Теорема Нётерса - Noethers theorem - Wikipedia

Эта статья посвящена первой теореме Эмми Нётер, которая выводит сохраняемые величины из симметрий. Для использования в других целях см. Теорема Нётер (значения).

Первая страница Эмми Нётер статья «Проблема инвариантных вариаций» (1918), в которой она доказала свою теорему.

Теорема Нётер или же Первая теорема Нётер заявляет, что каждый дифференцируемый симметрия из действие физической системы имеет соответствующий закон сохранения.^[1] Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 г. и опубликовано в 1918 г.,^[2] после того, как особый случай был доказан Э. Коссера и Ф. Коссера в 1909 г.^[3] Действие физической системы - это интеграл с течением времени из Лагранжиан функция (которая может быть интеграл по пространству из Функция плотности лагранжиана ), из которого поведение системы может быть определено принцип наименьшего действия. Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическое пространство.

Теорема Нётер используется в теоретическая физика и вариационное исчисление. Обобщение формулировок на постоянные движения в лагранжиане и Гамильтонова механика (разработан в 1788 и 1833 годах, соответственно), он не применяется к системам, которые нельзя моделировать одним лагранжианом (например, системы с Функция диссипации Рэлея ). Особенно, диссипативный системы с непрерывные симметрии не обязательно иметь соответствующий закон сохранения.

Основные иллюстрации и фон

Например, если физическая система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, ее Лагранжиан симметричен относительно непрерывных вращений: из этой симметрии теорема Нётер гласит, что угловой момент системы, как следствие ее законов движения. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на его асимметрию. Это законы его движения симметричны.

В качестве другого примера, если физический процесс демонстрирует одни и те же результаты независимо от места или времени, то его лагранжиан симметричен относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения из линейный импульс и энергия в рамках этой системы соответственно.

Теорема Нётер важна как из-за того, что она дает понимание законов сохранения, так и как практический инструмент для расчетов. Это позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины (инварианты) из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, это позволяет исследователям рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы. В качестве иллюстрации предположим, что предлагается физическая теория, сохраняющая величину Икс. Исследователь может вычислить типы лагранжианов, сохраняющих Икс через непрерывную симметрию. В соответствии с теоремой Нётер свойства этих лагранжианов предоставляют дополнительные критерии для понимания последствий и оценки пригодности новой теории.

Существует множество версий теоремы Нётер с разной степенью общности. У этой теоремы есть естественные квантовые аналоги, выраженные в Личности Уорда-Такахаши. Обобщения теоремы Нётер на суперпространства тоже существуют.^{[нужна цитата ]}

Неформальная формулировка теоремы

Помимо всех тонких технических моментов, теорему Нётер можно сформулировать неформально.

Если система обладает свойством непрерывной симметрии, то существуют соответствующие величины, значения которых сохраняются во времени.^[4]

Более сложная версия теоремы о полях утверждает, что:

Каждому дифференцируемому симметрия порожденный локальными действиями соответствует сохраненный ток.

Слово «симметрия» в приведенном выше утверждении более точно относится к ковариация формы, которую принимает физический закон по отношению к одномерному Группа Ли преобразований, удовлетворяющих определенным техническим критериям. В закон сохранения из физическое количество обычно выражается как уравнение неразрывности.

Формальное доказательство теоремы использует условие инвариантности, чтобы получить выражение для тока, связанного с сохраняющейся физической величиной. В современном (с 1980 г.^[5]) по терминологии сохраняющаяся величина называется Нётер заряд, а поток, несущий этот заряд, называется Ток Нётер. Ток Нётер определяется вплоть до а соленоидный (бездивергентное) векторное поле.

В контексте гравитации Феликс Кляйн Утверждение теоремы Нётер о действии я предусматривает для инвариантов:^[6]

Если интеграл I инвариантен относительно непрерывной группы грамм_ρ с ρ параметры, то ρ линейно независимые комбинации лагранжевых выражений являются расходимостями.

Краткая иллюстрация и обзор концепции

График, иллюстрирующий теорему Нётер для покоординатной симметрии.

Основная идея теоремы Нётер легче всего иллюстрируется системой с одной координатой ${\displaystyle q}$ и непрерывная симметрия ${\displaystyle \varphi :q\mapsto q+\delta q}$ (серые стрелки на схеме). Рассмотрим любую траекторию ${\displaystyle q(t)}$ (жирный на схеме), удовлетворяющий законы движения. Это действие ${\displaystyle S}$ управление этой системой стационарный на этой траектории, т.е. не меняется ни при каких локальных вариация траектории. В частности, он не изменится при вариации, в которой применяется поток симметрии ${\displaystyle \varphi }$ на временном отрезке [т₀, т₁] и неподвижен вне этого сегмента. Чтобы траектория оставалась непрерывной, мы используем периоды "буферизации" небольшого времени. ${\displaystyle \tau }$ переходить между сегментами постепенно.

