Математика, форма и функции - Mathematics, Form and Function

Математика, форма и функции это обзор всего математика, включая его происхождение и глубокую структуру, американским математиком Saunders Mac Lane.

Математика и человеческая деятельность

На протяжении всей своей книги, и особенно в главе I.11, Мак Лейн неформально обсуждает, как математика основывается на более обычной конкретной и абстрактной деятельности человека. Следующая таблица адаптирована из таблицы, приведенной на стр. 35 из Mac Lane (1986). Строки очень грубо упорядочены от наиболее к наименее фундаментальным. Маркированный список, который можно сравнить и сопоставить с этой таблицей, см. В разделе 3 Откуда пришла математика.

Человеческая активность	Связанная математическая идея	Математическая техника
Сбор	Коллекция объектов	Набор; учебный класс; мультимножество; список; семья
Подключение	Причина и следствие	упорядоченная пара; связь; функция; операция
"	Близость; связь	Топологическое пространство; мереотопология
Следующий	Последовательные действия	Состав функций; группа трансформации
Сравнение	Перечисление	Биекция; количественное числительное; порядок
Время	До после	Линейный порядок
Подсчет	Преемник	Функция преемника; порядковый номер
Вычисление	Операции на числа	Сложение, умножение, рекурсивно определенное; абелева группа; кольца
Глядя на предметы	Симметрия	Группа симметрии; инвариантность; изометрии
Строительство; формирование	Форма; точка	Наборы из точки; геометрия; число Пи
Перестановка	Перестановка	Биекция; группа перестановок
Выбор; различение	Отчаяние	Подмножество; порядок; теория решетки; мереология
Спорят	Доказательство	Логика первого порядка
Измерение	Расстояние; степень	Рациональное число; метрическое пространство
Бесконечное повторение	бесконечность;[1] Рекурсия	Рекурсивный набор; Бесконечный набор
Оценка	Приближение	Настоящий номер; реальное поле
Перемещение через Космос & время:	кривизна	исчисление; дифференциальная геометрия
--Без езды на велосипеде	Изменять	Реальный анализ; группа трансформации
- С велоспортом	Репетиция	число Пи; тригонометрия; комплексное число; комплексный анализ
--Обе		Дифференциальные уравнения; математическая физика
Только движение во времени	Рост и распад	е; экспоненциальная функция; натуральные логарифмы;
Изменение форм	Деформация	Дифференциальная геометрия; топология
Наблюдение за закономерностями	Абстракция	Аксиоматическая теория множеств; универсальная алгебра; теория категорий; морфизм
Стремясь добиться большего	Оптимизация	Исследование операций; теория оптимального управления; динамическое программирование
Выбор; играть в азартные игры	Шанс	Теория вероятности; математическая статистика; мера

Также см. Соответствующие диаграммы на следующих страницах Mac Lane (1986): 149, 184, 306, 408, 416, 422-28.

Mac Lane (1986) цитирует родственную монографию автора Ларс Гординг (1977).

Актуальность Мак Лейна для философии математики

Сооснователь Mac Lane теория категорий с Сэмюэл Эйленберг, что позволяет единый подход математических структур и отношений между ними, за счет вырваться из когнитивной основы. Тем не менее его взгляды - пусть даже неформальные - являются ценным вкладом в философия и антропология математики.^[2] Его взгляды в некоторых отношениях предвосхищают более подробное изложение познавательная основа математики данный Джордж Лакофф и Рафаэль Э. Нуньес в их Откуда пришла математика. Лакофф и Нуньес утверждают, что математика возникает через концептуальные метафоры основанный на тело человека, его движение через Космос и время, и в человеческом восприятии.

Смотрите также

• 1986 в философии

Примечания

1. Также см. «Основные Метафора из бесконечность "в Lakoff and Núñez (2000), гл. 8.
2. Об антропологическом обосновании математики см. White (1947) и Hersh (1997).

Рекомендации

• Гординг, Ларс, 1977. Встреча с математикой. Springer-Verlag.
• Рубен Херш, 1997. Что такое математика на самом деле? Oxford Univ. Нажмите.
• Джордж Лакофф и Рафаэль Э. Нуньес, 2000. Откуда пришла математика. Основные книги.
• Мак-Лейн, Сондерс (1986). Математика, форма и функции. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96217-4.
• Лесли Уайт, 1947, "Локус математической реальности: антропологическая сноска", Философия науки 14: 289-303. Перепечатано в Hersh, R., ed., 2006. 18 нетрадиционных эссе по природе математики. Springer: 304–19.