Многомерное распределение Парето - Multivariate Pareto distribution - Wikipedia

В статистика, а многомерное распределение Парето является многомерным расширением одномерного Распределение Парето.^[1]

Существует несколько различных типов одномерных распределений Парето, включая Типы Парето I - IV и Феллер-Парето.^[2] Для многих из этих типов определены многомерные распределения Парето.

Двумерные распределения Парето

Двумерное распределение Парето первого рода

Мардия (1962)^[3] определил двумерное распределение с кумулятивной функцией распределения (CDF), заданной

${\displaystyle F(x_{1},x_{2})=1-\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a}+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,}$

и совместная функция плотности

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(a+1)a(\theta _{1}\theta _{2})^{a+1}(\theta _{2}x_{1}+\theta _{1}x_{2}-\theta _{1}\theta _{2})^{-(a+2)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2;a>0.}$

Маргинальные распределения Тип Парето 1 с функциями плотности

${\displaystyle f(x_{i})=a\theta _{i}^{a}x_{i}^{-(a+1)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2.}$

Средние и дисперсии предельных распределений равны

${\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},a>1;\quad Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},a>2;\quad i=1,2,}$

и для а > 2, Икс₁ и Икс₂ положительно коррелируют с

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{1},X_{2})={\frac {\theta _{1}\theta _{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ and }}\operatorname {cor} (X_{1},X_{2})={\frac {1}{a}}.}$

Двумерное распределение Парето второго рода

Арнольд^[4] предлагает представить двумерный дополнительный CDF типа I по Парето с помощью

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i},i=1,2.}$

Если разрешено различие параметров местоположения и масштаба, дополнительный CDF

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},i=1,2,}$

который имеет одномерные маргинальные распределения Парето типа II. Это распределение называется многомерное распределение Парето типа II пользователя Arnold.^[4] (Это определение не эквивалентно двумерному распределению Парето второго рода Мардии.)^[3]

За а > 1 предельные средние

${\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,2,}$

в то время как для а > 2, дисперсия, ковариация и корреляция такие же, как и для многомерного Парето первого рода.

Многомерные распределения Парето

Многомерное распределение Парето первого рода

Мардиа^[3] Многомерное распределение Парето первого рода имеет совместную функцию плотности вероятности, заданную формулой

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=a(a+1)\cdots (a+k-1)\left(\prod _{i=1}^{k}\theta _{i}\right)^{-1}\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-(a+k)},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,a>0,\qquad (1)}$

Маргинальные распределения имеют тот же вид, что и (1), а одномерные маргинальные распределения имеют вид Распределение Парето типа I. Дополнительный CDF - это

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\quad (2)}$

Предельные средние и дисперсии представлены как

${\displaystyle E[X_{i}]={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},{\text{ for }}a>1,{\text{ and }}Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ for }}a>2.}$

Если а > 2 ковариации и корреляции положительны с

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\frac {\theta _{i}\theta _{j}}{(a-1)^{2}(a-2)}},\qquad \operatorname {cor} (X_{i},X_{j})={\frac {1}{a}},\qquad i\neq j.}$

Многомерное распределение Парето второго рода

Арнольд^[4] предлагает представить многомерный дополнительный CDF типа I по Парето

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots ,k.}$

Если разрешено различие параметров местоположения и масштаба, дополнительный CDF

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k,\qquad (3)}$

которая имеет маргинальные распределения того же типа (3) и Тип Парето II одномерные маржинальные распределения. Это распределение называется многомерное распределение Парето типа II пользователя Arnold.^[4]

За а > 1, предельные средние

${\displaystyle E[X_{i}]=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,\dots ,k,}$

в то время как для а > 2, дисперсии, ковариации и корреляции такие же, как и для многомерного Парето первого рода.

Многомерное распределение Парето четвертого рода

Случайный вектор Икс имеет k-размерный многомерное распределение Парето четвертого рода^[4] если его совместная функция выживания

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{1/\gamma _{i}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)}$

В k₁-мерные маргинальные распределения (k₁<k) того же типа, что и (4), а одномерные маргинальные распределения относятся к типу Парето IV.

Многомерное распределение Феллера – Парето

Случайный вектор Икс имеет k-мерное распределение Феллера – Парето, если

${\displaystyle X_{i}=\mu _{i}+(W_{i}/Z)^{\gamma _{i}},\qquad i=1,\dots ,k,\qquad (5)}$

куда

${\displaystyle W_{i}\sim \Gamma (\beta _{i},1),\quad i=1,\dots ,k,\qquad Z\sim \Gamma (\alpha ,1),}$

независимые гамма-переменные.^[4] Маржинальные распределения и условные распределения однотипны (5); то есть они являются многомерными распределениями Феллера – Парето. Одномерные маргинальные распределения имеют вид Феллер-Парето тип.

Рекомендации

1. С. Коц; Н. Балакришнан; Н. Л. Джонсон (2000). «52». Непрерывные многомерные распределения. 1 (второе изд.). ISBN  0-471-18387-3.
2. Барри С. Арнольд (1983). Распределения Парето. Международное кооперативное издательство. ISBN  0-89974-012-X. Глава 3.
3. Мардиа, К.В. «Многомерные распределения Парето». Анналы математической статистики. 33: 1008–1015. Дои:10.1214 / aoms / 1177704468.
4. Барри С. Арнольд (1983). Распределения Парето. Международное кооперативное издательство. ISBN  0-89974-012-X. Глава 6.