Число Фруда - Froude number

В механика сплошной среды, то Число Фруда (Пт) это безразмерное число определяется как отношение инерции потока к внешнему полю (последнее во многих приложениях просто из-за сила тяжести ). Названный в честь Уильям Фроуд (/ˈжрud/;^[1]) число Фруда основано на отношение скорости к длине который он определил как:^[2][3]

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$

где ты местный скорость потока, г местный внешнее поле, и L это характерная длина. Число Фруда имеет некоторую аналогию с число Маха. Теоретически динамика жидкостей число Фруда не часто рассматривается, поскольку обычно уравнения рассматриваются в высоком пределе Фруда пренебрежимо малого внешнего поля, что приводит к однородным уравнениям, сохраняющим математические аспекты. Например, однородные уравнения Эйлера имеют вид уравнения сохранения.

Однако в военно-морская архитектура Число Фруда - значащая цифра, используемая для определения сопротивления частично погруженного объекта, движущегося в воде.

Происхождение

В открытых русловых потоках Belanger 1828 сначала введено отношение скорости потока к квадратному корню из ускорения свободного падения, умноженного на глубину потока. Когда отношение было меньше единицы, поток вел себя как речное движение (т. Е. Докритический поток), и как движение потока с потоком, когда отношение было больше единицы.^[4]

Корпуса лебедь (выше) и ворон (ниже). Последовательность из 3, 6 и 12 (показанных на рисунке) моделей в масштабе стопы была построена Фрудом и использовалась в испытаниях буксировки для установления законов сопротивления и масштабирования.

Количественное определение сопротивления плавучих объектов обычно приписывают Уильям Фроуд, который использовал серию масштабных моделей для измерения сопротивления каждой модели при буксировке с заданной скоростью. Морской конструктор Фердинанд Рич выдвинул концепцию в 1852 г. для испытания кораблей и гребных винтов. Соотношение скорость-длина было первоначально определено Фрудом в его Закон сравнения в 1868 г. в размерном выражении как:

${\displaystyle {\text{speed–length ratio}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$

куда:

ты = скорость потока

LWL = длина ватерлинии

Этот термин был преобразован в безразмерные термины и получил имя Фруда в знак признания проделанной им работы. Во Франции его иногда называют Число Рича – Фруда после Фердинанда Рича.^[5]

Определение и основное применение

Показать, как число Фруда связано с общей механикой сплошной среды, а не только с гидродинамика мы начнем с обезразмеривания уравнения движения Коши.

Уравнение импульса Коши

Смотрите также: Уравнение импульса Коши

Чтобы уравнения были безразмерными, характерная длина r₀, а характерная скорость u₀, необходимо определить. Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом получаются следующие безразмерные переменные:

${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения импульса Эйлера и определение числа Фруда:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$

и Число Эйлера:

${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$

окончательно выражаются уравнения (с материальная производная а теперь опускаем индексы):

Уравнение импульса Коши (безразмерная конвективная форма)

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$

Уравнения типа Коши в высоком пределе Фруда Пт → ∞ (соответствующие незначительному внешнему полю) называются бесплатные уравнения. С другой стороны, в нижнем пределе Эйлера Eu → 0 (соответствующее пренебрежимо малому напряжению) общее уравнение импульса Коши становится неоднородным Уравнение Бюргерса (здесь мы явно материальная производная ):

Уравнение Бюргерса (безразмерная форма сохранения)

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$

Это неоднородный чистый уравнение переноса, а также Уравнение Стокса чистый уравнение диффузии.

Уравнение импульса Эйлера

Смотрите также: Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Уравнение импульса Эйлера - это уравнение импульса Коши с Закон Паскаля являясь определяющим отношением напряжения:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$

в безразмерной лагранжевой форме это:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$

Свободные уравнения Эйлера консервативны. Предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле), таким образом, примечателен и может быть изучен с помощью теория возмущений.

Несжимаемое уравнение движения Навье – Стокса.

Смотрите также: Уравнения Навье – Стокса § Несжимаемый поток.

Несжимаемое уравнение импульса Навье – Стокса - это уравнение импульса Коши с Закон Паскаля и Закон Стокса составляющие стрессовые конститутивные отношения:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$

в безразмерной конвективной форме это:^[6]

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$

где Re это Число Рейнольдса. Свободные уравнения Навье – Стокса имеют вид диссипативный (неконсервативный).

Другие приложения

Гидродинамика корабля

Волновая картина в зависимости от скорости, иллюстрирующая различные числа Фруда.

В морских гидродинамических приложениях число Фруда обычно обозначается обозначением Fn и определяется как:^[7]

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$

где ты относительная скорость потока между морем и кораблем, г в частности ускорение силы тяжести, и L - длина судна на уровне ватерлинии, или L_wl в некоторых обозначениях. Это важный параметр по отношению к судовой тянуть, или сопротивление, особенно с точки зрения волновое сопротивление.

