В математика, а зависящее от времени векторное поле это конструкция в векторное исчисление что обобщает понятие векторные поля. Его можно рассматривать как векторное поле, которое движется с течением времени. Для каждого момента времени он связывает вектор к каждой точке в Евклидово пространство или в многообразие.
Определение
А зависящее от времени векторное поле на коллекторе M карта из открытого подмножества
на ![TM](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea000afb5769206ddd5fd43f458430d04422ddeb)
![{displaystyle X: Omega subset mathbb {R} imes Mlongrightarrow TM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ea51413a03b9330245e8c242630d5f7ca4bf3d)
![(t, x) longmapsto X (t, x) = X_ {t} (x) в T_ {x} M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2efbb18df8a600157c8cd7f7862a903016a0ce)
так что для каждого
,
является элементом
.
Для каждого
так что набор
![Omega _ {t} = {xin M | (t, x) в Omega} подмножестве M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a9a01d1ee75a2d296b9849c34142b77b8357ee)
является непустой,
- векторное поле в обычном смысле, определенное на открытом множестве
.
Связанное дифференциальное уравнение
Учитывая зависящее от времени векторное поле Икс на коллекторе M, мы можем связать с ним следующие дифференциальное уравнение:
![{гидроразрыв {dx} {dt}} = X (t, x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e58676c199faf97f92a2d0b29f30c7c9ecf5fe)
который называется неавтономный по определению.
Интегральная кривая
An интегральная кривая приведенного выше уравнения (также называемого интегральной кривой Икс) - это карта
![{displaystyle alpha: Isubset mathbb {R} longrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8dcd9fa9ed69993b028c695c57c25fa57e416f8)
такой, что
,
является элементом область определения из Икс и
.
Эквивалентность векторным полям, не зависящим от времени
Независимое от времени векторное поле
на
можно рассматривать как векторное поле
на
куда
не зависит от ![{displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
И наоборот, связанный с зависящим от времени векторным полем
на
не зависит от времени ![{Ильде {X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b6c2d2aa76b9cf010d897dc2ce988acf539624)
![{displaystyle mathbb {R} показывает Mi (t, p) mapsto {dfrac {partial} {partial t}} {Biggl |} _ {t} + X (p) в T _ {(t, p)} (mathbb {R } imes M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f082d52bcb5349753d2893761d498981300e16b)
на
В координатах,
![{displaystyle {ilde {X}} (t, x) = (1, X (t, x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0473d05c08810716bb1a7f268f9a88986b39d7)
Система автономных дифференциальных уравнений для
эквивалентен неавтономным для
и
является биекцией между множествами интегральных кривых
и
соответственно.
Поток
В поток зависящего от времени векторного поля Икс, - единственное дифференцируемое отображение
![{displaystyle F: D (X) subset mathbb {R} imes Omega longrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964d706186ed35afe5b9d606a91658be6b890534)
так что для каждого
,
![tlongrightarrow F (t, t_ {0}, x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e865fc4f30fa7c7356c19d788b614ab206044fb5)
интегральная кривая
из Икс это удовлетворяет
.
Характеристики
Мы определяем
в качестве ![F _ {{t, s}} (p) = F (t, s, p)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93df1b424e59f19bfaf0091709c2e18a37e61900)
- Если
и
тогда ![F _ {{t_ {2}, t_ {1}}} circ F _ {{t_ {1}, t_ {0}}} (p) = F _ {{t_ {2}, t_ {0}}} (p)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd1d7d694c55f2a191d74db5de4aae586b5c30f)
,
это диффеоморфизм с обратный
.
Приложения
Позволять Икс и Y быть гладкими зависящими от времени векторными полями и
поток Икс. Можно доказать следующее тождество:
![{frac {d} {dt}} осталось. {!! {frac {} {}}} ight | _ {{t = t_ {1}}} (F _ {{t, t_ {0}}} ^ {* } Y_ {t}) _ {p} = left (F _ {{t_ {1}, t_ {0}}} ^ {*} left ([X _ {{t_ {1}}}, Y _ {{t_ {1} }}}] + {frac {d} {dt}} влево. {!! {frac {} {}}} ight | _ {{t = t_ {1}}} Y_ {t} ight) ight) _ { п}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc669b795d3f438a4bb215cb104f523dbc0191de)
Кроме того, мы можем определить зависящие от времени тензорные поля аналогичным образом и доказать это аналогичное тождество, предполагая, что
- гладкое тензорное поле, зависящее от времени:
![{frac {d} {dt}} осталось. {!! {frac {} {}}} ight | _ {{t = t_ {1}}} (F _ {{t, t_ {0}}} ^ {* } eta _ {t}) _ {p} = left (F _ {{t_ {1}, t_ {0}}} ^ {*} left ({mathcal {L}} _ {{X _ {{t_ {1}) }}}} eta _ {{t_ {1}}} + {frac {d} {dt}} осталось. {!! {frac {} {}}} ight | _ {{t = t_ {1}}} eta _ {t} ight) ight) _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32ca46ed2579e62a78898411db0f34f7c54d145)
Последнее тождество полезно для доказательства Теорема Дарбу.
Рекомендации
- Ли, Джон М., Введение в гладкие многообразия, Springer-Verlag, Нью-Йорк (2003) ISBN 0-387-95495-3. Учебник для аспирантов по гладким многообразиям.