Стереографическая проекция в картографии - Stereographic projection in cartography - Wikipedia

Стереографическая проекция мира к северу от 30 ° ю. Сетка 15 °.

Стереографическая проекция с Индикатриса Тиссо деформации.

В стереографическая проекция, также известный как проекция планисферы или азимутальная конформная проекция, это конформная картографическая проекция использование которых восходит к древности. Словно орфографическая проекция и гномоническая проекция, то стереографическая проекция является азимутальная проекция, а на сфере также перспективная проекция.

На эллипсоид, определение перспективы стереографической проекции не является конформным, и необходимо внести изменения, чтобы сохранить его азимутальные и конформные свойства. В универсальная полярная стереографическая система координат использует одну такую ​​эллипсоидальную реализацию.

История

Карта мира, составленная Румольдом Меркатором в 1587 году с использованием двух экваториальных аспектов стереографической проекции.

Стереографическая проекция, вероятно, была известна в полярном аспекте древние египтяне, хотя его изобретение часто приписывают Гиппарх, который был первым греком, который его использовал. Его наклонный аспект был использован греческим математиком. Теон Александрийский в четвертом веке, а его экваториальный аспект использовался арабским астрономом Аль-Заркали в одиннадцатом веке. Самое раннее письменное описание этого Птолемея. Planisphaerium, которая называет это «проекцией планисферы».

Стереографическая проекция использовалась исключительно для построения звездных карт до 1507 года, когда Вальтер Ладд из Сен-Дье, Лотарингия, создал первый известный пример стереографической проекции поверхности Земли. Его популярность в картографии возросла после Румольд Меркатор использовал его экваториальный аспект для своего атласа 1595 года.^[1] Впоследствии он часто использовался в течение семнадцатого века, а его экваториальный аспект использовался для карт Восточная и Западные полушария.^[2]

В 1695 г. Эдмонд Галлей, мотивированный его интересом к звездные карты, опубликовал первое математическое доказательство того, что эта карта конформный.^[3] Он использовал недавно созданные инструменты исчисление, изобретенный его другом Исаак Ньютон.

Формулы

Сферическую форму стереографической проекции обычно выражают в полярных координатах:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=2R\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\varphi }{2}}\right)\\\theta &=\lambda \end{aligned}}}$

где ${\displaystyle R}$ - радиус сферы, а ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \lambda }$ - широта и долгота соответственно.

В сфера обычно выбирается для моделирования Земли, когда протяженность нанесенного на карту региона превышает несколько сотен километров в длину в обоих измерениях. Для карт небольших регионов эллипсоидальная модель необходимо выбрать, если требуется большая точность.^[1]

Эллипсоидальная форма полярной эллипсоидальной проекции использует конформная широта. Существуют различные формы поперечных или наклонных стереографических проекций эллипсоидов. В одном методе используется двойная проекция через конформную сферу, а в других - нет.

Примеры поперечных или наклонных стереографических проекций включают в себя сплюснутую стереографическую проекцию Миллера.^[4] и Косая стереографическая проекция Roussilhe.^[2]

Свойства

Будучи азимутальной проекцией, стереографическая проекция точно отображает относительные направления всех большие круги проходя через его центральную точку. Как конформная проекция, она везде точно отображает углы. Кроме того, в сферической форме стереографическая проекция - единственная картографическая проекция, которая отображает все маленькие круги как круги.

Трехмерная иллюстрация геометрического построения стереографической проекции.

Сферическая форма стереографической проекции эквивалентна перспективной проекции, в которой точка перспективы находится на точке на земном шаре напротив центральной точки карты.

Поскольку выражение для ${\displaystyle r}$ расходится как ${\displaystyle \varphi }$ подходы ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$, стереографическая проекция бесконечно велика, и показать Южный полюс невозможно. Однако можно отображать точки произвольно близко к Южному полюсу, если границы карты расширены достаточно далеко.^[1]

Производные прогнозы

Параллели с Стереографическая проекция галла распределяются с тем же интервалом, что и на центральном меридиане поперечный стереографическая проекция.

В Проекция GS50 формируется путем отображения косой стереографическая проекция на комплексная плоскость а затем преобразовать точки на нем с помощью полинома десятого порядка.

Сравнение стереографической проекции и некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в одном масштабе, упорядоченном по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)

использованная литература

1. Снайдер, Джон П. 1987. «Картографические проекции - рабочее руководство». Профессиональная бумага. Геологическая служба США. 1395: 154-163. ISBN  0-226-76746-9.
2. Снайдер, Джон П. (1993). Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций с. ~ 169. Чикаго и Лондон: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-76746-9.
3. Тимоти Фиман. 2002. "Портреты Земли: Математик смотрит на карты". Американское математическое общество.
4. Спрински, Уильям Х .; Снайдер, Джон П. (1986). "Стереографическая проекция Миллера для Африки, Европы, Азии и Австралии". Американский картограф. 13 (3): 253–261. Дои:10.1559/152304086783899908.