Метод Монте-Карло - Monte Carlo method

Не путать с Алгоритм Монте-Карло.

Методы Монте-Карло, или же Эксперименты Монте-Карло, представляют собой широкий класс вычислительный алгоритмы которые полагаются на повторяющиеся случайная выборка для получения численных результатов. Основная концепция заключается в использовании случайность для решения проблем, которые могут быть детерминированный в принципе. Их часто используют в физический и математический проблемы и наиболее полезны, когда трудно или невозможно использовать другие подходы. Методы Монте-Карло в основном используются в трех классах задач:[1] оптимизация, численное интегрирование, и создание ничьих из распределение вероятностей.

В задачах, связанных с физикой, методы Монте-Карло полезны для моделирования систем со многими соединенный степени свободы, такие как жидкости, неупорядоченные материалы, твердые тела с сильной связью и ячеистые структуры (см. сотовая модель Поттса, системы взаимодействующих частиц, Процессы Маккина – Власова, кинетические модели газов ).

Другие примеры включают моделирование явлений со значительными неуверенность во входных данных, таких как расчет рисковать в бизнесе и, в математике, оценка многомерных определенные интегралы со сложным граничные условия. Применительно к задачам системной инженерии (космос, разведка нефти, конструкция самолета и т. д.), прогнозы отказов на основе Монте-Карло, перерасход средств а превышение расписания обычно лучше, чем человеческая интуиция или альтернативные «мягкие» методы.[2]

В принципе, методы Монте-Карло можно использовать для решения любой задачи, имеющей вероятностную интерпретацию. Посредством закон больших чисел, интегралы, описываемые ожидаемое значение некоторой случайной величины можно аппроксимировать, взяв эмпирическое среднее (также известное как выборочное среднее) независимых выборок переменной. Когда распределение вероятностей переменной параметризовано, математики часто используют Цепь Маркова Монте-Карло (MCMC) сэмплер.[3][4][5] Основная идея - разработать разумный Цепь Маркова модель с заданной стационарное распределение вероятностей. То есть в пределе выборки, генерируемые методом MCMC, будут выборками из желаемого (целевого) распределения.[6][7] Посредством эргодическая теорема, стационарное распределение аппроксимируется эмпирические меры случайных состояний сэмплера MCMC.

В других задачах цель состоит в том, чтобы генерировать ничьи из последовательности распределений вероятностей, удовлетворяющих нелинейному уравнению эволюции. Эти потоки вероятностных распределений всегда можно интерпретировать как распределения случайных состояний Марковский процесс вероятности переходов которых зависят от распределений текущих случайных состояний (см. Процессы Маккина – Власова, уравнение нелинейной фильтрации ).[8][9] В других случаях нам дается поток распределений вероятностей с возрастающим уровнем сложности выборки (модели пространств путей с увеличивающимся временным горизонтом, меры Больцмана – Гиббса, связанные с уменьшением температурных параметров, и многие другие). Эти модели также можно рассматривать как эволюцию закона случайных состояний нелинейной цепи Маркова.[9][10] Естественным способом моделирования этих сложных нелинейных марковских процессов является выборка нескольких копий процесса, замена в уравнении эволюции неизвестных распределений случайных состояний выборочными эмпирические меры. В отличие от традиционных методологий Монте-Карло и MCMC эти частица среднего поля методы полагаются на последовательные взаимодействующие образцы. Терминология среднее поле отражает тот факт, что каждый из образцы (также известные как частицы, индивидуумы, ходоки, агенты, существа или фенотипы) взаимодействуют с эмпирическими измерениями процесса. Когда размер системы стремится к бесконечности, эти случайные эмпирические меры сходятся к детерминированному распределению случайных состояний нелинейной цепи Маркова, так что статистическое взаимодействие между частицами исчезает.

Обзор

Методы Монте-Карло различаются, но, как правило, следуют определенной схеме:

  1. Определите область возможных входов
  2. Генерация входных данных случайным образом из распределение вероятностей по домену
  3. Выполнить детерминированный вычисление на входах
  4. Сгруппируйте результаты
Метод Монте-Карло, применяемый для аппроксимации значения π.

Например, рассмотрим квадрант (круговой сектор) вписанный в единичный квадрат. Учитывая, что соотношение их площадей равно π/4, значение π можно аппроксимировать методом Монте-Карло:[11]

  1. Нарисуйте квадрат, затем вписывать квадрант внутри него
  2. Равномерно разбросать заданное количество точек по квадрату
  3. Подсчитайте количество точек внутри квадранта, т. Е. Имеющих расстояние от начала координат менее 1
  4. Отношение внутреннего подсчета и общего количества образцов является оценкой отношения двух областей, π/4. Умножьте результат на 4, чтобы оценить π.

В этой процедуре областью ввода является квадрат, ограничивающий квадрант. Мы генерируем случайные входные данные, разбрасывая зерна по квадрату, а затем выполняем вычисления для каждого входа (проверяем, попадает ли он в квадрант). Обобщение результатов дает наш окончательный результат, приближение π.

Есть два важных момента:

  1. Если точки распределены неравномерно, аппроксимация будет плохой.
  2. Есть много моментов. Аппроксимация обычно плохая, если во всем квадрате случайным образом размещаются только несколько точек. В среднем аппроксимация улучшается по мере размещения большего количества точек.

Использование методов Монте-Карло требует большого количества случайных чисел, и именно их использование стимулировало развитие генераторы псевдослучайных чисел[нужна цитата ], которые использовались намного быстрее, чем таблицы случайных чисел, которые ранее использовались для статистической выборки.

История

До того, как был разработан метод Монте-Карло, моделирование проверяло ранее понятую детерминированную проблему, и статистическая выборка использовалась для оценки неопределенностей в моделировании. Моделирование методом Монте-Карло инвертирует этот подход, решая детерминированные задачи с использованием вероятностный метаэвристика (видеть имитация отжига ).

Ранний вариант метода Монте-Карло был разработан для решения Проблема иглы Буффона, в котором π можно оценить, бросив иголки на пол, сделанный из параллельных равноудаленных полос. В 1930-е гг. Энрико Ферми впервые экспериментировал с методом Монте-Карло при изучении диффузии нейтронов, но не опубликовал эту работу.[12]

В конце 1940-х гг. Станислав Улам изобрел современную версию метода Монте-Карло цепей Маркова, когда работал над проектами ядерного оружия в Лос-Аламосская национальная лаборатория. Сразу после прорыва Улама, Джон фон Нейман понял его важность. Фон Нейман запрограммировал ENIAC компьютер для выполнения расчетов Монте-Карло. В 1946 году физики-ядерщики из Лос-Аламоса исследовали диффузию нейтронов в делящемся материале.[12] Несмотря на наличие большинства необходимых данных, таких как среднее расстояние, которое нейтрон пройдет в веществе до столкновения с атомным ядром, и сколько энергии нейтрон, вероятно, испустит после столкновения, физики из Лос-Аламоса не смогли решить проблема с использованием обычных, детерминированных математических методов. Улам предложил использовать случайные эксперименты. Он так описывает свое вдохновение:

Первые мысли и попытки, которые я предпринял на практике [метод Монте-Карло], были подсказаны вопросом, который пришел мне в голову в 1946 году, когда я выздоравливал от болезни и раскладывал пасьянсы. Вопрос заключался в том, каковы шансы, что Пасьянс Кэнфилд выложенные 52 карты удачно вылезут? Потратив много времени на попытки оценить их с помощью чистых комбинаторных вычислений, я задумался, не может ли быть более практичным методом, чем «абстрактное мышление», изложить его, скажем, сто раз и просто наблюдать и подсчитывать количество успешных пьес. Это уже можно было представить с началом новой эры быстрых компьютеров, и я сразу же задумался о проблемах диффузии нейтронов и других вопросах математической физики, и в более общем плане о том, как преобразовать процессы, описываемые некоторыми дифференциальными уравнениями, в эквивалентную форму, которую можно интерпретировать. как последовательность случайных операций. Позже [в 1946 году] я описал идею Джон фон Нейман, и мы начали планировать реальные расчеты.[13]

Поскольку работа фон Неймана и Улама была секретной, ей требовалось кодовое название.[14] Коллега фон Неймана и Улама, Николай Метрополис, предложил использовать имя Монте-Карло, который относится к Казино Монте-Карло в Монако где дядя Улама занимал деньги у родственников, чтобы играть в азартные игры.[12] С помощью списки "действительно случайных" случайных чисел был чрезвычайно медленным, но фон Нейман разработал способ вычисления псевдослучайные числа, с использованием метод среднего квадрата. Хотя этот метод критиковали как грубый, фон Нейман знал об этом: он оправдал его как более быстрый, чем любой другой метод, находящийся в его распоряжении, а также отметил, что, когда он пошел наперекосяк, он явно делал это, в отличие от методов, которые могли быть слегка неверными. .[15]

Методы Монте-Карло занимали центральное место в симуляции требуется для Манхэттенский проект, хотя в то время сильно ограничивался вычислительными средствами. В 1950-х годах они использовались в Лос-Аламос за раннюю работу, связанную с развитием водородная бомба, и стал популярен в областях физика, физическая химия, и исследование операций. В Rand Corporation и ВВС США были двумя основными организациями, ответственными за финансирование и распространение информации о методах Монте-Карло в то время, и они начали находить широкое применение во многих различных областях.

Теория более сложных методов Монте-Карло частиц типа среднего поля, безусловно, началась к середине 1960-х годов с работ Генри П. Маккин мл. о марковских интерпретациях одного класса нелинейных параболических уравнений в частных производных, возникающих в механике жидкости.[16][17] Мы также цитируем более раннюю новаторскую статью Теодор Э. Харрис и Herman Kahn, опубликованные в 1951 г., с использованием среднего поля генетический методы Монте-Карло для оценки энергий прохождения частиц.[18] Методологии Монте-Карло генетического типа среднего поля также используются в качестве эвристических алгоритмов естественного поиска (также известных как: метаэвристический ) в эволюционных вычислениях. Истоки этих методов вычисления среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 гг. Алан Тьюринг на обучающих машинах по генетическому типу мутации[19] и статьи Нильс Алл Барричелли на Институт перспективных исследований в Принстон, Нью-Джерси.[20][21]

Квантовый Монте-Карло, и, более конкретно диффузионные методы Монте-Карло также можно интерпретировать как приближение Монте-Карло частиц среднего поля Фейнман –Kac интегралы по траекториям.[22][23][24][25][26][27][28] Истоки квантовых методов Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберт Рихтмайер который разработал в 1948 году интерпретацию цепных нейтронных реакций частицами среднего поля,[29] но первый эвристический алгоритм частиц генетического типа (также известный как методы повторной выборки или реконфигурации Монте-Карло) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в моделях сокращенных матриц) был разработан Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 году.[28] В молекулярной химии использование генетических эвристических методологий частиц (также известных как стратегии обрезки и обогащения) можно проследить до 1955 года, когда были основополагающие работы Маршалл Н. Розенблют и Арианна В. Розенблют.[30]

Использование Последовательный Монте-Карло в продвинутых обработка сигналов и Байесовский вывод более свежий. В 1993 году Гордон и др. Опубликовали в своей основополагающей работе[31] первое применение Монте-Карло повторная выборка алгоритм байесовского статистического вывода. Авторы назвали свой алгоритм «бутстрап-фильтром» и продемонстрировали, что по сравнению с другими методами фильтрации их самонастраивающийся алгоритм не требует никаких предположений об этом пространстве состояний или шумах системы. Мы также процитируем еще одну новаторскую статью в этой области Генширо Китагава о родственном «фильтре Монте-Карло»,[32] и Пьера Дель Мораля[33] и Химилькон Карвалью, Пьер Дель Мораль, Андре Монен и Жерар Салют[34] о фильтрах твердых частиц, опубликованных в середине 1990-х годов. Фильтры твердых частиц были также разработаны для обработки сигналов в 1989–1992 гг. П. Дель Мораль, Дж. К. Нойер, Г. Ригал и Г. Салют в LAAS-CNRS в серии закрытых и секретных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions). et Armes Navales), ИТ-компанию DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов радаров / гидролокаторов и GPS.[35][36][37][38][39][40] Эти методологии последовательного Монте-Карло можно интерпретировать как пробоотборник приемки-отклонения, оснащенный взаимодействующим механизмом рециркуляции.

С 1950 по 1996 год все публикации по методологиям последовательного Монте-Карло, включая методы отсечения и повторной выборки Монте-Карло, представленные в вычислительной физике и молекулярной химии, представляют собой естественные и эвристические алгоритмы, применяемые к различным ситуациям без единого доказательства их согласованности, а также обсуждение предвзятости оценок и алгоритмов, основанных на генеалогии и древе предков. Математические основы и первый строгий анализ этих алгоритмов частиц были написаны Пьером Дель Моралем в 1996 году.[33][41]

Методологии частиц разветвленного типа с различными размерами популяции также были разработаны в конце 1990-х Дэном Крисаном, Джессикой Гейнс и Терри Лайонс,[42][43][44] и Дэном Крисаном, Пьером Дель Моралем и Терри Лайонсом.[45] Дальнейшие разработки в этой области были разработаны в 2000 г. П. Дель Мораль, А. Гионне и Л. Микло.[23][46][47]

Определения

Нет единого мнения о том, как Монте-Карло следует определить. Например, Рипли[48] определяет наиболее вероятностное моделирование как стохастическое моделирование, с Монте-Карло зарезервировано для Интеграция Монте-Карло и статистические тесты Монте-Карло. Савиловский[49] различает симуляция, метод Монте-Карло и моделирование Монте-Карло: моделирование - это фиктивное представление реальности, метод Монте-Карло - это метод, который может использоваться для решения математической или статистической задачи, а моделирование Монте-Карло использует повторную выборку для получения статистические свойства какого-либо явления (или поведения). Примеры:

  • Моделирование: Рисование один псевдослучайная единообразная переменная из интервала [0,1] может использоваться для имитации подбрасывания монеты: если значение меньше или равно 0,50, обозначьте результат как орел, но если значение больше 0,50 обозначьте результат в виде решки. Это симуляция, а не симуляция Монте-Карло.
  • Метод Монте-Карло: выливание коробки с монетами на стол с последующим вычислением соотношения монет, выпавших на карту, по сравнению с решкой - это метод Монте-Карло для определения поведения повторяющихся подбрасываний монет, но это не моделирование.
  • Моделирование Монте-Карло: Рисование большое количество псевдослучайных однородных переменных из интервала [0,1] за один раз или один раз в много разное время, и присвоение значений меньше или равных 0,50 в качестве орла и больше 0,50 в качестве решетки является Моделирование Монте-Карло поведения многократного подбрасывания монеты.

Калос и Уитлок[50] отметьте, что такие различия не всегда легко поддерживать. Например, излучение атомов - это естественный случайный процесс. Его можно смоделировать напрямую, или его среднее поведение можно описать стохастическими уравнениями, которые сами могут быть решены с использованием методов Монте-Карло. «Действительно, один и тот же компьютерный код можно рассматривать одновременно как« естественное моделирование »или как решение уравнений путем естественной выборки».

Монте-Карло и случайные числа

Основная идея этого метода заключается в том, что результаты вычисляются на основе повторной случайной выборки и статистического анализа. Моделирование Монте-Карло - это, по сути, случайные эксперименты, если результаты этих экспериментов недостаточно известны. Моделирование Монте-Карло обычно характеризуется множеством неизвестных параметров, многие из которых трудно получить экспериментально.[51] Методы моделирования Монте-Карло не всегда требуют действительно случайные числа быть полезным (хотя для некоторых приложений, таких как проверка на простоту, непредсказуемость жизненно важна).[52] Многие из наиболее полезных методов используют детерминированный, псевдослучайный последовательности, что упрощает тестирование и повторный запуск моделирования. Единственное качество, обычно необходимое для хорошего симуляции состоит в том, чтобы псевдослучайная последовательность выглядела «достаточно случайной» в определенном смысле.

Что это означает, зависит от приложения, но обычно они должны пройти серию статистических тестов. Проверка того, что числа равномерно распределены или следовать другому желаемому распределению, когда достаточно большое количество элементов последовательности считается одним из самых простых и распространенных. Также часто желательны / необходимы слабые корреляции между последовательными выборками.

Савиловский перечисляет характеристики высококачественного моделирования Монте-Карло:[49]

  • генератор (псевдослучайных) чисел имеет определенные характеристики (например, длинный «период» перед повторением последовательности)
  • генератор (псевдослучайных) чисел производит значения, которые проходят проверку на случайность
  • имеется достаточно образцов, чтобы гарантировать точные результаты
  • используется правильная техника отбора проб
  • используемый алгоритм действителен для моделируемого объекта
  • он имитирует рассматриваемое явление.

Выборка псевдослучайных чисел алгоритмы используются для преобразования равномерно распределенных псевдослучайных чисел в числа, которые распределяются согласно заданному распределение вероятностей.

Последовательности с низким расхождением часто используются вместо случайной выборки из пространства, поскольку они обеспечивают равномерный охват и обычно имеют более быстрый порядок сходимости, чем моделирование методом Монте-Карло с использованием случайных или псевдослучайных последовательностей. Методы, основанные на их использовании, называются квази-Монте-Карло методы.

Пытаясь оценить влияние качества случайных чисел на результаты моделирования методом Монте-Карло, астрофизики протестировали криптографически безопасные псевдослучайные числа, сгенерированные с помощью RDRAND набор команд, по сравнению с теми, которые получены из алгоритмов, таких как Мерсенн Твистер, в моделировании в Монте-Карло радиовспышек от коричневые карлики. RDRAND - это генератор псевдослучайных чисел, ближайший к истинному генератору случайных чисел. Не было обнаружено статистически значимой разницы между моделями, созданными с помощью типичных генераторов псевдослучайных чисел и RDRAND для испытаний, состоящих из генерации 107 случайные числа.[53]

Mersenne_twister (MT19937) на Python (моделирование методом Монте-Карло)

А Метод Монте-Карло Моделирование определяется как любой метод, использующий последовательности случайных чисел для выполнения моделирования. Моделирование Монте-Карло применяется ко многим темам, включая квантовая хромодинамика, лучевая терапия рака, транспортный поток, звездная эволюция и проектирование СБИС. Все эти симуляции требуют использования случайных чисел и, следовательно, генераторы псевдослучайных чисел, что делает очень важным создание случайных чисел.

Простым примером того, как компьютер будет выполнять моделирование Монте-Карло, является вычисление π. Если бы квадрат окружал круг, а точка была бы случайно выбрана внутри квадрата, то точка либо лежала бы внутри круга, либо вне его. Если бы процесс повторялся много раз, отношение случайных точек, которые лежат внутри круга, к общему количеству случайных точек в квадрате было бы приблизительно равным отношению площади круга к площади квадрата. Отсюда мы можем оценить пи, как показано на Python код ниже с использованием SciPy пакет для генерации псевдослучайных чисел с MT19937 алгоритм. Обратите внимание, что этот метод вычислительно неэффективный способ численно приближенное π.

импорт странныйN = 100000x_array = странный.случайный.ранд(N)y_array = странный.случайный.ранд(N)# генерировать N псевдослучайных независимых значений x и y на интервале [0,1)N_qtr_circle = сумма(x_array ** 2 + y_array ** 2 < 1)# Количество точек внутри четверти круга x ^ 2 + y ^ 2 <1 с центром в начале координат с радиусом r = 1.# Истинная площадь четверти круга равна pi / 4, и в ней есть N_qtr_circle точек.# Истинная площадь квадрата равна 1, и в нем есть N точек, поэтому мы аппроксимируем пи с помощьюpi_approx = 4 * плавать(N_qtr_circle) / N  # Типичные значения: 3,13756, 3,15156

Моделирование Монте-Карло в сравнении со сценариями "что, если"

Существуют способы использования вероятностей, которые определенно не являются симуляциями Монте-Карло - например, детерминированное моделирование с использованием одноточечных оценок. Каждой неопределенной переменной в модели назначается оценка «наилучшего предположения». Для каждой входной переменной выбираются сценарии (например, лучший, наихудший или наиболее вероятный), а результаты записываются.[54]

Напротив, образец моделирования Монте-Карло из распределение вероятностей для каждой переменной, чтобы произвести сотни или тысячи возможных результатов. Результаты анализируются для определения вероятностей наступления различных исходов.[55] Например, сравнение модели построения стоимости в электронной таблице выполняется с использованием традиционных сценариев «что, если», а затем выполняется повторное сравнение с моделированием Монте-Карло и треугольные распределения вероятностей показывает, что анализ Монте-Карло имеет более узкий диапазон, чем анализ «что, если».[пример необходим ] Это связано с тем, что анализ «что, если» придает равный вес всем сценариям (см. количественная оценка неопределенности в корпоративных финансах ), в то время как метод Монте-Карло практически не производит выборку в областях с очень низкой вероятностью. Образцы в таких регионах называют «редкими событиями».