В случае глиссирующих судов, где длина ватерлинии слишком зависит от скорости, чтобы иметь смысл, число Фруда лучше всего определить как смещение число Фруда а эталонная длина берется как корень кубический из объемного смещения корпуса:

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$

Мелководные волны

Для волн на мелководье, например цунами и гидравлические прыжки, характерная скорость U это средний скорость потока, усредненная по сечению, перпендикулярному направлению потока. Скорость волны, c, равно квадратному корню из ускорения свободного падения г, умноженное на площадь поперечного сечения А, деленная на ширину свободной поверхности B:

${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$

поэтому число Фруда на мелководье:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$

Для прямоугольного сечения с одинаковой глубиной d, число Фруда можно упростить до:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$

За Пт <1 поток называется докритический поток, далее для Пт> 1 поток характеризуется как сверхкритический поток. Когда Fr ≈ 1 поток обозначается как критический поток.

Ветроэнергетика

При рассмотрении ветровые эффекты На динамически чувствительных конструкциях, таких как подвесные мосты, иногда необходимо моделировать комбинированное воздействие колеблющейся массы конструкции с колеблющейся силой ветра. В таких случаях следует соблюдать число Фруда. Аналогичным образом, при моделировании струй горячего дыма в сочетании с естественным ветром, масштабирование числа Фруда необходимо для поддержания правильного баланса между силами плавучести и импульсом ветра.

Расширенное число Фруда

Геофизические массовые потоки, такие как лавины и селевые потоки происходят на наклонных склонах, которые затем переходят в пологие и пологие зоны выхода.^[8]

Таким образом, эти потоки связаны с возвышением топографических склонов, которые индуцируют потенциальную энергию гравитации вместе с потенциальной энергией давления во время потока. Следовательно, классическое число Фруда должно включать этот дополнительный эффект. Для такой ситуации необходимо переопределить число Фруда. Расширенное число Фруда определяется как отношение кинетической и потенциальной энергии:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$

где ты - средняя скорость потока, β = gK потому что ζ, (K - коэффициент давления грунта, ζ наклон), s_г = г грех ζ, Икс - положение канала вниз по склону и ${\displaystyle x_{d}}$ - расстояние от точки выхода массы по каналу до точки, где поток попадает в горизонтальную опорную точку; E^п
_горшок = βh и E^г
_горшок = s_г(Икс_d − Икс) - потенциальная энергия давления и потенциальная энергия гравитации. В классическом определении числа Фруда для мелководных или зернистых потоков потенциальная энергия, связанная с возвышением поверхности, E^г
_горшок, не считается. Расширенное число Фруда существенно отличается от классического числа Фруда для больших высот поверхности. Период, термин βh возникает из-за изменения геометрии движущейся массы по склону. Размерный анализ показывает, что для мелких потоков βh ≪ 1, в то время как ты и s_г(Икс_d − Икс) оба порядка единства. Если масса неглубокая с практически параллельной слою свободной поверхностью, то βh можно не принимать во внимание. В этой ситуации, если не учитывать гравитационный потенциал, то Пт неограничен, даже если кинетическая энергия ограничена. Таким образом, формально учитывая дополнительный вклад гравитационной потенциальной энергии, сингулярность в Fr снимается.

Баки с мешалкой

При исследовании резервуаров с мешалкой число Фруда определяет образование поверхностных вихрей. Поскольку скорость конца рабочего колеса равна ωr (круговое движение ), где ω частота рабочего колеса (обычно в об / мин ) и р - радиус рабочего колеса (в технике гораздо чаще используется диаметр), тогда число Фруда принимает следующий вид:

${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$

Число Фруда также находит подобное применение в порошковых смесителях. Он действительно будет использоваться для определения того, в каком режиме смешивания работает блендер. Если Fr <1, ​​частицы просто перемешиваются, но если Fr> 1, центробежные силы, приложенные к порошку, преодолевают силу тяжести, и слой частиц становится псевдоожиженным, по крайней мере, в какой-то части смесителя, способствуя перемешиванию.^[9]

Денсиметрическое число Фруда

При использовании в контексте Приближение Буссинеска то денсиметрическое число Фруда определяется как

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$

где г′ это приведенная гравитация:

${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$

Денсиметрическое число Фруда обычно предпочитают моделисты, которые хотят обезразмерить предпочтение скорости по сравнению с Число Ричардсона что чаще встречается при рассмотрении слоистых слоев сдвига. Например, передняя кромка гравитационное течение движется с передним числом Фруда около единицы.