Полное изменение действия ${\displaystyle S}$ теперь включает изменения, вносимые каждым интервалом в игре. Части, в которых исчезает сама вариация, не приносят ${\displaystyle \Delta S}$. Средняя часть тоже не меняет действия, потому что ее трансформация ${\displaystyle \varphi }$ является симметрией и, таким образом, сохраняет лагранжиан ${\displaystyle L}$ и действие ${\textstyle S=\int L}$. Единственные оставшиеся части - это «буферные» части. Грубо говоря, они вносят свой вклад в основном своей "косой" ${\displaystyle {\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau }$.

Это изменяет лагранжиан на ${\displaystyle \Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}}$, который интегрируется в

${\displaystyle \Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\Bigl (}\pm {\frac {\delta q}{\tau }}{\Bigr )}\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi }$.

Эти последние термины, оцениваемые по конечным точкам ${\displaystyle t_{0}}$ и ${\displaystyle t_{1}}$, должны отменять друг друга, чтобы полностью изменить действие ${\displaystyle \Delta S}$ равняется нулю, как и следовало ожидать, если траектория является решением. То есть

${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi {\Bigr )}(t_{0})={\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi {\Bigr )}(t_{1})}$,

имея в виду количество ${\displaystyle {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\varphi }$ сохраняется, что является заключением теоремы Нётер. Например, если чистые переводы ${\displaystyle \varphi =const\ }$ симметрия, то сохраняющаяся величина становится просто ${\displaystyle {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}=p}$, канонический импульс.

Более общие случаи следуют той же идее:

Когда больше координат ${\displaystyle q_{r}}$ претерпеть преобразование симметрии ${\displaystyle q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}}$, их эффекты складываются по линейности в сохраняющуюся величину ${\displaystyle \sum _{r}{\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}{\bigr )}\varphi _{r}}$.

Когда есть временные трансформации ${\displaystyle t\mapsto t+T}$, они заставляют сегменты "буферизации" вносить два следующих члена в ${\displaystyle \Delta S}$:

${\displaystyle \Delta S\approx \pm {\Bigl (}TL+\int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}{\Bigr )}\approx \pm T{\Bigl (}L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}{\Bigr )}}$,

первый член обусловлен растяжением во временном измерении сегмента «буферизации» (который изменяет размер области интеграции), а второй - его «наклоном», как в примерном случае. Вместе они добавляют слагаемое ${\displaystyle T{\Bigl (}L-\sum _{r}{\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}{\bigr )}{\dot {q}}_{r}{\Bigr )}}$ к сохраненному количеству.

Наконец, когда вместо траектории ${\displaystyle q(t)}$ целые поля ${\displaystyle \psi (q_{r},t)}$ рассматриваются, аргумент заменяет

• интервал ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ с ограниченной областью ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle (q_{r},t)}$-домен,
• конечные точки ${\displaystyle t_{0}}$ и ${\displaystyle t_{1}}$ с границей ${\displaystyle \partial U}$ области,
• и его вклад в ${\displaystyle \Delta S}$ интерпретируется как поток сохраненный ток ${\displaystyle j_{r}}$, который построен аналогично предыдущему определению сохраняемой величины.

Теперь нулевой вклад "буферизации" ${\displaystyle \partial U}$ к ${\displaystyle \Delta S}$ интерпретируется как обращение в нуль полного потока тока ${\displaystyle j_{r}}$ сквозь ${\displaystyle \partial U}$. В этом смысле он сохраняется: сколько «втекает», столько же «вытекает».

Исторический контекст

Основные статьи: Постоянное движение, закон сохранения, и сохраненный ток

А закон сохранения заявляет, что некоторое количество Икс в математическом описании эволюции системы остается неизменным на протяжении всего ее движения - это инвариантный. Математически скорость изменения Икс (это производная относительно время ) равен нулю,

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.}$

Говорят, что такие количества сохраняются; их часто называют постоянные движения (хотя движение как таковой не нужно участвовать, просто эволюция во времени). Например, если энергия системы сохраняется, ее энергия всегда инвариантна, что накладывает ограничение на движение системы и может помочь в ее решении. Помимо понимания природы системы, которое такие постоянные движения дают, они являются полезным инструментом расчетов; например, приближенное решение можно исправить, найдя ближайшее состояние, удовлетворяющее подходящим законам сохранения.

Самые ранние обнаруженные константы движения были импульс и энергия, которые были предложены в 17 веке Рене Декарт и Готфрид Лейбниц на основе столкновение экспериментов и уточнены последующими исследователями. Исаак Ньютон был первым, кто провозгласил сохранение импульса в его современной форме, и показал, что это является следствием Третий закон Ньютона. В соответствии с общая теория относительности, законы сохранения количества движения, энергии и момента количества движения в целом справедливы только тогда, когда они выражаются через сумму тензор энергии-импульса (негравитационное напряжение – энергия) и Псевдотензор напряжения – энергии – импульса Ландау – Лифшица (гравитационное напряжение – энергия). Локальное сохранение негравитационного импульса и энергии в свободно падающей системе отсчета выражается обращением в нуль ковариантной расхождение из тензор энергии-импульса. Еще одна важная сохраняющаяся величина, обнаруженная в исследованиях небесная механика астрономических тел, это Вектор Лапласа – Рунге – Ленца..

В конце 18 - начале 19 вв. Физики разработали более систематические методы открытия инвариантов. Главный прорыв произошел в 1788 году с развитием Лагранжева механика, что связано с принцип наименьшего действия. При таком подходе состояние системы может быть описано любым типом обобщенные координаты q; законы движения не обязательно выражать в Декартова система координат, как это было принято в механике Ньютона. В действие определяется как интеграл по времени я функции, известной как Лагранжиан  L

${\displaystyle I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,}$

где точка над q означает скорость изменения координат q,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.}$

Принцип Гамильтона утверждает, что физический путь q(т) - фактически пройденный системой - путь, для которого бесконечно малые вариации этого пути не вызывают изменения в я, по крайней мере, до первого порядка. Этот принцип приводит к Уравнения Эйлера – Лагранжа.,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.}$

Таким образом, если одна из координат, скажем, q_k, не входит в лагранжиан, правая часть уравнения равна нулю, а левая часть требует, чтобы

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,}$

где импульс

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

сохраняется на протяжении всего движения (на физическом пути).

Таким образом, отсутствие игнорируемый координировать q_k из лагранжиана означает, что на лагранжиан не влияют изменения или преобразования q_k; лагранжиан инвариантен и, как говорят, обладает симметрия при таких преобразованиях. Это основная идея, обобщенная в теореме Нётер.

Несколько альтернативных методов поиска сохраняемых количеств были разработаны в 19 веке, особенно Уильям Роуэн Гамильтон. Например, он разработал теорию канонические преобразования что позволило изменить координаты так, чтобы некоторые координаты исчезли из лагранжиана, как указано выше, что привело к сохранению канонических импульсов. Другой подход и, возможно, наиболее эффективный для поиска сохраняющихся величин, - это Уравнение Гамильтона – Якоби.

Математическое выражение

Смотрите также: Теория возмущений

Простая форма с использованием возмущений

Суть теоремы Нётер сводится к обобщению изложенных игнорируемых координат.^{[требуется разъяснение ]}

Можно считать, что лагранжиан L определенная выше, инвариантна относительно малых возмущений (деформаций) временной переменной т и обобщенные координаты q. Можно написать

${\displaystyle t\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t}$

${\displaystyle \mathbf {q} \rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,}$

где возмущения δt и δq оба маленькие, но изменчивые. Для общности предположим, что есть (скажем) N такой преобразования симметрии действия, т. е. преобразований, оставляющих действие неизменным; помечены индексом р = 1, 2, 3, ..., N.

Тогда возникающее возмущение можно записать как линейную сумму отдельных типов возмущений:

${\displaystyle \delta t=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}}$

${\displaystyle \delta \mathbf {q} =\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,}$

куда ε_р находятся бесконечно малый коэффициенты параметров, соответствующие каждому:

• генератор Т_р из эволюция во времени, и
• генератор Q_р обобщенных координат.

Для переводов, Q_р постоянная с единицами измерения длина; для вращений это выражение, линейное по компонентам q, а параметры составляют угол.

Используя эти определения, Нётер показал, что N количество

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

(которые имеют размеры [энергия] · [время] + [импульс] · [длина] = [действие]) сохраняются (постоянные движения ).

Примеры

Инвариантность во времени

Для иллюстрации рассмотрим лагранжиан, не зависящий от времени, т.е. инвариантный (симметричный) относительно изменений т → т + δт, без изменения координат q. В этом случае, N = 1, Т = 1 и Q = 0; соответствующая сохраняющаяся величина - это полная энергия ЧАС^[7]

${\displaystyle H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.}$

Трансляционная инвариантность

Рассмотрим лагранжиан, который не зависит от координаты («игнорируемой», как указано выше) q_k; поэтому он инвариантен (симметричен) относительно изменений q_k → q_k + δq_k. В таком случае, N = 1, Т = 0 и Q_k = 1; сохраняющаяся величина - соответствующая линейная импульс п_k^[8]

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.}$

В специальный и общая теория относительности эти явно отдельные законы сохранения являются аспектами единого закона сохранения тензор энергии-импульса,^[9] это выводится в следующем разделе.

Вращательная инвариантность

Сохранение угловой момент L = р × п аналогичен своему аналогу по линейному импульсу.^[10] Предполагается, что симметрия лагранжиана вращательная, т.е. что лагранжиан не зависит от абсолютной ориентации физической системы в пространстве. Для конкретности предположим, что лагранжиан не меняется при малых поворотах на угол δθ вокруг оси п; такое вращение преобразует Декартовы координаты по уравнению

${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Поскольку время не преображается, Т= 0. Принимая δθ как ε параметр и декартовы координаты р как обобщенные координаты qсоответствующие Q переменные задаются

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .}$

Тогда теорема Нётер утверждает, что сохраняется следующая величина:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}=\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .}$

Другими словами, составляющая момента количества движения L вдоль п ось сохраняется.

Если п произвольно, т.е. если система нечувствительна к какому-либо вращению, то каждая компонента L сохраняется; короче, угловой момент сохраняется.

Версия теории поля

Приведенная версия теоремы Нётер полезна сама по себе, но она является частным случаем общей версии, полученной в 1915 году. Чтобы придать изюминку общей теоремы, версия теоремы Нётер для непрерывных полей в четырехмерном пространстве. пространство-время теперь дано. Поскольку задачи теории поля более распространены в современной физике, чем механика проблем, эта версия теории поля является наиболее часто используемой (или наиболее часто применяемой) версией теоремы Нётер.

Пусть существует набор дифференцируемых поля ${\displaystyle \varphi }$ определяется во всем пространстве и времени; например, температура ${\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}$ будет представлять такое поле, будучи числом, определяемым в каждом месте и в любое время. В принцип наименьшего действия могут быть применены к таким полям, но теперь действие является интегралом по пространству и времени

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

(теорему можно далее обобщить на случай, когда лагранжиан зависит от п^th производная, а также может быть сформулирована с использованием жгуты ).

Непрерывное преобразование полей ${\displaystyle \varphi }$ можно записать бесконечно малым образом как

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,}$

куда ${\displaystyle \Psi }$ в общем, функция, которая может зависеть от обоих ${\displaystyle x^{\mu }}$ и ${\displaystyle \varphi }$. Условие для ${\displaystyle \Psi }$ для создания физической симметрии действие ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ остается инвариантным. Это, безусловно, будет верно, если плотность лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ остается инвариантным, но оно также будет истинным, если лагранжиан изменится на расхождение,

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },}$

так как интеграл от расходимости становится граничным членом согласно теорема расходимости. Система, описываемая данным действием, может иметь несколько независимых симметрий этого типа, индексированных ${\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}$ так что наиболее общее преобразование симметрии будет записано как

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},}$

со следствием

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.}$

Для таких систем теорема Нётер утверждает, что существуют ${\displaystyle N}$ консервированный текущие плотности

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}}$

(где скалярное произведение сокращает поле индексы, а не ${\displaystyle \nu }$ index или ${\displaystyle r}$ индекс).

В таких случаях закон сохранения выражается в четырехмерном виде

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,}$

который выражает идею о том, что количество сохраняющейся величины внутри сферы не может измениться, если некоторая часть не вытекает из сферы. Например, электрический заряд сохраняется; количество заряда внутри сферы не может измениться, если часть заряда не покинет сферу.

Для иллюстрации рассмотрим физическую систему полей, которая ведет себя одинаково при перемещениях во времени и пространстве, как рассмотрено выше; другими словами, ${\displaystyle L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)}$ постоянна в своем третьем аргументе. В таком случае, N = 4, по одному для каждого измерения пространства и времени. Бесконечно малый перенос в пространстве, ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }}$ (с ${\displaystyle \delta }$ обозначая Дельта Кронекера ), влияет на поля как ${\displaystyle \varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi (x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu })}$: то есть изменение метки координат эквивалентно оставлению координат на месте при переводе самого поля, что, в свою очередь, эквивалентно преобразованию поля путем замены его значения в каждой точке ${\displaystyle x^{\mu }}$ со значением в точке ${\displaystyle x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }}$ "позади", который будет отображен на ${\displaystyle x^{\mu }}$ рассматриваемым бесконечно малым смещением. Поскольку это бесконечно мало, мы можем записать это преобразование как

${\displaystyle \Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .}$

Таким же образом преобразуется плотность лагранжиана: ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x^{\mu })\mapsto {\mathcal {L}}(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu })}$, так

${\displaystyle \Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}}$

и, таким образом, теорема Нётер соответствует закону сохранения тензор энергии-импульса Т_μ^ν,^[9] где мы использовали ${\displaystyle \mu }$ на месте ${\displaystyle r}$. То есть, используя выражение, данное ранее, и собирая четыре сохраняющихся тока (по одному для каждого ${\displaystyle \mu }$) в тензор ${\displaystyle T}$, Теорема Нётер дает

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}$

с

${\displaystyle T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0}$

(мы переименовали ${\displaystyle \mu }$ в качестве ${\displaystyle \sigma }$ на промежуточном этапе, чтобы избежать конфликта). (Тем не менее ${\displaystyle T}$ полученный таким образом может отличаться от симметричного тензора, используемого в качестве источника в общей теории относительности; видеть Канонический тензор энергии-импульса.)

Сохранение электрический заряд, напротив, можно получить, рассматривая Ψ линейный по полям φ а не в производных.^[11] В квантовая механика, то амплитуда вероятности ψ(Икс) нахождения частицы в точке Икс это сложное поле φ, потому что он приписывает комплексное число в каждую точку пространства и времени. Сама амплитуда вероятности физически неизмерима; только вероятность п = |ψ|² можно сделать вывод из набора измерений. Следовательно, система инвариантна относительно преобразований ψ поле и его комплексно сопряженный поле ψ^* что оставить |ψ|² без изменений, например

${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,}$

сложное вращение. В пределе, когда фаза θ становится бесконечно малым, δθ, его можно принять как параметр ε, в то время как Ψ равны iψ и -iψ*, соответственно. Конкретным примером является Уравнение Клейна – Гордона, то релятивистски правильный версия Уравнение Шредингера за бесспиновый частиц, имеющего лагранжиан плотность

${\displaystyle L=\psi _{,\nu }\psi _{,\mu }^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.}$

В этом случае теорема Нётер утверждает, что сохраняющееся (∂ ⋅j = 0) ток равен

${\displaystyle j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,}$

который, умноженный на заряд частицы этого типа, равен плотности электрического тока, обусловленной этим типом частицы. Эта «калибровочная инвариантность» впервые была отмечена Герман Вейль, и является одним из прототипов калибровочные симметрии физики.

Производные

Одна независимая переменная

Рассмотрим простейший случай - систему с одной независимой переменной - временем. Предположим, что зависимые переменные q таковы, что интеграл действия

${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$

инвариантен относительно кратких бесконечно малых изменений зависимых переменных. Другими словами, они удовлетворяют Уравнения Эйлера – Лагранжа.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

И предположим, что интеграл инвариантен относительно непрерывной симметрии. Математически такая симметрия представлена ​​как поток, φ, который действует на переменные следующим образом

${\displaystyle t\rightarrow t'=t+\varepsilon T}$

${\displaystyle \mathbf {q} [t]\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]}$

куда ε - реальная переменная, указывающая количество потока, и Т - реальная константа (которая может быть равна нулю), показывающая, насколько поток сдвигает время.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}$

Интеграл действия течет к

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$

что можно рассматривать как функцию ε. Вычисление производной при ε ' = 0 и используя Правило Лейбница, мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&{\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]=L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что из уравнений Эйлера – Лагранжа следует

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&{\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]\\[6pt]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

Снова используя уравнения Эйлера – Лагранжа, получаем

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

Из чего видно, что

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}}$

постоянная движения, т. е. сохраняющаяся величина. Поскольку φ [q, 0] = q, мы получили ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$ и поэтому сохраняемая величина упрощается до

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.}$

Чтобы избежать чрезмерного усложнения формул, в этом выводе предполагается, что поток не меняется с течением времени. Тот же результат можно получить и в более общем случае.

Теоретико-полевой вывод

Теорема Нётер также может быть получена для тензорных полей. φ^А где индекс А пробегает различные компоненты различных тензорных полей. Эти величины поля представляют собой функции, определенные в четырехмерном пространстве, точки которого помечены координатами Икс^μ где индекс μ колеблется во времени (μ = 0) и трех пространственных измерений (μ = 1, 2, 3). Эти четыре координаты являются независимыми переменными; и значения полей в каждом событии являются зависимыми переменными. При бесконечно малом преобразовании изменение координат записывается как

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}$

тогда как преобразование переменных поля выражается как

${\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}(\xi ^{\mu })=\varphi ^{A}(x^{\mu })+\delta \varphi ^{A}(x^{\mu })\,.}$

По этому определению вариации поля δφ^А являются результатом двух факторов: внутренних изменений самого поля и изменений координат, поскольку преобразованное поле α^А зависит от преобразованных координат ξ^μ. Чтобы изолировать внутренние изменения, вариация поля в одной точке Икс^μ можно определить

${\displaystyle \alpha ^{A}(x^{\mu })=\varphi ^{A}(x^{\mu })+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}(x^{\mu })\,.}$

Если координаты меняются, граница области пространства-времени, по которой интегрируется лагранжиан, также изменяется; исходная граница и ее преобразованная версия обозначаются как Ω и Ω ’соответственно.

Теорема Нётер начинается с предположения, что конкретное преобразование координат и переменных поля не меняет действие, который определяется как интеграл плотности лагранжиана по заданной области пространства-времени. Математически это предположение может быть записано как

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

где нижний индекс запятой указывает частную производную по координате (ях), которая следует за запятой, например

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

Поскольку ξ - фиктивная переменная интегрирования, и поскольку изменение границы Ω бесконечно мало по предположению, два интеграла могут быть объединены с использованием четырехмерной версии теорема расходимости в следующую форму

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

Разность лагранжианов может быть записана в первом порядке по бесконечно малым вариациям как

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

Однако, поскольку вариации определяются в той же точке, что и описано выше, вариация и производная могут быть выполнены в обратном порядке; Oни ездить

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}({\bar {\delta }}\varphi ^{A})\,.}$

Используя уравнения поля Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

разницу в лагранжианах можно записать аккуратно как

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}$

Таким образом, изменение действия можно записать как

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

Поскольку это верно для любой области Ω, подынтегральное выражение должно быть нулевым.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$

Для любого сочетания различных симметрия преобразований, возмущение можно записать

${\displaystyle \delta x^{\mu }=\varepsilon X^{\mu }}$

${\displaystyle \delta \varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$ это Производная Ли из φ^А в Икс^μ направление. Когда φ^А скаляр или ${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}$,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

Из этих уравнений следует, что вариация поля, взятая в одной точке, равна

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.}$

Дифференцируя указанное выше расхождение относительно ε в ε = 0 и изменение знака приводит к закону сохранения

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

где сохраняющийся ток равен

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

Вывод коллекторов / пучков волокон

Предположим, у нас есть п-размерно ориентированный Риманово многообразие, M и целевой коллектор Т. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ быть конфигурационное пространство из гладкие функции из M к Т. (В общем, у нас могут быть гладкие участки пучок волокон над M.)

Примеры этого M по физике включают:

• В классическая механика, в Гамильтониан формулировка M - одномерное многообразие ${\displaystyle \mathbb {R} }$, представляющий время, а целевым пространством является котангенсный пучок из Космос обобщенных позиций.
• В теория поля, M это пространство-время многообразие и целевое пространство - это набор значений, которые поля могут принимать в любой заданной точке. Например, если есть м настоящий -ценный скалярные поля, ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$, то целевое многообразие ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$. Если поле является вещественным векторным полем, то целевое многообразие изоморфный к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Теперь предположим, что есть функциональный

${\displaystyle {\mathcal {S}}:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

называется действие. (Он принимает значения в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, скорее, чем ${\displaystyle \mathbb {C} }$; это по физическим причинам и не имеет значения для данного доказательства.)

Чтобы добраться до обычной версии теоремы Нётер, нам потребуются дополнительные ограничения на действие. Мы предполагаем ${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$ это интеграл над M функции

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}$

называется Плотность лагранжиана, в зависимости от φ, это производная и положение. Другими словами, для φ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}$

Предположим, нам даны граничные условия, т.е. указание значения φ на граница если M является компактный, или какое-то ограничение на φ в качестве Икс приближается к ∞. Тогда подпространство из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ состоящий из функций φ так что все функциональные производные из ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ в φ равны нулю, то есть:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}\approx 0}$

и это φ удовлетворяет заданным граничным условиям, является подпространством на оболочке решения. (Видеть принцип стационарного действия )

Теперь предположим, что у нас есть бесконечно малое преобразование на ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, порожденный функциональный происхождение, Q такой, что

${\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]\approx \int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}$

для всех компактных подмногообразий N или другими словами,

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

для всех Икс, где мы положили

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x].}$

Если это имеет место на оболочке и вне оболочки, мы говорим Q генерирует симметрию вне оболочки. Если это только так на оболочке, мы говорим Q создает симметрию на оболочке. Затем мы говорим Q является генератором один параметр симметрия Группа Ли.

Теперь для любого N, из-за Эйлер – Лагранж теорема на оболочке (и только на оболочке), у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&\approx \int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}$

Поскольку это верно для любого N, у нас есть

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]\approx 0.}$

Но это уравнение неразрывности для текущего ${\displaystyle J^{\mu }}$ определяется:^[12]

${\displaystyle J^{\mu }\,=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}$

который называется Ток Нётер связанный с симметрия. Уравнение неразрывности говорит нам, что если мы интегрировать этот ток над космический ломтик, получаем сохраненное количество называется зарядом Нётер (при условии, конечно, если M некомпактен, токи достаточно быстро спадают на бесконечности).

Комментарии

Теорема Нётер - это на оболочке Теорема: она основана на использовании уравнений движения - классической траектории. Он отражает связь между граничными условиями и вариационным принципом. Если в действии нет граничных членов, из теоремы Нётер следует, что

${\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }\approx 0.}$

Квантовые аналоги теоремы Нётер, включающие математические ожидания, например ${\displaystyle \left\langle \int d^{4}x~\partial \cdot {\textbf {J}}\right\rangle =0}$, зондирование вне оболочки количества также являются Личности Уорда-Такахаши.

Обобщение на алгебры Ли

Предположим, у нас есть два вывода симметрии Q₁ и Q₂. Потом, [Q₁, Q₂] также является выводом симметрии. Посмотрим на это подробно. Скажем

${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$

и

${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$

Потом,

${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]\approx \partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$

куда ж₁₂ = Q₁[ж₂^μ] − Q₂[ж₁^μ]. Так,

${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}$

Это показывает, что мы можем естественным образом распространить теорему Нётер на большие алгебры Ли.

Обобщение доказательства

Это относится к любой вывод локальной симметрии Q удовлетворение QS ≈ 0, а также к более общим локальным функционально дифференцируемым действиям, в том числе к тем, в которых лагранжиан зависит от высших производных полей. Позволять ε - произвольная гладкая функция пространственно-временного (или временного) многообразия такая, что замыкание ее носителя не пересекается с границей. ε это функция тестирования. Тогда из-за вариационного принципа (который нет к границе, кстати), деривационное распределение q, порожденное q[ε] [Φ (Икс)] = ε(Икс)Q[Φ (Икс)] удовлетворяет q[ε][S] ≈ 0 для каждогоε, или более компактно, q(Икс)[S] ≈ 0 для всех Икс не на границе (но помните, что q(Икс) является сокращением для вывода распределение, а не вывод, параметризованный Икс в целом). Это обобщение теоремы Нётер.