Приложения

Методы Монте-Карло особенно полезны для моделирования явлений со значительными неуверенность во входах и системах со многими соединенный степени свободы. Области применения включают:

Физические науки

Вычислительная физика
Неустойчивость Рэлея-Тейлора.jpg
Механика  · Электромагнетизм  · Термодинамика  · Моделирование
Смотрите также: Метод Монте-Карло в статистической физике

Методы Монте-Карло очень важны в вычислительная физика, физическая химия, и связанных прикладных областях, и имеют разнообразные приложения от сложных квантовая хромодинамика расчеты к проектированию тепловые экраны и аэродинамический формы, а также при моделировании переноса излучения для расчетов дозиметрии излучения.[56][57][58] В статистическая физика Молекулярное моделирование методом Монте-Карло альтернатива вычислительным молекулярная динамика, а методы Монте-Карло используются для вычисления статистические теории поля простых частиц и полимерных систем.[30][59] Квантовый Монте-Карло методы решают проблема многих тел для квантовых систем.[8][9][22] В радиационное материаловедение, то приближение бинарных столкновений для моделирования ионная имплантация обычно основан на подходе Монте-Карло для выбора следующего сталкивающегося атома.[60] В экспериментальном физика элементарных частиц, Методы Монте-Карло используются для проектирования детекторы, понимание их поведения и сравнение экспериментальных данных с теорией. В астрофизика, они используются настолько разнообразно, что моделируют как галактика эволюция[61] и передача микроволнового излучения через шероховатую поверхность планеты.[62] Методы Монте-Карло также используются в ансамбль моделей которые составляют основу современного прогноз погоды.

Инженерное дело

Методы Монте-Карло широко используются в инженерии для Анализ чувствительности и количественный вероятностный анализ в разработка процесса. Необходимость возникает из-за интерактивного, коллинеарного и нелинейного поведения типичного моделирования процесса. Например,

Изменение климата и радиационное воздействие

В межправительственная комиссия по изменению климата опирается на методы Монте-Карло в функция плотности вероятности анализ радиационное воздействие.

Функция плотности вероятности (PDF) ERF из-за общего ПГ, аэрозольного воздействия и полного антропогенного воздействия. ПГ состоит из WMGHG, озона и водяного пара в стратосфере. PDF генерируются на основе неопределенностей, представленных в таблице 8.6. Комбинация отдельных радиочастотных агентов для получения общего принуждения в индустриальную эпоху выполняется с помощью моделирования методом Монте-Карло и основывается на методе, описанном Бушером и Хейвудом (2001). PDF ERF от изменений поверхностного альбедо и комбинированных инверсионных следов и перистых следов, вызванных инверсионным следом, включены в общее антропогенное воздействие, но не показаны в виде отдельного PDF. В настоящее время у нас нет оценок ERF для некоторых механизмов воздействия: озона, землепользования, солнечной энергии и т. Д.[71]

Вычислительная биология

Методы Монте-Карло используются в различных областях вычислительная биология, например для Байесовский вывод в филогении, или для изучения биологических систем, таких как геномы, белки,[72] или мембраны.[73]Системы могут быть изучены в крупнозернистом или ab initio каркасы в зависимости от желаемой точности. Компьютерное моделирование позволяет нам отслеживать локальную среду конкретного объекта. молекула чтобы увидеть, есть ли химическая реакция происходит, например. В случаях, когда невозможно провести физический эксперимент, мысленные эксперименты могут проводиться (например: разрыв связей, введение примесей в определенные места, изменение локальной / глобальной структуры или введение внешних полей).

Компьютерная графика

Трассировка пути, иногда называемая трассировкой лучей Монте-Карло, визуализирует трехмерную сцену путем случайного отслеживания выборок возможных световых путей. Повторная выборка любого заданного пикселя в конечном итоге приведет к тому, что среднее значение выборок сведется к правильному решению уравнение рендеринга, что делает его одним из наиболее физически точных существующих методов рендеринга 3D-графики.

Прикладная статистика

Стандарты для экспериментов Монте-Карло в статистике были установлены Савиловским.[74] В прикладной статистике методы Монте-Карло могут использоваться как минимум для четырех целей:

  1. Для сравнения конкурирующих статистических данных для небольших выборок в условиях реальных данных. Несмотря на то что ошибка типа I и степенные свойства статистики могут быть рассчитаны для данных, взятых из классических теоретических распределений (например, нормальная кривая, Распределение Коши ) за асимптотический условия (я. е, бесконечный размер выборки и бесконечно малый эффект обработки), реальные данные часто не имеют такого распределения.[75]
  2. Обеспечить реализацию проверка гипотез которые более эффективны, чем точные тесты, такие как перестановочные тесты (которые часто невозможно вычислить), будучи более точными, чем критические значения для асимптотические распределения.
  3. Чтобы предоставить случайную выборку из апостериорного распределения в Байесовский вывод. Затем этот образец аппроксимирует и суммирует все основные особенности заднего отдела.
  4. Для обеспечения эффективных случайных оценок матрицы Гессе функции отрицательного логарифма правдоподобия, которая может быть усреднена для формирования оценки Информация Fisher матрица.[76][77]

Методы Монте-Карло также представляют собой компромисс между приблизительной рандомизацией и перестановочными тестами. Примерный рандомизационный тест основан на заданном подмножестве всех перестановок (что влечет за собой потенциально огромную уборку, при которой перестановки рассматривались). Подход Монте-Карло основан на заданном количестве случайно выбранных перестановок (замена незначительной потери точности, если перестановка рисуется дважды - или чаще - на эффективность отсутствия необходимости отслеживать, какие перестановки уже были выбраны).

Искусственный интеллект для игр

Основная статья: Поиск в дереве Монте-Карло

Методы Монте-Карло превратились в метод, названный Поиск по дереву Монте-Карло это полезно для поиска лучшего хода в игре. Возможные ходы организованы в дерево поиска и множество случайных симуляций используются для оценки долгосрочного потенциала каждого шага. Симулятор черного ящика представляет действия противника.[78]

Метод поиска по дереву Монте-Карло (MCTS) состоит из четырех этапов:[79]

  1. Начиная с корневого узла дерева, выбирайте оптимальные дочерние узлы, пока не будет достигнут листовой узел.
  2. Разверните листовой узел и выберите одного из его дочерних узлов.
  3. Сыграйте в имитацию игры, начиная с этого узла.
  4. Используйте результаты этой моделируемой игры, чтобы обновить узел и его предков.

Чистый эффект в ходе многих смоделированных игр состоит в том, что значение узла, представляющего движение, будет увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, представляет ли этот узел хороший ход.

Поиск по дереву Монте-Карло успешно использовался для игр, таких как Идти,[80] Тантрикс,[81] Линкор,[82] Гаванна,[83] и Аримаа.[84]

Смотрите также: Computer Go

Дизайн и визуальные эффекты

Методы Монте-Карло также эффективны при решении связанных интегрально-дифференциальных уравнений полей излучения и переноса энергии, и поэтому эти методы использовались в глобальное освещение вычисления, которые создают фотореалистичные изображения виртуальных 3D-моделей, с приложениями в видеоигры, архитектура, дизайн, компьютерная фильмы, и кинематографические спецэффекты.[85]

Поиск и спасение

В Береговая охрана США использует методы Монте-Карло в своем программном обеспечении для компьютерного моделирования SAROPS для расчета вероятного местонахождения судов во время поиск и спасение операции. Каждое моделирование может генерировать до десяти тысяч точек данных, которые случайным образом распределяются на основе предоставленных переменных.[86] Затем на основе экстраполяции этих данных генерируются шаблоны поиска для оптимизации вероятности сдерживания (POC) и вероятности обнаружения (POD), которые вместе будут равны общей вероятности успеха (POS). В конечном итоге это служит практическим применением распределение вероятностей чтобы обеспечить самый быстрый и наиболее целесообразный способ спасения, спасая жизни и ресурсы.[87]

Финансы и бизнес

Смотрите также: Методы Монте-Карло в финансах, Квази-Монте-Карло методы в финансах, Методы Монте-Карло для ценообразования опционов, Стохастическое моделирование (страхование), и Стохастическая модель актива

Моделирование методом Монте-Карло обычно используется для оценки риска и неопределенности, которые могут повлиять на результат различных вариантов решения. Моделирование методом Монте-Карло позволяет аналитику бизнес-рисков учитывать общие эффекты неопределенности в таких переменных, как объем продаж, цены на товары и рабочую силу, процентные ставки и обменные курсы, а также влияние отдельных событий риска, таких как расторжение контракта или изменение налоговое право.

Методы Монте-Карло в финансах часто используются оценивать инвестиции в проекты на уровне бизнес-единицы или корпорации, или другие финансовые оценки. Их можно использовать для моделирования графики проекта, где моделирование объединяет оценки для наихудшего, наилучшего и наиболее вероятного продолжительности каждой задачи, чтобы определить результаты для всего проекта.[1] Методы Монте-Карло также используются при ценообразовании опционов, анализе риска дефолта.[88][89][90] Кроме того, их можно использовать для оценки финансовых последствий медицинских вмешательств.[91]

Закон

Подход Монте-Карло использовался для оценки потенциальной ценности предлагаемой программы, чтобы помочь женщинам-петиционерам в Висконсине успешно подать заявки на получение домогательство и запретительные судебные приказы о домашнем насилии. Было предложено помочь женщинам добиться успеха в их петициях, предоставив им более широкую поддержку, тем самым потенциально снизив риск изнасилование и физическое нападение. Однако действовало множество переменных, которые нельзя было точно оценить, в том числе эффективность запретительных судебных приказов, успешность заявителей как с защитой, так и без нее, и многие другие. В ходе исследования были проведены испытания, в которых варьировались эти переменные, чтобы дать общую оценку уровня успеха предлагаемой программы в целом.[92]

Использование в математике

В общем, методы Монте-Карло используются в математике для решения различных задач путем генерации подходящих случайных чисел (см. Также Генерация случайных чисел ) и наблюдение той части чисел, которая подчиняется некоторому свойству или свойствам. Метод полезен для получения численных решений задач, слишком сложных для решения аналитически. Наиболее распространенное применение метода Монте-Карло - интеграция Монте-Карло.

Интеграция

Основная статья: Интеграция Монте-Карло
Интеграция Монте-Карло работает путем сравнения случайных точек со значением функции.
Ошибки уменьшаются в раз

Детерминированный численное интегрирование алгоритмы хорошо работают в небольшом количестве измерений, но сталкиваются с двумя проблемами, когда функции имеют много переменных. Во-первых, количество необходимых оценок функций быстро увеличивается с увеличением количества измерений. Например, если 10 оценок обеспечивают адекватную точность в одном измерении, тогда 10100 точки необходимы для 100 измерений - их слишком много, чтобы их можно было вычислить. Это называется проклятие размерности. Во-вторых, граница многомерной области может быть очень сложной, поэтому может оказаться невозможным свести проблему к повторный интеграл.[93] 100 размеры is by no means unusual, since in many physical problems, a "dimension" is equivalent to a степень свободы.

Monte Carlo methods provide a way out of this exponential increase in computation time. As long as the function in question is reasonably хорошо воспитанный, it can be estimated by randomly selecting points in 100-dimensional space, and taking some kind of average of the function values at these points. Посредством Центральная предельная теорема, this method displays convergence—i.e., quadrupling the number of sampled points halves the error, regardless of the number of dimensions.[93]

A refinement of this method, known as importance sampling in statistics, involves sampling the points randomly, but more frequently where the integrand is large. To do this precisely one would have to already know the integral, but one can approximate the integral by an integral of a similar function or use adaptive routines such as stratified sampling, recursive stratified sampling, adaptive umbrella sampling[94][95] или VEGAS algorithm.

A similar approach, the quasi-Monte Carlo method, uses low-discrepancy sequences. These sequences "fill" the area better and sample the most important points more frequently, so quasi-Monte Carlo methods can often converge on the integral more quickly.

Another class of methods for sampling points in a volume is to simulate random walks over it (Цепь Маркова Монте-Карло ). Such methods include the Алгоритм Метрополиса – Гастингса, Выборка Гиббса, Wang and Landau algorithm, and interacting type MCMC methodologies such as the последовательный Монте-Карло samplers.[96]

Simulation and optimization

Основная статья: Стохастическая оптимизация

Another powerful and very popular application for random numbers in numerical simulation is in численная оптимизация. The problem is to minimize (or maximize) functions of some vector that often has many dimensions. Many problems can be phrased in this way: for example, a компьютерные шахматы program could be seen as trying to find the set of, say, 10 moves that produces the best evaluation function at the end. в traveling salesman problem the goal is to minimize distance traveled. There are also applications to engineering design, such as мультидисциплинарная оптимизация дизайна. It has been applied with quasi-one-dimensional models to solve particle dynamics problems by efficiently exploring large configuration space. Ссылка[97] is a comprehensive review of many issues related to simulation and optimization.

В traveling salesman problem is what is called a conventional optimization problem. That is, all the facts (distances between each destination point) needed to determine the optimal path to follow are known with certainty and the goal is to run through the possible travel choices to come up with the one with the lowest total distance. However, let's assume that instead of wanting to minimize the total distance traveled to visit each desired destination, we wanted to minimize the total time needed to reach each destination. This goes beyond conventional optimization since travel time is inherently uncertain (traffic jams, time of day, etc.). As a result, to determine our optimal path we would want to use simulation - optimization to first understand the range of potential times it could take to go from one point to another (represented by a probability distribution in this case rather than a specific distance) and then optimize our travel decisions to identify the best path to follow taking that uncertainty into account.

Обратные задачи

Probabilistic formulation of обратные задачи leads to the definition of a распределение вероятностей in the model space. This probability distribution combines прежний information with new information obtained by measuring some observable parameters (data).As, in the general case, the theory linking data with model parameters is nonlinear, the posterior probability in the model space may not be easy to describe (it may be multimodal, some moments may not be defined, etc.).

When analyzing an inverse problem, obtaining a maximum likelihood model is usually not sufficient, as we normally also wish to have information on the resolution power of the data. In the general case we may have many model parameters, and an inspection of the marginal probability densities of interest may be impractical, or even useless. But it is possible to pseudorandomly generate a large collection of models according to the posterior probability distribution and to analyze and display the models in such a way that information on the relative likelihoods of model properties is conveyed to the spectator. This can be accomplished by means of an efficient Monte Carlo method, even in cases where no explicit formula for the априори distribution is available.

The best-known importance sampling method, the Metropolis algorithm, can be generalized, and this gives a method that allows analysis of (possibly highly nonlinear) inverse problems with complex априори information and data with an arbitrary noise distribution.[98][99]

Философия

Popular exposition of the Monte Carlo Method was conducted by McCracken[100]. Method's general philosophy was discussed by Елисаков[101] and Grüne-Yanoff and Weirich[102].

Смотрите также

Рекомендации

Цитаты

  1. ^ Kroese, D. P.; Brereton, T.; Taimre, T .; Botev, Z. I. (2014). "Why the Monte Carlo method is so important today". WIREs Comput Stat. 6 (6): 386–392. Дои:10.1002/wics.1314. S2CID  18521840.
  2. ^ Hubbard, Douglas; Samuelson, Douglas A. (October 2009). "Modeling Without Measurements". OR/MS Today: 28–33.
  3. ^ Metropolis, Nicholas; Rosenbluth, Arianna W.; Rosenbluth, Marshall N.; Teller, Augusta H.; Teller, Edward (1953-06-01). "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines". Журнал химической физики. 21 (6): 1087–1092. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. Дои:10.1063/1.1699114. ISSN  0021-9606. S2CID  1046577.
  4. ^ Hastings, W. K. (1970-04-01). "Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications". Биометрика. 57 (1): 97–109. Bibcode:1970Bimka..57...97H. Дои:10.1093 / biomet / 57.1.97. ISSN  0006-3444. S2CID  21204149.
  5. ^ Liu, Jun S.; Liang, Faming; Wong, Wing Hung (2000-03-01). "The Multiple-Try Method and Local Optimization in Metropolis Sampling". Журнал Американской статистической ассоциации. 95 (449): 121–134. Дои:10.1080/01621459.2000.10473908. ISSN  0162-1459. S2CID  123468109.
  6. ^ Spall, J. C. (2003). "Estimation via Markov Chain Monte Carlo". Журнал IEEE Control Systems. 23 (2): 34–45. Дои:10.1109/MCS.2003.1188770.
  7. ^ Hill, Stacy D.; Spall, James C. (2019). "Stationarity and Convergence of the Metropolis-Hastings Algorithm: Insights into Theoretical Aspects". Журнал IEEE Control Systems. 39: 56–67. Дои:10.1109/MCS.2018.2876959. S2CID  58672766.
  8. ^ а б Kolokoltsov, Vassili (2010). Nonlinear Markov processes. Cambridge Univ. Нажмите. п. 375.
  9. ^ а б c Del Moral, Pierre (2013). Mean field simulation for Monte Carlo integration. Чепмен и Холл / CRC Press. п. 626. Monographs on Statistics & Applied Probability
  10. ^ Del Moral, P; Doucet, A; Jasra, A (2006). "Sequential Monte Carlo samplers". Журнал Королевского статистического общества, серия B. 68 (3): 411–436. arXiv:cond-mat/0212648. Дои:10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. S2CID  12074789.
  11. ^ Kalos & Whitlock 2008.
  12. ^ а б c Метрополис 1987.
  13. ^ Eckhardt 1987.
  14. ^ Mazhdrakov, Benov & Valkanov 2018, п. 250.
  15. ^ Peragine, Michael (2013). Универсальный разум: эволюция машинного интеллекта и психологии человека. Xiphias Press. Получено 2018-12-17.
  16. ^ McKean, Henry, P. (1967). "Propagation of chaos for a class of non-linear parabolic equations". Lecture Series in Differential Equations, Catholic Univ. 7: 41–57.
  17. ^ McKean, Henry, P. (1966). "A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations". Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 56 (6): 1907–1911. Bibcode:1966PNAS...56.1907M. Дои:10.1073 / пнас.56.6.1907. ЧВК  220210. PMID  16591437.
  18. ^ Herman, Kahn; Theodore, Harris E. (1951). "Estimation of particle transmission by random sampling" (PDF). Natl. Bur. Stand. Appl. Математика. Сер. 12: 27–30.
  19. ^ Turing, Alan M. (1950). "Computing machinery and intelligence". Разум. LIX (238): 433–460. Дои:10.1093/mind/LIX.236.433.
  20. ^ Barricelli, Nils Aall (1954). "Esempi numerici di processi di evoluzione". Methodos: 45–68.
  21. ^ Barricelli, Nils Aall (1957). "Symbiogenetic evolution processes realized by artificial methods". Methodos: 143–182.
  22. ^ а б Del Moral, Pierre (2004). Feynman–Kac formulae. Genealogical and interacting particle approximations. Probability and Its Applications. Springer. п. 575. ISBN  9780387202686. Series: Probability and Applications
  23. ^ а б Del Moral, P.; Miclo, L. (2000). "Branching and interacting particle systems approximations of Feynman–Kac formulae with applications to non-linear filtering". Séminaire de Probabilités, XXXIV. Конспект лекций по математике. 1729. Берлин: Springer. pp. 1–145. Дои:10.1007/BFb0103798. ISBN  978-3-540-67314-9. МИСТЕР  1768060.
  24. ^ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2000). "A Moran particle system approximation of Feynman–Kac formulae". Стохастические процессы и их приложения. 86 (2): 193–216. Дои:10.1016/S0304-4149(99)00094-0.
  25. ^ Del Moral, Pierre (2003). "Particle approximations of Lyapunov exponents connected to Schrödinger operators and Feynman–Kac semigroups". ESAIM Probability & Statistics. 7: 171–208. Дои:10.1051/ps:2003001.
  26. ^ Assaraf, Roland; Caffarel, Michel; Khelif, Anatole (2000). "Diffusion Monte Carlo Methods with a fixed number of walkers" (PDF). Phys. Ред. E. 61 (4): 4566–4575. Bibcode:2000PhRvE..61.4566A. Дои:10.1103/physreve.61.4566. PMID  11088257. Архивировано из оригинал (PDF) on 2014-11-07.
  27. ^ Caffarel, Michel; Ceperley, David; Kalos, Malvin (1993). "Comment on Feynman–Kac Path-Integral Calculation of the Ground-State Energies of Atoms". Phys. Rev. Lett. 71 (13): 2159. Bibcode:1993PhRvL..71.2159C. Дои:10.1103/physrevlett.71.2159. PMID  10054598.
  28. ^ а б Hetherington, Jack, H. (1984). "Observations on the statistical iteration of matrices". Phys. Ред. А. 30 (2713): 2713–2719. Bibcode:1984PhRvA..30.2713H. Дои:10.1103/PhysRevA.30.2713.
  29. ^ Fermi, Enrique; Richtmyer, Robert, D. (1948). "Note on census-taking in Monte Carlo calculations" (PDF). LAM. 805 (А). Declassified report Los Alamos Archive
  30. ^ а б Rosenbluth, Marshall, N.; Rosenbluth, Arianna, W. (1955). "Monte-Carlo calculations of the average extension of macromolecular chains". J. Chem. Phys. 23 (2): 356–359. Bibcode:1955JChPh..23..356R. Дои:10.1063/1.1741967. S2CID  89611599.
  31. ^ Gordon, N.J.; Salmond, D.J.; Smith, A.F.M. (April 1993). "Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation". IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing. 140 (2): 107–113. Дои:10.1049/ip-f-2.1993.0015. ISSN  0956-375X. S2CID  12644877.
  32. ^ Kitagawa, G. (1996). "Monte carlo filter and smoother for non-Gaussian nonlinear state space models". Журнал вычислительной и графической статистики. 5 (1): 1–25. Дои:10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
  33. ^ а б Del Moral, Pierre (1996). "Non Linear Filtering: Interacting Particle Solution" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 2 (4): 555–580.
  34. ^ Carvalho, Himilcon; Del Moral, Pierre; Monin, André; Salut, Gérard (July 1997). "Optimal Non-linear Filtering in GPS/INS Integration" (PDF). IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. 33 (3): 835. Bibcode:1997ITAES..33..835C. Дои:10.1109/7.599254. S2CID  27966240.
  35. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: An unified framework for particle solutions". LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 91137, DRET-DIGILOG- LAAS/CNRS contract, April (1991).
  36. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Nonlinear and non Gaussian particle filters applied to inertial platform repositioning." LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 92207, STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS Convention STCAN no. A.91.77.013, (94p.) September (1991).
  37. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: Particle resolution in filtering and estimation: Experimental results". Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.2 (54p.), January (1992).
  38. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: Particle resolution in filtering and estimation: Theoretical results".Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.3 (123p.), October (1992).
  39. ^ P. Del Moral, J.-Ch. Noyer, G. Rigal, and G. Salut. "Particle filters in radar signal processing: detection, estimation and air targets recognition". LAAS-CNRS, Toulouse, Research report no. 92495, December (1992).
  40. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. "Estimation and nonlinear optimal control: Particle resolution in filtering and estimation". Studies on: Filtering, optimal control, and maximum likelihood estimation. Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01. Research report no.4 (210p.), January (1993).
  41. ^ Del Moral, Pierre (1998). "Measure Valued Processes and Interacting Particle Systems. Application to Non Linear Filtering Problems". Анналы прикладной вероятности (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) ed.). 8 (2): 438–495. CiteSeerX  10.1.1.55.5257. Дои:10.1214/aoap/1028903535.
  42. ^ Crisan, Dan; Gaines, Jessica; Lyons, Terry (1998). "Convergence of a branching particle method to the solution of the Zakai". Журнал SIAM по прикладной математике. 58 (5): 1568–1590. Дои:10.1137/s0036139996307371. S2CID  39982562.
  43. ^ Crisan, Dan; Lyons, Terry (1997). "Nonlinear filtering and measure-valued processes". Теория вероятностей и смежные области. 109 (2): 217–244. Дои:10.1007/s004400050131. S2CID  119809371.
  44. ^ Crisan, Dan; Lyons, Terry (1999). "A particle approximation of the solution of the Kushner–Stratonovitch equation". Теория вероятностей и смежные области. 115 (4): 549–578. Дои:10.1007/s004400050249. S2CID  117725141.
  45. ^ Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1999). "Discrete filtering using branching and interacting particle systems" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 5 (3): 293–318.
  46. ^ Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (1999). "On the stability of Measure Valued Processes with Applications to filtering". C. R. Acad. Sci. Париж. 39 (1): 429–434.
  47. ^ Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (2001). "On the stability of interacting processes with applications to filtering and genetic algorithms". Annales de l'Institut Анри Пуанкаре. 37 (2): 155–194. Bibcode:2001AnIHP..37..155D. Дои:10.1016/s0246-0203(00)01064-5.
  48. ^ Ripley 1987
  49. ^ а б Sawilowsky 2003
  50. ^ Kalos & Whitlock 2008
  51. ^ Shojaeefard, MH; Khalkhali, A; Yarmohammadisatri, Sadegh (2017). "An efficient sensitivity analysis method for modified geometry of Macpherson suspension based on Pearson Correlation Coefficient". Vehicle System Dynamics. 55 (6): 827–852. Bibcode:2017VSD....55..827S. Дои:10.1080/00423114.2017.1283046. S2CID  114260173.
  52. ^ Davenport 1992
  53. ^ Route, Matthew (August 10, 2017). "Radio-flaring Ultracool Dwarf Population Synthesis". Астрофизический журнал. 845 (1): 66. arXiv:1707.02212. Bibcode:2017ApJ...845...66R. Дои:10.3847/1538-4357/aa7ede. S2CID  118895524.
  54. ^ Vose 2000, п. 13
  55. ^ Vose 2000, п. 16
  56. ^ Jia, Xun; Ziegenhein, Peter; Jiang, Steve B (2014). "GPU-based high-performance computing for radiation therapy". Физика в медицине и биологии. 59 (4): R151–R182. Bibcode:2014PMB....59R.151J. Дои:10.1088/0031-9155/59/4/R151. ЧВК  4003902. PMID  24486639.
  57. ^ Hill, R; Healy, B; Holloway, L; Kuncic, Z; Thwaites, D; Baldock, C (Mar 2014). "Advances in kilovoltage x-ray beam dosimetry". Физика в медицине и биологии. 59 (6): R183–R231. Bibcode:2014PMB....59R.183H. Дои:10.1088/0031-9155/59/6/R183. PMID  24584183. S2CID  18082594.
  58. ^ Rogers, D W O (2006). "Fifty years of Monte Carlo simulations for medical physics". Физика в медицине и биологии. 51 (13): R287–R301. Bibcode:2006PMB....51R.287R. Дои:10.1088/0031-9155/51/13/R17. PMID  16790908. S2CID  12066026.
  59. ^ Baeurle 2009
  60. ^ Möller, W.; Eckstein, W. (1984-03-01). "Tridyn — A TRIM simulation code including dynamic composition changes". Ядерные инструменты и методы в физических исследованиях Секция B: Взаимодействие пучка с материалами и атомами. 2 (1): 814–818. Bibcode:1984NIMPB...2..814M. Дои:10.1016/0168-583X(84)90321-5.
  61. ^ MacGillivray & Dodd 1982
  62. ^ Golden 1979
  63. ^ Маждраков, Методи; Бенов, Добрян; Валканов, Николай (2018). Метод Монте-Карло. Инженерные приложения. ACMO Academic Press. п. 250. ISBN  978-619-90684-3-4.
  64. ^ Int Panis et al. 2001 г.
  65. ^ Int Panis et al. 2002 г.
  66. ^ G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics, Clarendon, Oxford (1976)
  67. ^ Дитрих, С .; Boyd, I. (1996). "A Scalar optimized parallel implementation of the DSMC technique". Журнал вычислительной физики. 126 (2): 328–42. Bibcode:1996JCoPh.126..328D. Дои:10.1006/jcph.1996.0141.
  68. ^ Nabian, Mohammad Amin; Meidani, Hadi (2017-08-28). "Deep Learning for Accelerated Reliability Analysis of Infrastructure Networks". Компьютерное проектирование строительства и инфраструктуры. 33 (6): 443–458. arXiv:1708.08551. Bibcode:2017arXiv170808551N. Дои:10.1111/mice.12359. S2CID  36661983.
  69. ^ Nabian, Mohammad Amin; Meidani, Hadi (2018). "Accelerating Stochastic Assessment of Post-Earthquake Transportation Network Connectivity via Machine-Learning-Based Surrogates". Transportation Research Board 97th Annual Meeting.
  70. ^ Nabian, Mohammad Amin; Meidani, Hadi (2017). "Uncertainty Quantification and PCA-Based Model Reduction for Parallel Monte Carlo Analysis of Infrastructure System Reliability". Transportation Research Board 96th Annual Meeting.
  71. ^ Climate Change 2013 The Physical Science Basis (PDF). Издательство Кембриджского университета. 2013. с. 697. ISBN  978-1-107-66182-0. Получено 2 марта 2016.
  72. ^ Ojeda & et al. 2009 г.,
  73. ^ Milik & Skolnick 1993
  74. ^ Cassey; Smith (2014). "Simulating confidence for the Ellison-Glaeser Index". Journal of Urban Economics. 81: 93. Дои:10.1016/j.jue.2014.02.005.
  75. ^ Sawilowsky & Fahoome 2003
  76. ^ Spall, James C. (2005). "Monte Carlo Computation of the Fisher Information Matrix in Nonstandard Settings". Журнал вычислительной и графической статистики. 14 (4): 889–909. CiteSeerX  10.1.1.142.738. Дои:10.1198/106186005X78800. S2CID  16090098.
  77. ^ Das, Sonjoy; Spall, James C.; Ghanem, Roger (2010). "Efficient Monte Carlo computation of Fisher information matrix using prior information". Вычислительная статистика и анализ данных. 54 (2): 272–289. Дои:10.1016/j.csda.2009.09.018.
  78. ^ Guillaume Chaslot; Sander Bakkes; Istvan Szita; Pieter Spronck. "Monte-Carlo Tree Search: A New Framework for Game AI" (PDF). Sander.landofsand.com. Получено 28 октября 2017.
  79. ^ "Monte Carlo Tree Search - About". Архивировано из оригинал на 2015-11-29. Получено 2013-05-15.
  80. ^ Chaslot, Guillaume M. J. -B; Winands, Mark H. M; Van Den Herik, H. Jaap (2008). Parallel Monte-Carlo Tree Search. Конспект лекций по информатике. 5131. С. 60–71. CiteSeerX  10.1.1.159.4373. Дои:10.1007/978-3-540-87608-3_6. ISBN  978-3-540-87607-6.
  81. ^ Bruns, Pete. Monte-Carlo Tree Search in the game of Tantrix: Cosc490 Final Report (PDF) (Отчет).
  82. ^ David Silver; Joel Veness. "Monte-Carlo Planning in Large POMDPs" (PDF). 0.cs.ucl.ac.uk. Получено 28 октября 2017.
  83. ^ Lorentz, Richard J (2011). "Improving Monte–Carlo Tree Search in Havannah". Computers and Games. Конспект лекций по информатике. 6515. pp. 105–115. Bibcode:2011LNCS.6515..105L. Дои:10.1007/978-3-642-17928-0_10. ISBN  978-3-642-17927-3.
  84. ^ Tomas Jakl. "Arimaa challenge – comparison study of MCTS versus alpha-beta methods" (PDF). Arimaa.com. Получено 28 октября 2017.
  85. ^ Szirmay–Kalos 2008
  86. ^ "How the Coast Guard Uses Analytics to Search for Those Lost at Sea". Dice Insights. 2014-01-03.
  87. ^ Lawrence D. Stone; Thomas M. Kratzke; John R. Frost. "Search Modeling and Optimization in USCG's Search and Rescue Optimal Planning System (SAROPS)" (PDF). Ifremer.fr. Получено 28 октября 2017.
  88. ^ Кармона, Рене; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). Carmona, René A.; Moral, Pierre Del; Hu, Peng; и другие. (ред.). An Introduction to Particle Methods with Financial Applications. Numerical Methods in Finance. Springer Proceedings in Mathematics. 12. Springer Berlin Heidelberg. pp. 3–49. CiteSeerX  10.1.1.359.7957. Дои:10.1007/978-3-642-25746-9_1. ISBN  978-3-642-25745-2.
  89. ^ Кармона, Рене; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). Numerical Methods in Finance. Springer Proceedings in Mathematics. 12. Дои:10.1007/978-3-642-25746-9. ISBN  978-3-642-25745-2.
  90. ^ Kroese, D. P.; Taimre, T .; Botev, Z. I. (2011). Справочник по методам Монте-Карло. Джон Вили и сыновья.
  91. ^ Arenas, Daniel J.; Lett, Lanair A.; Klusaritz, Heather; Teitelman, Anne M. (2017). "A Monte Carlo simulation approach for estimating the health and economic impact of interventions provided at a student-run clinic". PLOS ONE. 12 (12): e0189718. Bibcode:2017PLoSO..1289718A. Дои:10.1371/journal.pone.0189718. ЧВК  5746244. PMID  29284026.
  92. ^ Elwart, Liz; Emerson, Nina; Enders, Christina; Fumia, Dani; Murphy, Kevin (December 2006). "Increasing Access to Restraining Orders for Low Income Victims of Domestic Violence: A Cost-Benefit Analysis of the Proposed Domestic Abuse Grant Program" (PDF). Адвокатура штата Висконсин. Архивировано из оригинал (PDF) 6 ноября 2018 г.. Получено 2016-12-12.
  93. ^ а б Press et al. 1996 г.
  94. ^ MEZEI, M (31 December 1986). "Adaptive umbrella sampling: Self-consistent determination of the non-Boltzmann bias". Журнал вычислительной физики. 68 (1): 237–248. Bibcode:1987JCoPh..68..237M. Дои:10.1016/0021-9991(87)90054-4.
  95. ^ Бартельс, Кристиан; Karplus, Martin (31 December 1997). "Probability Distributions for Complex Systems: Adaptive Umbrella Sampling of the Potential Energy". Журнал физической химии B. 102 (5): 865–880. Дои:10.1021/jp972280j.
  96. ^ Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Jasra, Ajay (2006). "Sequential Monte Carlo samplers". Журнал Королевского статистического общества, серия B. 68 (3): 411–436. arXiv:cond-mat/0212648. Дои:10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. S2CID  12074789.
  97. ^ Spall, J. C. (2003), Introduction to Stochastic Search and Optimization: Estimation, Simulation, and Control, Wiley, Hoboken, NJ. http://www.jhuapl.edu/ISSO
  98. ^ Mosegaard & Tarantola 1995
  99. ^ Tarantola 2005
  100. ^ McCracken, D. D., (1955) The Monte Carlo Method, Scientific American, 192(5), pp. 90-97
  101. ^ Elishakoff, I., (2003) Notes on Philosophy of the Monte Carlo Method, International Applied Mechanics, 39(7), pp.753-762
  102. ^ Grüne-Yanoff, T., & Weirich, P. (2010). The philosophy and epistemology of simulation: A review, Simulation & Gaming, 41(1), pp. 20-50

Источники

внешняя ссылка