Категория волокон - Fibred category

Волокнистые категории (или же слоистые категории) являются абстрактными объектами в математика используется для обеспечения общей основы для теория происхождения. Они формализуют различные ситуации в геометрия и алгебра в котором обратные изображения (или же откаты) таких объектов, как векторные пакеты можно определить. Например, для каждого топологического пространства существует категория векторных расслоений на пространстве, и для каждого непрерывная карта из топологического пространства Икс в другое топологическое пространство Y связан с откат функтор брать связки на Y связать на Икс. Волокнистые категории формализуют систему, состоящую из этих категорий и функторов обратного образа. Подобные установки появляются в различных формах в математике, в частности в алгебраическая геометрия - контекст, в котором изначально появились расслоенные категории. Волокнистые категории используются для определения стеки, которые являются расслоенными категориями (по сайту) с «спуском». Фибрации также играют важную роль в категориальной семантике теория типов, и в частности зависимый тип теории.

Категории волокон были введены Александр Гротендик  (1959, 1971 ), более подробно разработанная Жан Жиро  (1964, 1971 ).

Предпосылки и мотивация

Есть много примеров в топология и геометрия где считается, что существуют некоторые типы объектов на или же над или же над некоторые основные базовое пространство. Классические примеры включают векторные расслоения, основные связки, и снопы над топологическими пространствами. Другой пример - "семьи" алгебраические многообразия параметризован другой разновидностью. Типичным для этих ситуаций является то, что для подходящего типа карта ж: Икс → Y между базовыми пространствами имеется соответствующий обратное изображение (также называемый отступление) операция ж^* принимая рассматриваемые объекты, определенные на Y к однотипным объектам на Икс. Это действительно так в приведенных выше примерах: например, прообраз векторного расслоения E на Y это векторное расслоение ж^*(E) на Икс.

Более того, часто бывает так, что рассматриваемые «объекты на базовом пространстве» образуют категорию или, другими словами, имеют карты (морфизмы ) между ними. В таких случаях операция обратного изображения часто совместима с компоновкой этих карт между объектами, или, говоря более технически, является функтор. Опять же, это относится к примерам, перечисленным выше.

Однако часто бывает так, что если грамм: Y → Z это другая карта, функторы обратного изображения не строго совместим с составными картами: если z это объект над Z (например, векторное расслоение), вполне может быть, что

${\displaystyle f^{*}(g^{*}(z))\neq (g\circ f)^{*}(z).}$

Вместо этого эти инверсные изображения только естественно изоморфный. Это введение некоторой «слабости» в систему обратных образов вызывает некоторые деликатные проблемы, и именно эту установку формализует волокнистые категории.

Основное применение расслоенных категорий в теория происхождения, связанная с обширным обобщением методов «склейки», используемых в топологии. Чтобы поддержать теорию спуска достаточной общности для применения в нетривиальных ситуациях в алгебраической геометрии, определение расслоенных категорий является довольно общим и абстрактным. Однако основная интуиция довольно проста, если иметь в виду основные примеры, обсужденные выше.

Формальные определения

Существует два по существу эквивалентных технических определения категорий волокон, оба из которых будут описаны ниже. Все обсуждения в этом разделе игнорируют теоретико-множественный вопросы, относящиеся к «большим» категориям. Обсуждение можно сделать полностью строгим, например, ограничив внимание небольшими категориями или используя вселенные.

Декартовы морфизмы и функторы

Если φ: F → E это функтор между двумя категории и S является объектом E, то подкатегория из F состоящий из этих объектов Икс для которого φ (Икс)=S и эти морфизмы м удовлетворяющий φ (м) = id_S, называется категория волокна (или же волокно) над S, и обозначается F_S. Морфизмы F_S называются S-морфизмы, и для Икс,у объекты F_S, набор S-морфизмы обозначаются Hom_S(Икс,у). Изображение по φ объекта или морфизма в F называется его проекция (по φ). Если f - морфизм E, то эти морфизмы F этот проект ж называются f-морфизмы, а набор ж-морфизмы между объектами Икс и у в F обозначается Hom_ж(Икс,у).

Морфизм м: Икс → у в F называется φ-декартова (или просто декартов), если он удовлетворяет следующему условию:

если ж: Т → S это проекция м, а если n: z → у является ж-морфизм, то есть ровно один Т-морфизм а: z → Икс такой, что п = м ∘ а.

А декартовский морфизм м: Икс → у называется обратное изображение его проекции ж = φ (м); предмет Икс называется обратное изображение из у автор: f.

Декартовы морфизмы расслоенной категории F_S в точности изоморфизмы F_S. В общем, может быть более одного декартова морфизма, проецируемого на данный морфизм. ж: Т → S, возможно, имеющие разные источники; таким образом, может быть более одного инверсного изображения данного объекта у в F_S к ж. Однако это прямое следствие определения, что два таких прообраза изоморфны в F_Т.

Функтор φ: F → E также называется E-категория, или сказал сделать F в E-категория или категория над E. An E-функтор из E-категория φ: F → E для E-категория ψ: грамм → E - функтор α: F → грамм такое, что ψ ∘ α = φ. E-категории естественным образом образуют 2 категории, причем 1-морфизмы E-функторы и 2-морфизмы, являющиеся естественными преобразованиями между E-функторы, компоненты которых лежат в некотором волокне.

An E-функтор между двумя E-категории называется декартов функтор если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. Декартовы функторы между двумя E-категории F,грамм сформировать категорию Корзина_E(F,грамм), с естественные преобразования как морфизмы. Особый случай предоставляется при рассмотрении E как E-категории через функтор тождества: тогда декартов функтор из E для E-категория F называется декартово сечение. Таким образом, декартово сечение состоит из выбора одного объекта. Икс_S в F_S для каждого объекта S в E, и для каждого морфизма ж: Т → S выбор прообраза м_ж: Икс_Т → Икс_S. Таким образом, декартово сечение является (строго) совместимой системой инверсий над объектами E. Категория декартовых сечений F обозначается

${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).}$

В важном случае, когда E имеет конечный объект е (в частности, когда E это топос или категория E_{/ S} из стрелки с целью S в E) функтор

${\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

является полностью верный (Лемма 5.7 Жиро (1964)).

Волокнистые категории и раздельные категории

Технически наиболее гибкое и экономичное определение расслоенных категорий основано на концепции декартовых морфизмов. Это эквивалентно определению в терминах расщепления, причем последнее определение фактически является оригинальным, представленным у Гротендика (1959); определение в терминах декартовых морфизмов было введено Гротендиком (1971) в 1960–1961 гг.

An E категория φ: F → E это волокнистая категория (или волокнистая E-категория, или категория, расслоенная над E) если каждый морфизм ж из E codomain которого находится в диапазоне проекции, имеет хотя бы одно инверсное изображение, и, кроме того, композиция м ∘ н любых двух декартовых морфизмов м,п в F всегда декартово. Другими словами, E-категория является расслоенной категорией, если прообразы всегда существуют (для морфизмов, кодомены которых находятся в диапазоне проекции) и являются переходный.

Если E имеет конечный объект е и если F расслоен над E, то функтор ε от декартовых сечений к F_е определенное в конце предыдущего раздела, является эквивалентность категорий и более того сюръективный на объектах.

Если F расслоен E-категория, всегда возможно, для каждого морфизма ж: Т → S в E и каждый объект у в F_S, чтобы выбрать (используя аксиома выбора ) ровно один прообраз м: Икс → у. Выбранный таким образом класс морфизмов называется расщепление и выбранные морфизмы называются транспортные морфизмы (декольте). Волокнистая категория вместе с расщеплением называется разделенная категория. Спайность называется нормализованный если транспортные морфизмы включают все тождества из F; это означает, что прообразы тождественных морфизмов выбираются как тождественные морфизмы. Очевидно, если расщепление существует, его можно выбрать для нормализации; ниже мы будем рассматривать только нормированные сколы.

Выбор (нормализованного) расщепления для волокнистой E-категория F указывает, для каждого морфизма ж: Т → S в E, а функтор ж^*: F_S → F_Т: на объектах ж^* является просто прообразом соответствующего транспортного морфизма, а на морфизмах он естественным образом определяется определяющим универсальным свойством декартовых морфизмов. Операция, которая ассоциируется с объектом S из E категория волокна F_S и к морфизму ж в функтор обратного изображения ж^* является почти контравариантный функтор из E в категорию категорий. Однако в целом он не коммутирует строго с композицией морфизмов. Вместо этого, если ж: Т → S и грамм: U → Т морфизмы в E, то существует изоморфизм функторов

${\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.}$

Эти изоморфизмы удовлетворяют следующим двум совместимости:

1. ${\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}}$
2. для трех последовательных морфизмов ${\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S}$ и объект ${\displaystyle x\in F_{S}}$ имеет место следующее: ${\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).}$

Можно показать (см. Grothendieck (1971), раздел 8), что, наоборот, любой набор функторов ж^*: F_S → F_Т вместе с изоморфизмами c_{f, g} удовлетворяющий указанным выше совместимости, определяет разделенную категорию. Эти коллекции функторов обратного изображения обеспечивают более интуитивное представление о слоистых категориях; и действительно, именно в терминах таких совместимых функторов обратного образа расслоенные категории были введены Гротендиком (1959).

В упомянутой ниже статье Грея проводится аналогия между этими идеями и понятием расслоение пространств.

Эти идеи упрощаются в случае группоиды, как показано в статье Брауна, упомянутой ниже, которая получает полезное семейство точных последовательностей из расслоения группоидов.

Расщепления и разбиение на расслоенные категории

(Нормализованное) расщепление, при котором композиция двух транспортных морфизмов всегда является транспортным морфизмом, называется расщепление, а расслоенная категория с расщеплением называется расколоть (волокнистый) категория. В терминах функторов прообраза условие расщепления означает, что композиция функторов прообраза, соответствующих составным морфизмам f, g в E равно функтор прообраза, соответствующий f ∘ g. Другими словами, изоморфизмы совместимости c_{f, g} в предыдущем разделе - это идентичности для разделенной категории. Таким образом раскол E-категории в точности соответствуют истинным функторам из E в категорию категорий.

В отличие от расщеплений, не все категории волокон допускают расщепления. Для примера см. ниже.

Ко-декартовы морфизмы и ко-расслоенные категории

Можно изменить направление стрелок в определениях выше, чтобы прийти к соответствующим концепциям совместных декартовых морфизмов, совместно расслоенных категорий и разделенных совместно-расслоенных категорий (или совместно-разделенных категорий). Точнее, если φ: F →E является функтором, то морфизм м: Икс → у в F называется совместный декартов если это декартово для противоположный функтор φ^op: F^op → E^op. потом м также называется прямое изображение и у прямое изображение Икс за ж = φ (м). А совместное волокно E-категория - этоE-категория такая, что прямой образ существует для каждого морфизма в E и что композиция прямых образов - это прямое изображение. А совместное расщепление и совместное расщепление определяются аналогично, соответствующие функторы прямого изображения вместо функторов обратного образа.

Характеристики

Две категории расслоенных категорий и расщепленные категории

Категории расслоены над фиксированной категорией E образуют 2 категории Фибоначчи(E), где категория морфизмов между двумя расслоенными категориями F и грамм определяется как категория Корзина_E(F,грамм) декартовых функторов из F к грамм.

Аналогично разделение категорий на E образуют 2 категории Scin(E) (с французского catégorie scindée), где категория морфизмов между двумя расщепленными категориями F и грамм это полная подкатегория Scin_E(F,грамм) из E-функторы из F к грамм состоящий из тех функторов, которые преобразуют каждый транспортный морфизм F в транспортный морфизм грамм. Каждый такой морфизм разделенных E-категорий также является морфизмом E-волокнистые категории, то есть Scin_E(F,грамм) ⊂ Cart_E(F,грамм).

Есть естественный забывчивый 2-функтор я: Scin(E) → Фибоначчи(E), который просто забывает о расщеплении.

Существование эквивалентных разделенных категорий

Хотя не все расслоенные категории допускают расщепление, каждая расслоенная категория на самом деле эквивалент в разделенную категорию. Действительно, есть два канонических способа построить эквивалентную расщепляемую категорию для данной расслоенной категории. F над E. Точнее, забывчивый 2-функтор я: Scin(E) → Фибоначчи(E) допускает правую 2-сопряженную S и левый 2-сопряженный L (Теоремы 2.4.2 и 2.4.4 Жиро 1971 г.) и S(F) и L(F) - две связанные категории разделения. Функторы присоединения S(F) → F и F → L(F) являются декартовыми и эквивалентными (там же.). Однако пока их состав S(F) → L(F) является эквивалентностью (категорий, да и расслоенных категорий), это нет в общем морфизм разделенных категорий. Таким образом, эти две конструкции в целом различаются. Две предыдущие конструкции разделенных категорий критически используются при построении куча связанный с расслоенной категорией (и, в частности, стек, связанный с перед суммированием ).

Категории расслоенные в группоиды

С расслоенными категориями есть связанная конструкция, называемая категориями расслоенными в группоидах. Это расслоенные категории ${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}$ такая, что любая подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ данный

1. Исправить объект ${\displaystyle c\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$
2. Объектами подкатегории являются ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$ куда ${\displaystyle p(x)=c}$
3. Стрелки обозначены ${\displaystyle f:x\to y}$ такой, что ${\displaystyle p(f)={\text{id}}_{c}}$

группоид обозначается ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$. Ассоциированные 2-функторы из конструкции Гротендика являются примерами стеки. Короче говоря, ассоциированный функтор ${\displaystyle F_{p}:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$ отправляет объект ${\displaystyle c}$ в категорию ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$, и морфизм ${\displaystyle d\to c}$ индуцирует функтор из расслоенной структуры категории. А именно для объекта ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}}_{c})}$ рассматривается как объект ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, есть объект ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$ куда ${\displaystyle p(y)=d}$. Эта ассоциация дает функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}\to {\mathcal {F}}_{d}}$ который является функтором группоидов.

Примеры

Волокнистые категории

1. Функтор Обь : Кот→Наборотправка категории своему набору объектов является расслоением. Для набора S, волокно состоит из категорий C с Ob (C) = S. Декартовы стрелки являются полностью точными функторами.
2. Категории стрел: Для любой категории E в категория стрел А (E) в E имеет в качестве объектов морфизмы в E, а как морфизмы коммутативные квадраты в E (точнее, морфизм из (ж: Икс → Т) к (грамм: Y → S) состоит из морфизмов (а: Икс → Y) и (б: Т → S) такие, что bf = ga). Функтор, который направляет стрелку к своей цели, делает A (E) в E-категория; для объекта S из E волокно E_S это категория E_{/ S} из S-объекты в E, т.е. стрелки в E с целью S. Декартовы морфизмы в A (E) в точности декартовы квадраты в E, а значит, A (E) расслоено над E именно когда продукты из волокна существовать в E.
3. Пучки волокон: Продукция из волокна существует в категории Вершина из топологические пространства и, таким образом, в предыдущем примере A (Вершина) расслоено над Вершина. Если Фибоначчи - полная подкатегория в A (Вершина), состоящий из стрелок, являющихся отображениями проекций пучки волокон, тогда Фибоначчи_S - категория расслоений на S и Фибоначчи расслоен над Вершина. Выбор скола сводится к выбору обычного прообраза (или отступление) функторы для расслоений.
4. Векторные пучки: Как и в предыдущих примерах, проекции (п: V → S) реальных (сложных) векторные пакеты к их базовым пространствам образуют категорию Vect_р (Vect_C) над Вершина (морфизмы векторных расслоений относительно векторное пространство структура волокон). Этот Вершина-категория также расслоена, а функторы прообраза являются обычными отступление функторы для векторных расслоений. Эти расслоенные категории являются (неполными) подкатегориями Фибоначчи.
5. Пучки на топологических пространствах: Функторы обратного изображения снопы сделать категории Ш (S) пучков на топологических пространствах S в (расщепленную) категорию волокон Ш над Вершина. Эта расслоенная категория может быть описана как полная подкатегория A (Вершина) состоящий из этале пространства связок. Как и в случае векторных расслоений, пучки группы и кольца также образуют расслоенные категории Вершина.
6. Снопы на топоях: Если E это топос и S это объект в E, категория E_S из S-объекты - это тоже топос, интерпретируемый как категория пучков на S. Если ж: Т → S это морфизм в E, функтор обратного изображения ж^* можно описать так: для связки F на E_S и объект п: U → Т в E_Т надо ж^*F(U) = Hom_Т(U, ж^*F) равно Hom_S(f ∘ p, F) = F(U). Эти перевернутые изображения делают категории E_S в расколоть волокнистая категория на E. В частности, это может относиться к «большим» топосам. ВЕРХ топологических пространств.
7. Квазикогерентные пучки на схемах.: Квазикогерентные пучки образуют расслоенную категорию над категорией схемы. Это один из мотивирующих примеров для определения расслоенных категорий.
8. Волокнистая категория, не допускающая разделения: Группа грамм можно рассматривать как категорию с одним объектом и элементами грамм как морфизмы, композиция морфизмов задается групповым законом. Группа гомоморфизм ж: грамм → ЧАС можно тогда рассматривать как функтор, который делает грамм в ЧАС-категория. Можно проверить, что в этой установке все морфизмы в грамм декартовы; следовательно грамм расслоен над ЧАС именно когда ж сюръективно. Расщепление в этой схеме является (теоретико-множественным) раздел из ж который строго соответствует композиции, или, другими словами, разделу ж который также является гомоморфизмом. Но, как известно в теория групп, это не всегда возможно (можно взять проекцию в неделимой расширение группы ).
9. Совместно-расслоенная категория пучков: The прямое изображение Функтор пучков превращает категории пучков на топологических пространствах в ко-расслоенную категорию. Транзитивность прямого изображения показывает, что оно даже естественно совместно расщепляется.

Категория расслоенные в группоидах

Один из основных примеров расслоенных на группоиды категорий происходит от группоидные объекты внутри категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Итак, учитывая группоидный объект

${\displaystyle x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y}$

есть связанный объект группоида

${\displaystyle h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}}$

в категории контравариантных функторов ${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})}$ от Йонеда вложение. Поскольку эта диаграмма применяется к объекту ${\displaystyle z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$ дает группоид внутри множеств

${\displaystyle h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)}$

есть связанный небольшой группоид ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$. Это дает контравариантный 2-функтор ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$, и используя Строительство Гротендика, это дает категорию, расслоенную на группоиды над ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Обратите внимание, что категория волокон над объектом - это просто связанный группоид из исходного группоида в наборах.

Групповой фактор

Учитывая объект группы ${\displaystyle G}$ воздействуя на объект ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle a:G\to {\text{Aut}}(X)}$, есть связанный объект группоида

${\displaystyle G\times X{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}{}X}$

куда ${\displaystyle s:G\times X\to X}$ это проекция на ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle t:G\times X\to X}$ составная карта ${\displaystyle G\times X\xrightarrow {\left(a,{\text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X}$. Этот группоид дает индуцированную категорию, расслоенную на группоиды, обозначаемую ${\displaystyle p:[X/G]\to {\mathcal {C}}}$.

Смотрите также

• Строительство Гротендика
• Стек (математика)
• Критерий Артина

Рекомендации

• Жиро, Жан (1964). "Méthode de la descente". Mémoires de la Société Mathématique de France. 2: viii + 150.

• Жиро, Жан (1971). «Cohomologie non abélienne». Springer. ISBN  3-540-05307-7.
• Гротендик, Александр (1959). "Technique de descente et teorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats". Séminaire Bourbaki. 5 (Exposé 190): viii + 150.
• Грей, Джон У. (1966). «Категории волоконно-волокнистых». Proc. Конф. Категориальная алгебра (Ла Хойя, Калифорния, 1965). Springer Verlag. С. 21–83.
• Браун Р., "Расслоения группоидов", J. Algebra 15 (1970) 103–132.
• Гротендик, Александр (1971). "Catégories fibrées et descente". Обновления étales et groupe fondamental. Springer Verlag. С. 145–194. arXiv:математика / 0206203. Bibcode:2002математика ...... 6203G.
• Бенабу, Жан (1985). «Волокнистые категории и основы наивной теории категорий». Журнал символической логики. 50 (1): 10–37. Дои:10.2307/2273784. JSTOR  2273784.
• Джейкобс, Барт (1999). Категориальная логика и теория типов. Исследования по логике и основам математики 141. Северная Голландия, Эльзевир. ISBN  0-444-50170-3.

• Анджело Вистоли, Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска, arXiv: math.AG/0412512.
• Fibred Categories à la Bénabou, Томас Штрайхер
• Введение в расслоения, теорию топосов, эффективные топосы и скромные множества, Уэсли Фоа
• Р. Браун и Р. Сивера, «Вычисление алгебраических копределов в теории гомотопий с использованием расслоенных и косоволоконных категорий», Теория и приложения категорий, 22 (2009) 222–251.
• Р. Браун, П. Дж. Хиггинс, Р. Сивера, "Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические омега-группоиды", Европейское математическое общество, трактаты по математике, Vol. 15, ISBN  978-3-03719-083-8. [1].

внешняя ссылка

• SGA 1.VI - Волокнистые категории и происхождение - страницы 119-153
• Расслоение Гротендика в nLab