Диаграмма Венна - Venn diagram

Диаграмма Венна, показывающая заглавные буквы глифы разделяемый Греческий, латинский, и Кириллица алфавиты

А Диаграмма Венна, также называемый первичная диаграмма, установить диаграмму или же логическая схема, это диаграмма это показывает все возможный логичный отношения между конечным набором различных наборы. На этих диаграммах изображены элементы как точки на плоскости, и наборы как области внутри замкнутых кривых. Диаграмма Венна состоит из нескольких перекрывающихся замкнутых кривых, обычно кругов, каждая из которых представляет собой набор. Точки внутри кривой помечены S представляют собой элементы множества S, а точки за пределами границы представляют элементы, не входящие в набор S. Это поддается интуитивной визуализации; например, набор всех элементов, которые являются членами обоих наборов S и Т, обозначенный S ∩ Т и прочтите "пересечение S и Т", визуально представляет собой область перекрытия регионов. S и Т.^[1][2] На диаграммах Венна кривые всячески перекрываются, показывая все возможные отношения между множествами. Таким образом, они являются частным случаем Диаграммы Эйлера, которые не обязательно отображают все отношения. Диаграммы Венна были созданы около 1880 г. Джон Венн. Их используют для обучения элементарным теория множеств, а также проиллюстрировать простые отношения множества в вероятность, логика, статистика, лингвистика, и Информатика.

Диаграмма Венна, на которой площадь каждой формы пропорциональна количеству содержащихся в ней элементов, называется диаграммой. пропорциональный площади (или же масштабированная диаграмма Венна).

Пример

Наборы A (существа с двумя ногами) и B (существа, которые могут летать)

В этом примере используются два наборы, A и B, представленные здесь в виде цветных кружков. Оранжевый кружок, набор A, представляет все типы живого существа, которое является двуногим. Синий круг, набор B, представляет живые существа, которые могут летать. Каждый отдельный тип существ можно представить как точку где-нибудь на диаграмме. Живые существа, которые умеют летать и у них две ноги - например, попугаи - тогда в обоих наборах, поэтому они соответствуют точкам в области, где синие и оранжевые круги перекрываются. Эта перекрывающаяся область будет содержать только те элементы (в этом примере, существа), которые являются членами как набора A (двуногие существа), так и набора B (летающие существа).

Люди и пингвины двуногие, и поэтому они находятся в оранжевом круге, но поскольку они не могут летать, они появляются в левой части оранжевого круга, где он не перекрывается с синим кругом. У комаров шесть ног и они летают, поэтому точка комаров находится в той части синего круга, которая не пересекается с оранжевым. Существа, которые не являются двуногими и не могут летать (например, киты и пауки), будут представлены точками за пределами обоих кругов.

Объединенная область множеств A и B называется союз элементов A и B, обозначаемых А ∪ Б.^[1][3] Союз в этом случае включает всех живых существ, которые либо двуногие, либо могут летать (или оба).

Область, включенная как в A, так и в B, где эти два набора перекрываются, называется пересечение элементов A и B, обозначаемых А ∩ Б.^[1][3] В этом примере пересечение двух множеств не пусто, потому что там находятся точки, обозначающие существ, находящихся в обе оранжевые и синие круги.

История

Витраж окно с диаграммой Венна в Колледж Гонвилля и Кая, Кембридж

Диаграммы Венна были введены в 1880 г. Джон Венн в статье «О схематическом и механическом представлении предложений и рассуждений» в Философский журнал и Научный журнал, о различных способах представления предложения диаграммами.^[4][5][6] Использование этих типов диаграммы в формальная логика, в соответствии с Фрэнк Руски и Марка Уэстона, «нелегко проследить историю, но несомненно, что диаграммы, которые обычно ассоциируются с Венном, на самом деле возникли намного раньше. Однако они справедливо связаны с Венном, потому что он всесторонне исследовал и формализовал их использования, и был первым, кто их обобщил ».^[7]

