Распределение Чернова - Chernoffs distribution - Wikipedia

В теория вероятности, Распределение Чернова, названный в честь Герман Чернов, это распределение вероятностей из случайная переменная

${\displaystyle Z={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-s^{2}),}$

куда W это «двусторонний» Винеровский процесс (или двусторонний "Броуновское движение ") удовлетворение W(0) = 0. Если

${\displaystyle V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-c(s-a)^{2}),}$

тогда V(0, c) имеет плотность

${\displaystyle f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)}$

куда грамм_c имеет преобразование Фурье данный

${\displaystyle {\hat {g}}_{c}(s)={\frac {(2/c)^{1/3}}{\operatorname {Ai} (i(2c^{2})^{-1/3}s)}},\ \ \ s\in \mathbf {R} }$

и где Ai - Функция Эйри. Таким образом ж_c симметрична относительно 0, а плотностьƒ_Z = ƒ₁. Groeneboom (1989) показывает, что

${\displaystyle f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3}|z|}{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}|z|^{3}+2^{1/3}{\tilde {a}}_{1}|z|\right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

куда ${\displaystyle {\tilde {a}}_{1}\approx -2.3381}$ - наибольший нуль функции Эйри Ai и где ${\displaystyle \operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})\approx 0.7022}$.

Рекомендации

• Groeneboom, Пит (1989). «Броуновское движение с параболическим дрейфом и функциями Эйри». Теория вероятностей и смежные области. 81: 79–109. Дои:10.1007 / BF00343738. МИСТЕР  0981568.
• Groeneboom, Пит; Веллнер, Джон А. (2001). «Вычисление распределения Чернова». Журнал вычислительной и графической статистики. 10 (2): 388–400. CiteSeerX  10.1.1.369.863. Дои:10.1198/10618600152627997. МИСТЕР  1939706.
• Пит Гренебум (1985). Оценка монотонной плотности. В: Ле Кам, Л.Е., Ольшен, Р.А. (ред.), Труды конференции в Беркли в честь Ежи Неймана и Джека Кифера, т. II, стр. 539–555. Уодсворт.