Сложная квадратная карта - Complex squaring map

В математике сложная квадратная карта, а многочлен отображение степень два, представляет собой простую и доступную демонстрацию хаос в динамических системах. Его можно построить, выполнив следующие действия:

1. Выбери любой комплексное число на единичный круг чья аргумент (комплексный угол) не является рациональной долей π,
2. Неоднократно возведите это число в квадрат.

Это повторение (итерация) дает последовательность комплексных чисел, которые можно описать только их комплексным углом. Любой выбор начального угла, который удовлетворяет (1) выше, приведет к чрезвычайно сложной последовательности углов, что противоречит простоте шагов. Можно показать, что последовательность будет хаотичный, т.е. чувствительна к детальному выбору начального угла.

Хаос и сложная квадратная карта

Неформальная причина, по которой итерация является хаотичной, заключается в том, что угол удваивается на каждой итерации, а удвоение растет очень быстро по мере того, как угол становится все больше, но углы различаются кратно 2π (радианы ) идентичны. Таким образом, когда угол превышает 2π, он должен заворачивать к остатку от деления на 2π. Следовательно, угол преобразуется в соответствии с диадическая трансформация (также известная как карта 2x mod 1). В качестве начального значения z₀ был выбран так, что его аргумент не является рациональным кратным π, прямая орбита из z_п не может повторяться и становиться периодическим.

Более формально итерацию можно записать как:

${\displaystyle \qquad z_{n+1}=z_{n}^{2}}$

где ${\displaystyle z_{n}}$ - результирующая последовательность комплексных чисел, полученная повторением описанных выше шагов, и ${\displaystyle z_{0}}$ представляет собой начальное начальное число. Мы можем решить эту итерацию точно:

${\displaystyle \qquad z_{n}=z_{0}^{2^{n}}}$

Начиная с угла θ, мы можем записать начальный член как ${\displaystyle z_{0}=\exp(i\theta )}$ так что ${\displaystyle z_{n}=\exp(i2^{n}\theta )}$. Это делает очевидным последовательное удвоение угла. (Это эквивалентно соотношению ${\displaystyle z_{n}=\cos(2^{n}\theta )+i\sin(2^{n}\theta )}$.)

Обобщения

Эта карта - частный случай комплексное квадратичное отображение, который имеет точные решения для многих частных случаев.^[1] Сложная карта, полученная возведением предыдущего числа в любую степень натурального числа ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{p}}$ также точно решается как ${\displaystyle z_{n}=z_{0}^{p^{n}}}$. В этом случае п = 2, динамика может быть отображена в диадическое преобразование, как описано выше, но для п > 2, получаем отображение сдвига в база чисел  п. Например, п = 10 - карта десятичного сдвига.

Смотрите также

• Логистическая карта
• Диадическая трансформация

использованная литература

1. М. Литтл, Д. Хиш (2004), Хаотическое нахождение корней для небольшого класса многочленов, Журнал разностных уравнений и приложений, 10(11):949–953.