Сам Венн не использовал термин «диаграмма Венна» и называл свое изобретение «Эйлеровы круги ".^[6] Например, в первом предложении своей статьи 1880 года Венн пишет: «Схемы схематического представления были так привычно введены в логические трактаты в течение последнего столетия или около того, что многие читатели, даже те, кто не занимался профессиональным изучением логики, могут Предполагается, что он знаком с общей природой и целью таких устройств. Из этих схем только одна, а именно та, которая обычно называется «кругами Эйлера», получила какое-либо всеобщее признание ... "^[4][5] Льюис Кэрролл (Чарльз Л. Доджсон ) включает «Метод диаграмм Венна», а также «Метод диаграмм Эйлера» в «Приложение, адресованное учителям» своей книги. Символическая логика (4-е издание, 1896 г.). Термин «диаграмма Венна» позже использовался Кларенс Ирвинг Льюис в 1918 г. в своей книге Обзор символической логики.^[7][8]

Диаграммы Венна очень похожи на Диаграммы Эйлера, которые были изобретены Леонард Эйлер в 18 веке.^{[примечание 1][9][10]} М. Э. Барон отметил, что Лейбниц (1646–1716) создал аналогичные диаграммы до Эйлера в 17 веке, но большая часть из них не была опубликована.^[11] Она также наблюдает еще более ранние диаграммы типа Эйлера Рамон Лулль в 13 веке.^[12]

В 20 веке диаграммы Венна получили дальнейшее развитие. Дэвид Уилсон Хендерсон показал в 1963 году, что существование п-Схема Венна с п-складывать вращательная симметрия подразумевается, что п был простое число.^[13] Он также показал, что такие симметричные диаграммы Венна существуют, когда п пять или семь. В 2002 году Питер Гамбургер нашел симметричные диаграммы Венна для п = 11, а в 2003 году Григгс, Киллиан и Сэвидж показали, что симметричные диаграммы Венна существуют для всех других простых чисел. Эти объединенные результаты показывают, что осесимметричные диаграммы Венна существуют тогда и только тогда, когда п простое число.^[14]

Диаграммы Венна и диаграммы Эйлера были включены как часть инструкции в теория множеств, как часть новая математика движение в 1960-х. С тех пор они также были включены в учебные программы других областей, таких как чтение.^[15]

Обзор

Смотрите также: Набор (математика) § Основные операции

• 

  Пересечение из двух комплектов ${\displaystyle ~A\cap B}$

• 

  Союз из двух комплектов ${\displaystyle ~A\cup B}$

• 

  Симметричная разница из двух комплектов ${\displaystyle A~\triangle ~B}$

• 

  Относительное дополнение из А (оставил в B (верно) ${\displaystyle A^{c}\cap B~=~B\setminus A}$

• 

  Абсолютное дополнение из A в U ${\displaystyle A^{c}~=~U\setminus A}$

Диаграмма Венна состоит из набора простых замкнутых кривых, нарисованных на плоскости. По словам Льюиса,^[8] "принцип этих диаграмм состоит в том, что классы [или наборы ] будут представлены регионами в таком отношении друг к другу, что все возможные логические отношения этих классов могут быть указаны на одной диаграмме. То есть диаграмма изначально оставляет место для любого возможного отношения классов, а фактическое или данное отношение затем может быть указано, указав, что некоторая конкретная область имеет значение NULL или не является нулевым ».^[8]:157

Диаграммы Венна обычно содержат перекрывающиеся круги. Внутренняя часть круга символически представляет собой элементы набора, а внешний вид представляет элементы, которые не являются членами набора. Например, на диаграмме Венна из двух наборов один кружок может представлять группу всех деревянный объекты, а другой круг может представлять набор всех таблиц. Перекрывающаяся область, или пересечение, тогда будет представлять набор всех деревянных столов. Могут использоваться формы, отличные от кругов, как показано ниже на диаграммах высших наборов Венна. Диаграммы Венна обычно не содержат информации об относительных или абсолютных размерах (мощность ) множеств. То есть они схематический диаграммы обычно нарисованы не в масштабе.