Прогулочное число Фруда

Число Фруда можно использовать для изучения тенденций в моделях походки животных. При анализе динамики передвижения на ногах ходячая конечность часто моделируется как перевернутая маятник, где центр масс проходит через дугу окружности с центром в стопе.^[10] Число Фруда - это соотношение центростремительной силы вокруг центра движения, ступни, и веса идущего животного:

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$

где м это масса, л - характерная длина, г это ускорение силы тяжести и v это скорость. Характерная длина л могут быть выбраны в соответствии с текущим исследованием. Например, в некоторых исследованиях использовалось вертикальное расстояние тазобедренного сустава от земли.^[11] в то время как другие использовали общую длину ног.^[10][12]

Число Фруда также можно рассчитать по частоте шагов. ж следующим образом:^[11]

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$

Если в качестве характеристической длины используется общая длина ноги, тогда теоретическая максимальная скорость ходьбы будет иметь число Фруда 1,0, поскольку любое большее значение приведет к отталкиванию и отрыву ступни от земли. Типичная скорость перехода от двуногой ходьбы к Бег происходит с Fr ≈ 0,5.^[13] Р. М. Александер обнаружил, что животные разных размеров и масс, движущиеся с разной скоростью, но с одним и тем же числом Фруда, постоянно демонстрируют сходные походки. Это исследование показало, что животные обычно переключаются с ходьбы на симметричную беговую походку (например, рысь или темп) около числа Фруда, равного 1,0. Предпочтение асимметричной походки (например, галоп, поперечный галоп, вращательный галоп, скачок или пронк) наблюдалось при числах Фруда от 2,0 до 3,0.^[11]

Применение

Число Фруда используется для сравнения волновое сопротивление между телами различных размеров и форм.

При обтекании свободной поверхности характер течения (сверхкритический или субкритический) зависит от того, больше ли число Фруда единицы.

Хорошо видна линия «критического» потока в раковине на кухне или в ванной. Оставьте его отключенным и дайте крану запустить. Рядом с местом, где струя воды попадает в раковину, течение сверхкритическое. Он «обнимает» поверхность и быстро движется. На внешнем крае схемы течения течение является докритическим. Этот поток более густой и движется медленнее. Граница между двумя областями называется «гидравлическим прыжком». Скачок начинается там, где поток как раз критический и число Фруда равно 1.0.

Число Фруда использовалось для изучения тенденций в передвижении животных, чтобы лучше понять, почему животные используют разные модели походки. ^[11] а также для формирования гипотез о походках исчезнувших видов.^[12]

Смотрите также

• Скорость потока
• Сила тела
• Уравнение импульса Коши
• Уравнение Бюргерса
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Примечания

1. Merriam Webster Online (для брата Джеймс Энтони Фроуд ) [1]
2. Ши 2009, п. 7.
3. Белый 1999, п. 294.
4. Шансон 2009 С. 159–163.
5. Шансон 2004, п. xxvii.
6. Ши 2009.
7. Ньюман 1977, п. 28.
8. Такахаши 2007, п. 6.
9. «Смешивание порошков - конструкция смесителей для порошков - ленточный смеситель, лопастной смеситель, барабанный смеситель, число Фруда». Powderprocess.net. нет данных. Получено 31 мая 2019.
10. Воан и О'Мэлли 2005 С. 350–362.
11. Александр 1984.
12. Продавцы и укомплектование персоналом 2007.
13. Александр 1989.

использованная литература

• Александр, Р. МакН. (1984). «Походки двуногих и четвероногих животных». Международный журнал исследований робототехники. 3 (2): 49–59. Дои:10.1177/027836498400300205.
• Александр, RM (1989). «Оптимизация и походка в передвижении позвоночных». Физиологические обзоры. 69 (4): 1199–227. Дои:10.1152 / Physrev.1989.69.4.1199. PMID  2678167.
• Беланже, Жан Батист (1828). Essai sur la solution numerique de quelques issues relatifs au mouvement constant des eaux courantes [Очерк численного решения некоторых задач, связанных с устойчивым движением проточной воды.] (На французском). Париж: Карильский-Гёри.
• Шансон, Юбер (2004). Гидравлика потока в открытом канале: введение (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 650. ISBN  978-0-7506-5978-9.
• Шансон, Хуберт (2009). «Развитие уравнения Беланжера и уравнения подпора Жан-Батистом Беланже (1828 г.)» (PDF). Журнал гидротехники. 135 (3): 159–63. Дои:10.1061 / (ASCE) 0733-9429 (2009) 135: 3 (159).
• Ньюман, Джон Николас (1977). Морская гидродинамика. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  978-0-262-14026-3.
• Продавцы, Уильям Ирвин; Мэннинг, Филлип Ларс (2007). «Оценка максимальной скорости бега динозавров с помощью эволюционной робототехники». Труды Королевского общества B: биологические науки. 274 (1626): 2711–6. Дои:10.1098 / rspb.2007.0846. JSTOR  25249388. ЧВК  2279215. PMID  17711833.
• Ши, Ю.С. (Весна 2009 г.), "Глава 6 Несжимаемый невязкий поток" (PDF), Механика жидкости
• Такахаши, Тамоцу (2007). Селевой поток: механика, прогнозирование и меры противодействия. CRC Press. ISBN  978-0-203-94628-2.
• Vaughan, Christopher L .; О'Мэлли, Марк Дж. (2005). «Фруд и вклад морской архитектуры в наше понимание двуногого передвижения». Походка и поза. 21 (3): 350–62. Дои:10.1016 / j.gaitpost.2004.01.011. PMID  15760752.
• Уайт, Фрэнк М. (1999). Гидравлическая механика (4-е изд.). WCB / McGraw-Hill. ISBN  978-0-07-116848-9.

внешняя ссылка

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf