Симплектическая геометрия - Symplectic geometry

Фазовый портрет из Генератор Ван дер Поля, одномерная система. Фазовое пространство был первоначальным объектом изучения симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия это филиал дифференциальная геометрия и дифференциальная топология что изучает симплектические многообразия; то есть, дифференцируемые многообразия оснащен закрыто, невырожденный 2-форма. Симплектическая геометрия берет свое начало в Гамильтонова формулировка из классическая механика где фазовое пространство некоторых классических систем принимает структуру симплектического многообразия.^[1]

Вступление

Симплектическая геометрия определяется на гладком четномерном пространстве, которое является дифференцируемое многообразие. На этом пространстве определяется геометрический объект, симплектическая форма, что позволяет измерять размеры двумерных объектов в Космос. Симплектическая форма в симплектической геометрии играет роль, аналогичную роли метрический тензор в Риманова геометрия. Если метрический тензор измеряет длину и углы, симплектическая форма измеряет ориентированные области.^[2]

Симплектическая геометрия возникла в результате изучения классическая механика и примером симплектической структуры является движение объекта в одном измерении. Чтобы указать траекторию объекта, требуется как позиция q и импульс п, образующие точку (п,q) в евклидовой плоскости ℝ². В этом случае симплектическая форма имеет вид

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

и представляет собой форму площади, которая измеряет площадь А региона S в плоскости за счет интеграции:

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

Эта область важна, потому что, поскольку консервативные динамические системы развиваются во времени, эта область остается неизменной.^[2]

Аналогично определяются многомерные симплектические геометрии. А 2п-мерная симплектическая геометрия состоит из пар направлений

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

в 2п-мерное многообразие вместе с симплектической формой

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Эта симплектическая форма дает размер 2п-размерный регион V в пространстве как сумма площадей проекций V на каждую из плоскостей, образованных парами направлений^[2]

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Сравнение с римановой геометрией

Симплектическая геометрия имеет ряд сходств и отличий от Риманова геометрия, который является исследованием дифференцируемые многообразия снабжены невырожденными симметричными 2-тензорами (называемыми метрические тензоры ). В отличие от риманова случая симплектические многообразия не имеют локальных инвариантов типа кривизна. Это следствие Теорема Дарбу который утверждает, что окрестность любой точки 2п-мерное симплектическое многообразие изоморфно стандартной симплектической структуре на открытом множестве^2п. Еще одно отличие от римановой геометрии состоит в том, что не каждое дифференцируемое многообразие должно допускать симплектическую форму; есть определенные топологические ограничения. Например, всякое симплектическое многообразие четномерно и ориентируемый. Кроме того, если M - замкнутое симплектическое многообразие, то 2-е когомологии де Рама группа ЧАС²(M) нетривиально; это означает, например, что единственный п-сфера допускающей симплектическую форму, является 2-сфера. Параллель, которую можно провести между двумя предметами, - это аналогия между геодезические в римановой геометрии и псевдоголоморфные кривые в симплектической геометрии: геодезические - это кривые наименьшей длины (локально), а псевдоголоморфные кривые - это поверхности минимальной площади. Обе концепции играют фундаментальную роль в своих дисциплинах.

Примеры и конструкции

Каждый Кэлерово многообразие также является симплектическим многообразием. Еще в 1970-х годах эксперты по симплектике не были уверены, существуют ли какие-либо компактные некелеровы симплектические многообразия, но с тех пор было построено много примеров (первый был связан с Уильям Терстон ); особенно, Роберт Гомпф показал, что каждый конечно представленная группа происходит как фундаментальная группа некоторого симплектического 4-многообразия, что резко контрастирует с кэлеровым случаем.

Можно сказать, что большинство симплектических многообразий не кэлеровы; и поэтому не имеют интегрируемого сложная структура совместим с симплектической формой. Михаил Громов, однако, сделал важное наблюдение, что симплектические многообразия действительно допускают множество совместимых почти сложные конструкции, так что они удовлетворяют всем аксиомам кэлерова многообразия Кроме требование, чтобы карты переходов быть голоморфный.

Громов использовал существование почти комплексных структур на симплектических многообразиях для развития теории псевдоголоморфные кривые, что привело к ряду улучшений в симплектическая топология, включая класс симплектических инвариантов, теперь известный как Инварианты Громова – Виттена.. Эти инварианты также играют ключевую роль в теория струн.

Имя

Название «сложная группа», которое я раньше пропагандировал как намек на линейные комплексы, поскольку они определяются исчезновением антисимметричных билинейных форм, становится все более и более затруднительным из-за столкновения со словом «комплекс» в значении комплексного числа. Поэтому я предлагаю заменить его соответствующим греческим прилагательным «симплектический». Диксон назвал группу «абелевой линейной группой» в честь Абеля, который первым ее изучил.

Вейль (1939, п. 165)

Симплектическая геометрия также называется симплектическая топология хотя последнее действительно является подполем, связанным с важными глобальными вопросами симплектической геометрии.

Термин «симплектический», введенный Вейль (1939, сноска, стр.165), является калька из «сложного»; Ранее "симплектическая группа" называлась "линейной комплексной группой". "Комплекс" происходит от латинского комплекс, что означает «сплетенные вместе» (co- + plexus), а симплектический происходит от соответствующего греческого сим-плектико (συμπλεκτικός); в обоих случаях стебель происходит от индоевропейского корня * плек-.^[3] Название отражает глубокую связь между сложными и симплектическими структурами.

Смотрите также

• Контактная геометрия
• Гамильтонова механика
• Геометрическая механика
• Карта моментов
• Геометрия Пуассона
• Симплектическое расслоение кадров
• Симплектическая интеграция
• Симплектическое многообразие

Примечания

1. Хартнетт, Кевин (9 февраля 2017 г.). «Борьба за исправление основ геометрии». Журнал Quanta.
2. Макдафф, Дуса (2010), "Что такое симплектическая геометрия?" (PDF), в Хоббсе, Кэтрин; Пайча, Сильви (ред.), Европейские женщины в математике - Материалы 13-го Общего собрания, World Scientific, стр. 33–51, ISBN  9789814277686, получено 5 октября 2014
3. Симплектизация науки, Марк Дж. Готей и Джеймс А. Изенберг, стр. 13.

Рекомендации

• Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики. Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN  978-0-8053-0102-1.
• Арнольд В. И. (1986). "Первые шаги симплектической топологии" [Первые шаги в симплектической топологии]. Успехи математических наук (на русском). 41 (6(252)): 3–18. Дои:10.1070 / RM1986v041n06ABEH004221. ISSN  0036-0279 - через Российские математические обзоры, 1986, 41:6, 1-21.
• Макдафф, Дуса; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-850451-1.
• Фоменко, А. Т. (1995). Симплектическая геометрия (2-е изд.). Гордон и Брич. ISBN  978-2-88124-901-3. (Введение на уровне бакалавриата.)
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN  978-3-7643-7574-4.
• Вайнштейн, Алан (1981). «Симплектическая геометрия» (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 5 (1): 1–13. Дои:10.1090 / s0273-0979-1981-14911-9.
• Вейль, Германн (1939). Классические группы. Их инварианты и представления. Перепечатано Princeton University Press (1997). ISBN  0-691-05756-7. МИСТЕР0000255.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Симплектическая геометрия в Wikimedia Commons
• «Симплектическая структура», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]