Сплит-шаговый метод - Split-step method

В числовой анализ, то разделенный шаг (Фурье) метод это псевдоспектральный численный метод решения нелинейных уравнения в частных производных словно нелинейное уравнение Шредингера. Название возникает по двум причинам. Во-первых, метод основан на вычислении решения с небольшими шагами и отдельном рассмотрении линейных и нелинейных шагов (см. Ниже). Во-вторых, необходимо преобразование Фурье вперед и назад, потому что линейный шаг выполняется в частотная область а нелинейный шаг делается в область времени.

Примером использования этого метода является область распространения световых импульсов в оптических волокнах, где взаимодействие линейных и нелинейных механизмов затрудняет поиск общих аналитических решений. Однако метод разделения шагов обеспечивает численное решение проблемы. Еще одно применение метода разделения шагов, которое набирает популярность с 2010-х годов, - это моделирование Гребенка частоты Керра динамика в оптические микрорезонаторы.^[1][2][3] Относительная простота реализации Уравнение Лугиато – Лефевера с разумной численной стоимостью, а также с его успехом в воспроизведении экспериментальных спектров, а также в предсказании солитон поведение в этих микрорезонаторах сделало метод очень популярным.

Описание метода

Рассмотрим, например, нелинейное уравнение Шредингера^[4]

${displaystyle {partial A over partial z}=-{ieta _{2} over 2}{partial ^{2}A over partial t^{2}}+igamma |A|^{2}A=[{hat {D}}+{hat {N}}]A,}$

куда ${displaystyle A(t,z)}$ описывает огибающую импульса во времени ${displaystyle t}$ в пространственном положении ${displaystyle z}$. Уравнение можно разбить на линейную часть,

${displaystyle {partial A_{D} over partial z}=-{ieta _{2} over 2}{partial ^{2}A over partial t^{2}}={hat {D}}A,}$

и нелинейная часть,

${displaystyle {partial A_{N} over partial z}=igamma |A|^{2}A={hat {N}}A.}$

И линейная, и нелинейная части имеют аналитические решения, но нелинейное уравнение Шредингера содержащий обе части, не имеет общего аналитического решения.

Однако если бы только «маленький» шаг ${displaystyle h}$ взят с собой ${displaystyle z}$, то эти две части можно рассматривать отдельно только с «небольшой» числовой ошибкой. Поэтому сначала можно сделать небольшой нелинейный шаг:

${displaystyle A_{N}(t,z+h)=exp left[igamma |A(t,z)|^{2}hight]A(t,z),}$

используя аналитическое решение. Обратите внимание, что этот анзац накладывает ${displaystyle |A(z)|^{2}=const.}$ и следовательно ${displaystyle gamma in mathbb {R} }$.

Этап диспергирования имеет аналитическое решение в частотная область, поэтому сначала необходимо преобразовать Фурье ${displaystyle A_{N}}$ с помощью

${displaystyle { ilde {A}}_{N}(omega ,z)=int _{-infty }^{infty }A_{N}(t,z)exp[i(omega -omega _{0})t]dt}$,

куда ${displaystyle omega _{0}}$ - центральная частота импульса. можно показать, что, используя приведенное выше определение преобразование Фурье, аналитическое решение линейного шага, коммутируемое с решением в частотной области для нелинейного шага, имеет вид

${displaystyle { ilde {A}}(omega ,z+h)=exp left[{ieta _{2} over 2}(omega -omega _{0})^{2}hight]{ ilde {A}}_{N}(omega ,z).}$

Взяв обратное преобразование Фурье из ${displaystyle { ilde {A}}(omega ,z+h)}$ можно получить ${displaystyle Aleft(t,z+hight)}$; Таким образом, импульс распространяется с небольшим шагом ${displaystyle h}$. Повторяя вышеизложенное ${displaystyle N}$ раз, импульс может распространяться на длину ${displaystyle Nh}$.

Выше показано, как использовать этот метод для распространения решения вперед в пространстве; однако многие приложения в физике, такие как изучение эволюции волнового пакета, описывающего частицу, требуют распространения решения вперед во времени, а не в пространстве. Нелинейное уравнение Шредингера, когда оно используется для управления эволюцией волновой функции во времени, принимает вид

${displaystyle ihbar {partial psi over partial t}=-{{hbar }^{2} over {2m}}{partial ^{2}psi over partial x^{2}}+gamma |psi |^{2}psi =[{hat {D}}+{hat {N}}]psi ,}$

куда ${displaystyle psi (x,t)}$ описывает волновую функцию в положении ${displaystyle x}$ и время ${displaystyle t}$. Обратите внимание, что

${displaystyle {hat {D}}=-{{hbar }^{2} over {2m}}{partial ^{2} over partial x^{2}}}$ и ${displaystyle {hat {N}}=gamma |psi |^{2}}$, и это ${displaystyle m}$ - масса частицы и ${displaystyle hbar }$ постоянная Планка над ${displaystyle 2pi }$.

Формальное решение этого уравнения представляет собой комплексную экспоненту, поэтому мы имеем

${displaystyle psi (x,t)=e^{-it({hat {D}}+{hat {N}})/hbar }psi (x,0)}$.

С ${displaystyle {hat {D}}}$ и ${displaystyle {hat {N}}}$ являются операторами, они, как правило, не коммутируют. Тем не менее, формула Бейкера-Хаусдорфа может быть применена, чтобы показать, что ошибка, связанная с обращением с ними так, как будто они это делают, будет иметь порядок. ${displaystyle dt^{2}}$ если мы делаем небольшой, но конечный временной шаг ${displaystyle dt}$. Поэтому мы можем написать

${displaystyle psi (x,t+dt)approx e^{-idt{hat {D}}/hbar }e^{-idt{hat {N}}/hbar }psi (x,t)}$.

Часть этого уравнения, включающая ${displaystyle {hat {N}}}$ можно вычислить непосредственно с использованием волновой функции во время ${displaystyle t}$, но для вычисления экспоненты с участием ${displaystyle {hat {D}}}$ мы используем тот факт, что в частотном пространстве оператор частной производной можно преобразовать в число, подставив ${displaystyle ik}$ за ${displaystyle partial over partial x}$, куда ${displaystyle k}$ - это частота (или, точнее, волновое число, поскольку мы имеем дело с пространственной переменной и, таким образом, преобразуемся в пространство пространственных частот, то есть волновых чисел), связанное с преобразованием Фурье того, над чем работают. Таким образом, мы берем преобразование Фурье

${displaystyle e^{-idt{hat {N}}/hbar }psi (x,t)}$,

восстановить соответствующее волновое число, вычислить количество

${displaystyle e^{idtk^{2}}}$,

и используйте его, чтобы найти произведение комплексных экспонент с участием ${displaystyle {hat {N}}}$ и ${displaystyle {hat {D}}}$ в частотном пространстве, как показано ниже:

${displaystyle e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{hat {N}}}psi (x,t)]}$,

куда ${displaystyle F}$ обозначает преобразование Фурье. Затем мы производим обратное преобразование Фурье этого выражения, чтобы найти окончательный результат в физическом пространстве, что дает окончательное выражение

${displaystyle psi (x,t+dt)=F^{-1}[e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{hat {N}}}psi (x,t)]]}$.

Разновидностью этого метода является симметризованный метод Фурье с разделенными шагами, который делает половину временного шага с использованием одного оператора, затем выполняет полный шаг только с другим, а затем снова выполняет второй половинный временной шаг только с первым. Этот метод является усовершенствованием универсального метода Фурье с разделением шагов, поскольку его ошибка порядка ${displaystyle dt^{3}}$ на временной шаг ${displaystyle dt}$. Преобразования Фурье этого алгоритм можно вычислить относительно быстро, используя быстрое преобразование Фурье (БПФ). Следовательно, метод Фурье с разделенными шагами может быть намного быстрее, чем обычно. методы конечных разностей.^[5]

Рекомендации

1. Эркинтало, Миро; Сильвестр, Тибо; Randle, Hamish G .; Коэн, Стефан (01.01.2013). «Моделирование частотных гребенок Керра с охватом октавы с использованием обобщенной модели Луджиато-Лефевера среднего поля». Письма об оптике. 38 (1): 37–39. arXiv:1211.1697. Bibcode:2013OptL ... 38 ... 37C. Дои:10.1364 / OL.38.000037. ISSN  1539-4794. PMID  23282830.
2. Малеки, Л .; Зайдель, Д .; Ильченко, В. С .; Liang, W .; Савченков, А. А .; Мацко, А. Б. (01.08.2011). «Частотные гребенки Керра с синхронизацией режима». Письма об оптике. 36 (15): 2845–2847. Bibcode:2011OptL ... 36.2845M. Дои:10.1364 / OL.36.002845. ISSN  1539-4794. PMID  21808332.
3. Ханссон, Тобиас; Вабниц, Стефан (2016). «Динамика генерации частотной гребенки микрорезонатора: модели и устойчивость» (PDF). Нанофотоника. 5 (2): 231–243. Bibcode:2016Nanop ... 5 ... 12H. Дои:10.1515 / nanoph-2016-0012. ISSN  2192-8606.
4. Агравал, Говинд П. (2001). Нелинейная волоконная оптика (3-е изд.). Сан-Диего, Калифорния, США: Academic Press. ISBN  0-12-045143-3.
5. Т. Р. Таха и М. Дж. Абловиц (1984). «Аналитические и численные аспекты некоторых нелинейных эволюционных уравнений. II. Численное нелинейное уравнение Шредингера». J. Comput. Phys. 55 (2): 203–230. Bibcode:1984JCoPh..55..203T. Дои:10.1016/0021-9991(84)90003-2.

Внешние ссылки

• Томас Э. Мерфи, программное обеспечение, http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
• Андрес А. Риезник, программное обеспечение, http://www.freeopticsproject.org
• Проф. Г. Агравал, программное обеспечение, http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid=software
• Томас Шрайбер, программное обеспечение, http://www.fiberdesk.com
• Эдвард Дж. Грейс, программное обеспечение, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016