Распределение Бирнбаума – Сондерса - Birnbaum–Saunders distribution - Wikipedia

В Распределение Бирнбаума – Сондерса, также известный как распределение усталостной долговечности, это распределение вероятностей широко используется в надежность приложения для моделирования времени отказа. В литературе есть несколько альтернативных формулировок этого распределения. Он назван в честь З. В. Бирнбаум и С. С. Сондерс.

Теория

Это распределение было разработано для моделирования отказов из-за трещин. Материал подвергается повторяющимся циклам нагрузки. В j^th цикл приводит к увеличению трещины на Икс_j количество. Сумма Икс_j предполагается нормально распределенный со средним nμ и дисперсия nσ². Вероятность того, что трещина не превышает критической длины ω является

${\displaystyle P(X\leq \omega )=\Phi \left({\frac {\omega -n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)}$

где Φ() - cdf нормального распределения.

Если Т это количество циклов до отказа, то кумулятивная функция распределения (cdf) Т является

${\displaystyle P(T\leq t)=1-\Phi \left({\frac {\omega -t\mu }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {t\mu -\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\mu {\sqrt {t}}}{\sigma }}-{\frac {\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\sqrt {\mu \omega }}{\sigma }}\left[\left({\frac {t}{\omega /\mu }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\omega /\mu }{t}}\right)^{0.5}\right]\right)}$

Более обычная форма этого распределения:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left[\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\beta }{x}}\right)^{0.5}\right]\right)}$

Вот α это параметр формы и β это масштабный параметр.

Свойства

Распределение Бирнбаума – Сондерса есть одномодальный с медиана из β.

В значить (μ), отклонение (σ²), перекос (γ) и эксцесс (κ) являются следующими:

${\displaystyle \mu =\beta \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=(\alpha \beta )^{2}\left(1+{\frac {5\alpha ^{2}}{4}}\right)}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {4\alpha (11\alpha ^{2}+6)}{(5\alpha ^{2}+4)^{\frac {3}{2}}}}}$

${\displaystyle \kappa =3+{\frac {6\alpha ^{2}(93\alpha ^{2}+40)}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}}$

Учитывая набор данных, который считается распределенным по Бирнбауму-Сондерсу, значения параметров лучше всего оцениваются с помощью максимальная вероятность.

Если Т является распределением Бирнбаума-Сондерса с параметрами α и β тогда Т⁻¹ также распределено Бирнбаума-Сондерса с параметрами α и β⁻¹.

Трансформация

Позволять Т быть распределенной вариацией Бирнбаума-Сондерса с параметрами α и β. Полезное преобразование Т является

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{0.5}-\left({\frac {T}{\beta }}\right)^{-0.5}\right]}$.

Эквивалентно

${\displaystyle T=\beta \left(1+2X^{2}+2X(1+X^{2})^{0.5}\right)}$.

Икс затем распределяется нормально со средним нулевым и дисперсией α² / 4.

Функция плотности вероятности

Общая формула для функция плотности вероятности (pdf) - это

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}+{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{2\gamma \left(x-\mu \right)}}\phi \left({\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{\gamma }}\right)\quad x>\mu ;\gamma ,\beta >0}$

где γ - параметр формы, μ - параметр местоположения, β - масштабный параметр, и ${\displaystyle \phi }$ - функция плотности вероятности стандартное нормальное распределение.

Стандартное распределение усталостной долговечности

Случай, когда μ = 0 и β = 1, называется стандартное распределение усталостной долговечности. PDF-файл для стандартного распределения усталостной долговечности сокращается до

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{2\gamma x}}\phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

Поскольку общий вид функций вероятности может быть выражен в терминах стандартного распределения, все последующие формулы даны для стандартной формы функции.

Кумулятивная функция распределения

Формула для кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

где Φ - кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения.

Квантильная функция

Формула для квантильная функция является

${\displaystyle G(p)={\frac {1}{4}}\left[\gamma \Phi ^{-1}(p)+{\sqrt {4+\left(\gamma \Phi ^{-1}(p)\right)^{2}}}\right]^{2}}$

где Φ ⁻¹ - квантильная функция стандартного нормального распределения.

использованная литература

• Бирнбаум, З. В.; Сондерс, С. К. (1969), «Новая семья раздач жизни», Журнал прикладной теории вероятностей, 6 (2): 319–327, Дои:10.2307/3212003, JSTOR  3212003
• Десмонд, А.Ф. (1985), "Стохастические модели отказа в случайных средах", Канадский статистический журнал, 13 (3): 171–183, Дои:10.2307/3315148, JSTOR  3315148
• Johnson, N .; Kotz, S .; Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, 2 (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley
• Lemonte, A.J .; Крибари-Нето, Ф .; Васконселлос, К. Л. П. (2007), "Улучшенный статистический вывод для двухпараметрического распределения Бирнбаума – Сондерса", Вычислительная статистика и анализ данных, 51: 4656–4681, Дои:10.1016 / j.csda.2006.08.016
• Lemonte, A.J .; Simas, A. B .; Крибари-Нето, Ф. (2008), «Улучшенные оценки на основе бутстрапа для двухпараметрического распределения Бирнбаума – Сондерса», Журнал статистических вычислений и моделирования, 78: 37–49, Дои:10.1080/10629360600903882
• Cordeiro, G.M .; Лемонте, А. Дж. (2011), «β-Распределение Бирнбаума – Сондерса: улучшенное распределение для моделирования усталостной долговечности», Вычислительная статистика и анализ данных, 55 (3): 1445–1461, Дои:10.1016 / j.csda.2010.10.007
• Лемонте, А. Дж. (2013), "Новое расширение распределения Бирнбаума – Сондерса", Бразильский журнал вероятностей и статистики, 27 (2): 133–149, Дои:10.1214 / 11-BJPS160

внешние ссылки

• Распределение усталостной долговечности

Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Национальный институт стандартов и технологий интернет сайт https://www.nist.gov.