ${displaystyle d_{1}}$ и ${displaystyle d_{2}}$ являются вероятностями того, что у субъекта произойдет событие в двух временных точках, где ${displaystyle d_{1}leq d_{2}}$. ${displaystyle Z_{1}}$ и ${displaystyle Z_{2}}$ приблизительно двумерные нормальные со средними ${displaystyle log {lambda },{sqrt {frac {n,d_{1}}{4}}}}$ и ${displaystyle log {lambda },{sqrt {frac {n,d_{2}}{4}}}}$ и корреляция ${displaystyle {sqrt {frac {d_{1}}{d_{2}}}}}$. Расчеты, включающие совместное распределение, необходимы для правильного поддержания коэффициента ошибок, когда данные исследуются несколько раз в рамках исследования специалистом. Комитет по мониторингу данных.

Связь с другой статистикой

• Статистика лог-ранга может быть получена как оценка теста для Модель пропорциональных рисков Кокса сравнивая две группы. Следовательно, он асимптотически эквивалентен тест отношения правдоподобия статистика, основанная на этой модели.
• Статистика логарифмического ранга асимптотически эквивалентна тестовой статистике отношения правдоподобия для любого семейства распределений с альтернативой пропорциональной опасности. Например, если данные из двух выборок имеют экспоненциальные распределения.
• Если ${displaystyle Z}$ статистика лог-ранга, ${displaystyle D}$ - количество наблюдаемых событий, и ${displaystyle {hat {lambda }}}$ оценка отношения рисков, то ${displaystyle log {hat {lambda }}approx Z,{sqrt {4/D}}}$. Это соотношение полезно, когда известны две величины (например, из опубликованной статьи), но требуется третье.
• Статистику логарифмического ранга можно использовать при цензуре наблюдений. Если цензурированные наблюдения отсутствуют в данных, то Тест суммы рангов Вилкоксона является целесообразным.
• Статистика логарифмического ранжирования дает всем вычислениям одинаковый вес независимо от времени, в которое происходит событие. В Тест по логарифму Пето статистика придает больший вес более ранним событиям при большом количестве наблюдений.

Допущения при тестировании

Тест logrank основан на тех же предположениях, что и Каплан-Мейер кривая выживаемости, а именно, что цензура не связана с прогнозом, вероятность выживания одинакова для субъектов, набранных на ранней и поздней стадии исследования, и события произошли в указанное время. Отклонения от этих предположений имеют наибольшее значение, если они по-разному удовлетворяются в сравниваемых группах, например, если цензура более вероятна в одной группе, чем в другой.^[5]

Смотрите также

• Математический портал

• Оценка Каплана – Мейера
• Коэффициент опасности

Рекомендации

1. Мантел, Натан (1966). «Оценка данных по выживаемости и две новые статистические данные о ранжировании, возникающие при ее рассмотрении». Отчеты о химиотерапии рака. 50 (3): 163–70. PMID  5910392.
2. Пето, Ричард; Пето, Джулиан (1972). «Асимптотически эффективные процедуры проверки, инвариантные по рангам». Журнал Королевского статистического общества, серия A. Блэквелл Паблишинг. 135 (2): 185–207. Дои:10.2307/2344317. HDL:10338.dmlcz / 103602. JSTOR  2344317.
3. Харрингтон, Дэвид (2005). «Линейные ранговые тесты в анализе выживаемости». Энциклопедия биостатистики. Wiley Interscience. Дои:10.1002 / 0470011815.b2a11047. ISBN  047084907X.
4. Шенфельд, Д. (1981). «Асимптотические свойства непараметрических тестов для сравнения распределений выживаемости». Биометрика. 68 (1): 316–319. Дои:10.1093 / biomet / 68.1.316. JSTOR  2335833.
5. Блэнд, Дж. М.; Альтман, Д. Г. (2004). "Тест лог-ранга". BMJ. 328 (7447): 1073. Дои:10.1136 / bmj.328.7447.1073. ЧВК  403858. PMID  15117797.