Чтобы увидеть, как обобщение связано с версией, приведенной выше, предположим, что действие - это пространственно-временной интеграл лагранжиана, который зависит только от φ и его первых производных. Также предположим

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}}$

для всех ${\displaystyle \varepsilon }$.

В более общем смысле, если лагранжиан зависит от высших производных, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\right.&\left.Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]\right.\\[6pt]&\left.{}+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\cdots \right]\approx 0.\end{aligned}}}$

Примеры

Пример 1: Сохранение энергии

Рассмотрим частный случай ньютоновской частицы массы м, координировать Икс, движущиеся под действием потенциальной V, согласованный по времени т. В действие, S, является:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L[x(t),{\dot {x}}(t)]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Первый член в скобках - это кинетическая энергия частицы, а вторая - ее потенциальная энергия. Рассмотрим генератор переводы времени Q = д / дт. Другими словами, ${\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}$. Координата Икс имеет явную зависимость от времени, в то время как V не; как следствие:

${\displaystyle Q[L]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]}$

так что мы можем установить

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}}$

Правая часть - это энергия, и теорема Нётер утверждает, что ${\displaystyle {\dot {j}}=0}$ (т.е. принцип сохранения энергии является следствием инвариантности относительно временных трансляций).

В более общем смысле, если лагранжиан не зависит явно от времени, величина

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L}$

(называется Гамильтониан ) сохраняется.

Пример 2: Сохранение центра импульса

Продолжая рассматривать одномерное время, пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[{\vec {x}}]&=\int {\mathcal {L}}[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)]dt\\[6pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}({\dot {\vec {x}}}_{\alpha })^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha })\right]dt,\end{aligned}}}$

или же ${\displaystyle N}$ Ньютоновские частицы, в которых потенциал попарно зависит только от относительного смещения.

За ${\displaystyle {\vec {Q}}}$, рассмотрим генератор преобразований Галилея (т. е. изменение системы отсчета). Другими словами,

${\displaystyle Q_{i}[x_{\alpha }^{j}(t)]=t\delta _{i}^{j}.}$

И

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }\partial _{i}V_{\alpha \beta }({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha })(t-t)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}}$

Это имеет вид ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$ так что мы можем установить

${\displaystyle {\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}[{\vec {x}}_{\alpha }]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha })\\[6pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\vec {P}}}$ это полный импульс, M полная масса и ${\displaystyle {\vec {x}}_{CM}}$ это центр масс. Теорема Нётер гласит:

${\displaystyle {\dot {\vec {j}}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.}$

Пример 3: Конформное преобразование

Оба примера 1 и 2 относятся к одномерному многообразию (времени). Пример с пространством-временем - это конформное преобразование безмассового реального скалярного поля с потенциал четвертой степени в (3 + 1) -Пространство-время Минковского.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)]d^{4}x\\[6pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}}$

За Q, рассмотрим генератор масштабирования пространства-времени. Другими словами,

${\displaystyle Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).}$

Второй член в правой части связан с «конформным весом» ${\displaystyle \varphi }$. И

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).}$

Это имеет вид

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}$

(где мы произвели замену фиктивных индексов), так что положим

${\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\[6pt]&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}}$

Теорема Нётер утверждает, что ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$ (что можно явно проверить, подставив уравнения Эйлера – Лагранжа в левую часть).

Если попытаться найти Уорд – Такахаши аналог этого уравнения, возникает проблема из-за аномалии.

Приложения

Применение теоремы Нётер позволяет физикам глубоко проникнуть в любую общую теорию физики, просто проанализировав различные преобразования, которые сделают форму соответствующих законов неизменной. Например:

• инвариантность физических систем относительно пространственных перевод (другими словами, законы физики не меняются в зависимости от местоположения в пространстве) дает закон сохранения линейный импульс;
• инвариантность относительно вращение дает закон сохранения угловой момент;
• инвариантность относительно время перевод дает хорошо известные закон сохранения энергии

В квантовая теория поля, аналог теоремы Нётер, Идентичность Уорда – Такахаши, дает дополнительные законы сохранения, такие как сохранение электрический заряд из инвариантности относительно изменения фазовый фактор из сложный поле заряженной частицы и связанное с ней измерять из электрический потенциал и векторный потенциал.

Заряд Нётер также используется при расчете энтропия из стационарные черные дыры.^[13]

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Закон сохранения
• Заряд (физика)
• Калибровочная симметрия
• Калибровочная симметрия (математика)
• Инвариант (физика)
• Бозон Голдстоуна
• Симметрия в физике

Примечания

1. Иногда это называют первый теорема, см. Вторая теорема Нётер.
2. Нётер, Э. (1918). "Проблема инвариантных вариаций". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1918: 235–257.
3. Cosserat, E .; Коссера, Ф. (1909). Теория деформируемых корпусов. Пэрис: Германн.
4. Томпсон, У.Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по симметрии вращения для физических систем. 1. Вайли. п. 5. ISBN  0-471-55264-X.
5. Термин «заряд Нётер» встречается у Селигмана, Теория групп и ее приложения в физике, 1980: Латиноамериканская школа физики, Мехико., Американский институт физики, 1981. Он стал широко использоваться в 1980-х годах, например Дж. Такеда в: Эррол Гоцман, Джеральд Таубер (ред.) От SU (3) до Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne'eman, 1985, с. 196.
6. Нина Байерс (1998) «Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения». В материалах симпозиума по наследию Эмми Нётер, состоявшегося 2–4 декабря 1996 г. в Университете Бар-Илан, Израиль, Приложение B.
7. Ланцош 1970, стр. 401–403
8. Ланцош 1970, стр. 403–404
9. Гольдштейн 1980, стр. 592–593
10. Ланцош 1970, стр. 404–405
11. Гольдштейн 1980, стр. 593–594
12. Майкл Э. Пескин; Даниэль В. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля. Основные книги. п. 18. ISBN  0-201-50397-2.
13. Вивек Айер; Вальд (1995). «Сравнение заряда Нётер и евклидовых методов для вычисления энтропии стационарных черных дыр». Физический обзор D. 52 (8): 4430–9. arXiv:gr-qc / 9503052. Bibcode:1995ПхРвД..52.4430И. Дои:10.1103 / PhysRevD.52.4430. PMID  10019667. S2CID  2588285.

Рекомендации

• Бадин, Гуальтьеро; Кришчиани, Фульвио (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения -. Springer. п. 218. Дои:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN  978-3-319-59694-5. S2CID  125902566.
• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. С. 588–596. ISBN  0-201-02918-9.
• Джонсон, Тристан (2016). «Теорема Нётер: симметрия и сохранение». Диплом с отличием. Union College. Получено 28 августа 2020.
• Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в двадцатом веке. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-87867-6. Интернет-копия.
• Ланцош, К. (1970). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 401–5. ISBN  0-486-65067-7.
• Мозер, Сет (21 апреля 2020 г.). «Понимание теоремы Нётер посредством визуализации лагранжиана». Основные проекты физики: 1–12. Получено 28 августа 2020.
• Олвер, Питер (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Тексты для выпускников по математике. 107 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-95000-1.
• Сарданашвили, Г. (2016). Теоремы Нётер. Приложения в механике и теории поля. Springer-Verlag. ISBN  978-94-6239-171-0.

внешняя ссылка

• Эмми Нётер (1918). "Проблема инвариантных вариаций" (на немецком).

• Эмми Нётер; Морт Тавель (переводчик) (1971). «Инвариантные вариационные задачи». Теория транспорта и статистическая физика. 1 (3): 186–207. arXiv:физика / 0503066. Bibcode:1971ТЦП .... 1..186Н. Дои:10.1080/00411457108231446. S2CID  119019843. (Оригинал в Должен. Nachr. 1918:235–257)

• Байерс, Нина (1998). «Открытие Э. Нётер глубокой связи между симметриями и законами сохранения». arXiv:физика / 9807044.
• Баэз, Джон (2002). "Теорема Нётер в двух словах". math.ucr.edu. Получено 28 августа 2020.
• Владимир Куэста; Мерсед Монтесинос; Хосе Давид Вергара (2007). «Калибровочная инвариантность принципа действия для калибровочных систем с неканоническими симплектическими структурами». Физический обзор D. 76 (2): 025025. Bibcode:2007ПхРвД..76б5025С. Дои:10.1103 / PhysRevD.76.025025.
• Hanca, J .; Tulejab, S .; Ганцова, М. (2004). «Симметрии и законы сохранения: следствия теоремы Нётер». Американский журнал физики. 72 (4): 428–35. Bibcode:2004AmJPh..72..428H. Дои:10.1119/1.1591764.
• Леоне, Рафаэль (11 апреля 2018 г.). «О чудесности теорем Нётер 100 лет спустя и редукции Рауса». arXiv:1804.01714 [Physics.hist-ph ].
• Теорема Нётер на MathPages.
• Мерсед Монтесинос; Эрнесто Флорес (2006). «Симметричный тензор энергии-импульса в теориях Максвелла, Янга – Миллса и Прока, полученный с помощью только теоремы Нётер» (PDF). Revista Mexicana de Física. 52 (1): 29–36. arXiv:hep-th / 0602190. Bibcode:2006RMxF ... 52 ... 29M.
• Нойеншвандер, Дуайт Э. (2010). Замечательная теорема Эмми Нётер. Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN  978-0-8018-9694-1.
• Куигг, Крис (9 июля 2019 г.). «Коллоквиум: век теоремы Нётер». arXiv:1902.01989 [Physics.hist-ph ].
• Сарданашвили (2009). «Калибровочные законы сохранения в общей постановке. Суперпотенциал». Международный журнал геометрических методов в современной физике. 6 (6): 1047–1056. arXiv:0906.1732. Bibcode:2009arXiv0906.1732S. Дои:10.1142 / S0219887809003862.
• Google Tech Talk (16 июня 2010 г.) Эмми Нётер и ткань реальности на YouTube