Диаграммы Венна похожи на Диаграммы Эйлера. Однако диаграмма Венна для п комплекты компонентов должны содержать все 2^п гипотетически возможные зоны, соответствующие некоторой комбинации включения или исключения в каждом из наборов компонентов.^[16] Диаграммы Эйлера содержат только реально возможные зоны в данном контексте. На диаграммах Венна заштрихованная зона может представлять пустую зону, тогда как на диаграмме Эйлера соответствующая зона отсутствует на диаграмме. Например, если один набор представляет молочные продукты и другой сыры, диаграмма Венна содержит зону для сыров, не являющихся молочными продуктами. Предполагая, что в контексте сыр означает какой-то тип молочного продукта, на диаграмме Эйлера зона сыра полностью находится внутри зоны молочного продукта - зоны для (несуществующего) немолочного сыра нет. Это означает, что по мере увеличения числа контуров диаграммы Эйлера обычно визуально становятся менее сложными, чем эквивалентная диаграмма Венна, особенно если количество непустых пересечений невелико.^[17]

Разницу между диаграммами Эйлера и Венна можно увидеть в следующем примере. Возьмите три комплекта:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Диаграммы Эйлера и Венна этих множеств:

• 

  Диаграмма Эйлера

• 

  Диаграмма Венна

Расширение на большее количество наборов

Диаграммы Венна обычно представляют два или три набора, но есть формы, которые позволяют использовать более высокие числа. Ниже показано, что четыре пересекающиеся сферы образуют диаграмму Венна высшего порядка, имеющую симметрию симплекс и может быть представлен визуально. 16 пересечений соответствуют вершинам тессеракт (или клетки 16 ячеек, соответственно).

Для большего количества наборов некоторая потеря симметрии диаграмм неизбежна. Венн стремился найти «симметричные фигуры ... элегантные сами по себе».^[9] это представляло большее количество наборов, и он разработал элегантный четырехмерная диаграмма с использованием эллипсы (Смотри ниже). Он также дал конструкцию диаграмм Венна для любой количество наборов, где каждая последующая кривая, ограничивающая набор, чередуется с предыдущими кривыми, начиная с трехкружной диаграммы.

• 

  Конструкция Венна для четырех наборов

• 

  Конструкция Венна для пяти наборов

• 

  Конструкция Венна для шести наборов

• 

  Диаграмма Венна из четырех множеств с использованием эллипсов

• 

  Не пример: Этот Диаграмма Эйлера является нет диаграмма Венна для четырех наборов, так как в ней всего 13 областей (без учета внешней стороны); нет области, где встречаются только желтый и синий или только красный и зеленый круги.

• 

  Диаграмма Венна с пятью наборами с использованием конгруэнтных эллипсов в пятикратном порядке. осесимметричный договоренность, разработанная Бранко Грюнбаум. Этикетки были упрощены для большей читаемости; Например, А обозначает А ∩ B^c ∩ C^c ∩ D^c ∩ E^c, пока До н.э. обозначает А^c ∩ B ∩ C ∩ D^c ∩ E.

• 

  Шестиступенчатая диаграмма Венна, состоящая только из треугольников (интерактивная версия)

Диаграммы Эдвардса – Венна

• 

  Три комплекта

• 

  Четыре комплекта

• 

  Пять наборов

• 

  Шесть комплектов

Энтони Уильям Фэрбэнк Эдвардс построил серию диаграмм Венна для большего числа множеств, сегментируя поверхность сферы, которые стали известны как диаграммы Эдвардса – Венна.^[18] Например, три множества можно легко представить, если взять три полусферы сферы под прямым углом (Икс = 0, у = 0 и z = 0). Четвертый набор можно добавить к изображению, взяв кривую, похожую на шов на теннисном мяче, который изгибается вверх и вниз вокруг экватора, и так далее. Полученные наборы затем можно спроецировать обратно на плоскость, чтобы получить зубчатое колесо диаграммы с увеличивающимся числом зубцов - как показано здесь. Эти схемы были разработаны при проектировании витраж окно в память Венна.^[18]

Прочие диаграммы

Диаграммы Эдвардса – Венна топологически эквивалентный к диаграммам, разработанным Бранко Грюнбаум, которые основывались на пересечении полигоны с увеличением количества сторон. Они также являются двумерными представлениями гиперкубы.

Генри Джон Стивен Смит разработал аналогичный п-установить диаграммы с помощью синус кривые^[18] с рядом уравнений

${\displaystyle y_{i}={\frac {\sin \left(2^{i}x\right)}{2i}}{\text{ where }}0\leq i\leq n-2{\text{ and }}i\in \mathbb {N} .}$

Чарльз Лютвидж Доджсон (a.k.a. Льюис Кэрролл ) разработал диаграмму из пяти наборов, известную как Площадь Кэрролла. Хоакин и Бойлс, с другой стороны, предложили дополнительные правила для стандартной диаграммы Венна, чтобы учесть определенные проблемные случаи. Например, что касается вопроса представления единичных утверждений, они предлагают рассматривать круг диаграммы Венна как представление набора вещей и использовать логика первого порядка и теория множеств рассматривать категоричные утверждения как утверждения о множествах. Кроме того, они предлагают рассматривать единичные утверждения как утверждения о установить членство. Так, например, чтобы представить утверждение «a есть F» на этой переработанной диаграмме Венна, маленькая буква «a» может быть помещена внутри круга, который представляет множество F.^[19]

Связанные понятия

Диаграмма Венна как таблица истинности

Диаграммы Венна соответствуют таблицы истинности для предложений ${\displaystyle x\in A}$, ${\displaystyle x\in B}$и т. д. в том смысле, что каждая область диаграммы Венна соответствует одной строке таблицы истинности.^[20][21] Этот тип также известен как диаграмма Джонстона. Другой способ представления множеств - с помощью Джона Ф. Рэндольфа. R-диаграммы.

Смотрите также

• Экзистенциальный граф (к Чарльз Сандерс Пирс )
• Логические связки
• Информационная диаграмма
• Диаграмма Маркуанда (и в качестве дальнейшего вывода График Вейча и Карта Карно )
• Сферический октаэдр - Стереографическая проекция правильного октаэдра образует трехкомпонентную диаграмму Венна в виде трех ортогональных больших окружностей, каждая из которых разделяет пространство на две половины.
• Vesica piscis
• Triquetra
• Модель трех кругов

Примечания

1. У Эйлера Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de Physique et de Philosphie [Письма к немецкой принцессе на различные физические и философские темы] (Санкт-Петербург, Россия: l'Academie Impériale des Sciences, 1768), том 2, страницы 95-126. В статье Венна, однако, он предполагает, что идея диаграмм возникла еще до Эйлера, и ее можно отнести к Кристиан Вайсе или Иоганн Кристиан Ланге (в книге Ланге Nucleus Logicae Weisianae (1712)).

Рекомендации

1. «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-09-05.
2. «Пересечение множеств». web.mnstate.edu. Получено 2020-09-05.
3. «Множества и диаграммы Венна». www.mathsisfun.com. Получено 2020-09-05.
4. Венн, Джон (Июль 1880 г.). «I. О схематическом и механическом представлении предложений и рассуждений» (PDF). Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 5. 10 (59): 1–18. Дои:10.1080/14786448008626877. В архиве (PDF) из оригинала от 16.05.2017. [1] [2]
5. Венн, Джон (1880). «Об использовании геометрических диаграмм для разумных представлений логических предложений». Труды Кембриджского философского общества. 4: 47–59.
6. Сандифер, Эд (2003). "Как это сделал Эйлер" (PDF). MAA Online. Математическая ассоциация Америки (MAA). Получено 2009-10-26.
7. Раски, Фрэнк; Уэстон, Марк (18.06.2005). «Обзор диаграмм Венна». Электронный журнал комбинаторики.
8. Льюис, Кларенс Ирвинг (1918). Обзор символической логики. Беркли: Калифорнийский университет Press.
9. Венн, Джон (1881). Символическая логика. Macmillan. п.108. Получено 2013-04-09.
10. Мак Куин, Гейланд (октябрь 1967 г.). Логическая диаграмма (PDF) (Тезис). Университет Макмастера. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-04-14. Получено 2017-04-14. (NB. Имеет подробную историю развития логических диаграмм, включая, но не ограничиваясь диаграммой Венна.)
11. Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1903) [ок. 1690]. «De Formae Logicae per linearum ductus». В Кутюрат, Луи (ред.). Opuscules et fragmentes inedits de Leibniz (на латыни). С. 292–321.
12. Барон, Маргарет Э. (май 1969 г.). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». Математический вестник. 53 (384): 113–125. Дои:10.2307/3614533. JSTOR  3614533.
13. Хендерсон, Дэвид Уилсон (Апрель 1963 г.). «Диаграммы Венна для более четырех классов». Американский математический ежемесячный журнал. 70 (4): 424–426. Дои:10.2307/2311865. JSTOR  2311865.
14. Раски, Фрэнк; Сэвидж, Карла Д.; Вагон, Стан (Декабрь 2006 г.). «Поиск простых симметричных диаграмм Венна» (PDF). Уведомления AMS. 53 (11): 1304–1311.
15. «Стратегии чтения диаграмм Венна для понимания прочитанного». Архивировано из оригинал на 2009-04-29. Получено 2009-06-20.
16. Вайсштейн, Эрик В. "Диаграмма Венна". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-05.
17. «Диаграммы Эйлера 2004: Брайтон, Великобритания: 22–23 сентября». Проект «Рассуждение с помощью диаграмм», Кентский университет. 2004 г.. Получено 2008-08-13.
18. Эдвардс, Энтони Уильям Фэрбэнк (2004). Шестеренки разума: история диаграмм Венна. Балтимор, Мэриленд, США: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 65. ISBN  978-0-8018-7434-5..
19. Хоакин, Иеремия Джовен; Бойлз, Роберт Джеймс М. (июнь 2017 г.). "Обучение силлогистической логике с помощью переоборудованной техники диаграмм Венна". Преподавание философии. 40 (2): 161–180. Дои:10.5840 / learnphil201771767. В архиве из оригинала на 2018-11-21. Получено 2020-05-12.
20. Гримальди, Ральф П. (2004). Дискретная и комбинаторная математика. Бостон: Эддисон-Уэсли. п. 143. ISBN  978-0-201-72634-3.
21. Джонсон, Дэвид Л. (2001). «3.3 Законы». Элементы логики через числа и множества. Серия «Математика бакалавриата Springer». Берлин, Германия: Springer-Verlag. п.62. ISBN  978-3-540-76123-5.

дальнейшее чтение

• Махмудиан, Эбадолла С.; Rezaie, M .; Ватан, Ф. (март 1987 г.). «Обобщение диаграммы Венна» (PDF). Восемнадцатая ежегодная иранская математическая конференция. Тегеран и Исфахан, Иран. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-05-01. Получено 2017-05-01.
• Эдвардс, Энтони Уильям Фэрбэнк (1989-01-07). «Диаграммы Венна для многих множеств». Новый ученый. 121 (1646): 51–56.
• Уоткинсон, Джон (1990). «4.10. Расстояние Хэмминга». Кодирование для цифровой записи. Стоунхэм, Массачусетс, США: Focal Press. стр. 94–99, складной на спине. ISBN  978-0-240-51293-8. (NB. Книга поставляется с 3-страничным разворотом семибитовой цилиндрической диаграммы Венна.)
• Стюарт, Ян (Июнь 2003 г.) [1992]. "Глава 4. Шестерни разума". Еще одна точная математика, в которую вы меня втянули (перепечатка 1-го изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. (В. Х. Фриман ). С. 51–64. ISBN  978-0-486-43181-9.
• Гласснер, Эндрю (2004). «Венн и сейчас». Морфы, кряквы и монтаж: компьютерное воображение. Уэлсли, Массачусетс, США: А. К. Петерс. С. 161–184. ISBN  978-1568812311.
• Мамакани, Халег; Раски, Фрэнк (2012-07-27). "Новая роза: первая простая симметричная диаграмма 11-Венна". п. 6452. arXiv:1207.6452. Bibcode:2012arXiv1207.6452M. В архиве из оригинала на 2017-05-01. Получено 2017-05-01.

внешняя ссылка

• "Диаграмма Венна", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Логическая игра Льюиса Кэрролла - Венн против Эйлера в Разрезать узел
• Шесть наборов диаграмм Венна, составленных из треугольников
• Интерактивная диаграмма Венна из семи наборов