Модель Солоу – Лебедя - Solow–Swan model

В Модель Солоу – Лебедя является экономическая модель долгосрочного экономический рост установлен в рамках неоклассическая экономика. Он пытается объяснить долгосрочный экономический рост, глядя на накопление капитала, труд или рост населения, и увеличивается в продуктивность, обычно называемый технологический прогресс. По своей сути - неоклассический (совокупный) производственная функция, часто указывается как Кобб – Дуглас тип, позволяющий модели «контактировать с микроэкономика ".^[1]:26 Модель была разработана независимо Роберт Солоу и Тревор Свон в 1956 г.,^{[2][3][примечание 1]} и заменил Кейнсианский Модель Харрода – Домара.

Математически модель Солоу – Свона представляет собой нелинейная система состоящий из одного обыкновенное дифференциальное уравнение моделирует эволюцию на душу населения запас капитала. Благодаря своим особенно привлекательным математическим характеристикам, Solow – Swan оказался удобной отправной точкой для различных расширений. Например, в 1965 г. Дэвид Касс и Тьяллинг Купманс интегрированный Фрэнк Рэмси анализ оптимизации потребителей, тем самым эндогенизируя норма экономии, чтобы создать то, что сейчас известно как Модель Рэмси – Касса – Купманса.

Фон

Неоклассическая модель была расширением модели Харрода – Домара 1946 года, которая включала новый термин: рост производительности. Важный вклад в эту модель внесла работа, проделанная Солоу и Суоном в 1956 году, которые независимо разработали относительно простые модели роста.^[2][3] Модель Солоу соответствовала имеющимся данным о нас экономический рост с некоторым успехом.^[4] В 1987 г. Солоу был удостоен награды Нобелевская премия по экономике за его работу. Сегодня экономисты используют учет источников роста Солоу для оценки отдельных эффектов технологических изменений, капитала и рабочей силы на экономический рост.^[5]

Расширение модели Харрода – Домара.

Солоу расширил модель Харрода – Домара, добавив труд в качестве фактор производства и отношения капитала к выпуску, которые не являются фиксированными, как в модели Харрода – Домара. Эти уточнения позволяют увеличить капиталоемкость отличать от технического прогресса. Солоу видит производственная функция фиксированных пропорций в качестве «ключевого допущения» к нестабильности приводит модель Харрода-Домара. Его собственная работа расширяет это, исследуя последствия альтернативных спецификаций, а именно Кобб – Дуглас и более общий постоянная эластичность замещения (CES).^[2] Хотя это стало канонической и знаменитой историей^[6] по истории экономики, во многих экономических учебниках,^[7] Недавняя переоценка работы Харрода опровергла его. Одна из центральных критических замечаний заключается в том, что оригинальная работа Харрода^[8] не занимался главным образом экономическим ростом и не использовал явно производственную функцию фиксированных пропорций.^[7][9]

Долгосрочные последствия

Стандартная модель Солоу предсказывает, что в долгосрочной перспективе экономики сходятся к своему устойчивое состояние равновесие и постоянный рост достижим только за счет технического прогресса. И сдвиги в сбережениях, и в росте населения вызывают только эффекты уровня в долгосрочной перспективе (то есть в абсолютном значении реального дохода на душу населения). Интересным следствием модели Солоу является то, что бедные страны должны расти быстрее и в конечном итоге догнать более богатые страны. Этот конвергенция можно объяснить:^[10]

• Отставание в распространении знаний. Различия в реальных доходах могут уменьшиться по мере того, как бедные страны будут получать более совершенные технологии и информацию;
• Эффективное распределение международных потоков капитала, поскольку норма прибыли на капитал должна быть выше в более бедных странах. На практике это наблюдается редко и называется Парадокс Лукаса;
• Математическое значение модели (при условии, что бедные страны еще не достигли своего устойчивого состояния).

Баумоль попытался проверить это эмпирически и обнаружил очень сильную корреляцию между ростом производства страны в течение длительного периода времени (с 1870 по 1979 год) и ее первоначальным богатством.^[11] Его выводы позже были оспорены Делонг которые утверждали, что как неслучайность стран, включенных в выборку, так и возможность значительных ошибок измерения для оценок реального дохода на душу населения в 1870 г., смещали выводы Баумоля. Делонг заключает, что существует мало свидетельств в поддержку теории конвергенции.

Предположения

Ключевое предположение неоклассической модели роста состоит в том, что капитал подвержен влиянию убывающая отдача в закрытой экономике.

• При фиксированном запасе рабочей силы влияние на выпуск последней единицы накопленного капитала всегда будет меньше, чем предыдущее.
• Предполагая для простоты отсутствие технологического прогресса или роста рабочей силы, убывающая отдача подразумевает, что в какой-то момент количества произведенного нового капитала будет ровно достаточно, чтобы компенсировать потерю существующего капитала из-за обесценивания.^[1] На этом этапе из-за предположений об отсутствии технического прогресса или роста рабочей силы мы видим, что экономика перестает расти.
• Предположение, что темпы роста рабочей силы ненулевые, несколько усложняют ситуацию, но основная логика все еще применима.^[2] - в краткосрочной перспективе темпы роста замедляются по мере того, как начинает действовать убывающая отдача, и экономика приближается к постоянным «устойчивым» темпам роста (т. Е. нет экономический рост на душу населения).
• Включение ненулевого технологического прогресса очень похоже на предположение о ненулевом росте рабочей силы с точки зрения «эффективного труда»: новое устойчивое состояние достигается с постоянным объемом производства на рабочий час, необходимый для единицы продукции. Однако в этом случае объем производства на душу населения растет со скоростью технического прогресса в «стационарном» состоянии.^[3] (то есть скорость продуктивность рост).

Вариации эффектов производительности

В модели Солоу – Свона необъяснимое изменение роста выпуска после учета эффекта накопления капитала называется Остаток Solow. Этот остаток измеряет экзогенное увеличение общая факторная производительность (TFP) в течение определенного периода времени. Увеличение TFP часто полностью объясняется технологическим прогрессом, но оно также включает любое постоянное повышение эффективности, с которым факторы производства сочетаются с течением времени. Неявно рост СФП включает в себя любое постоянное повышение производительности в результате улучшения практики управления в частном или государственном секторах экономики. Парадоксально, но даже несмотря на то, что рост СФП в модели является экзогенным, его нельзя наблюдать, поэтому его можно оценить только в сочетании с одновременной оценкой влияния накопления капитала на рост в течение определенного периода времени.

Модель можно переформулировать несколько иначе, используя другие предположения о производительности или другие метрики измерения:

• Средняя производительность труда (ALP) - экономическая производительность в час труда.
• Многофакторная производительность (МФУ) - это выпуск, деленный на средневзвешенное значение затрат капитала и труда. Используемые веса обычно основаны на совокупных долях затрат, получаемых каждым из факторов. Это соотношение часто называют: 33% прибыли на капитал и 67% на труд (в западных странах).

В растущей экономике капитал накапливается быстрее, чем рождаются люди, поэтому знаменатель в функции роста при расчете MFP растет быстрее, чем при расчете ALP. Следовательно, рост MFP почти всегда ниже, чем рост ALP. (Следовательно, измерение в терминах ALP увеличивает кажущееся углубление капитала эффект.) MFP измеряется "Остаток Solow ", а не ALP.

Математика модели

Учебная модель Солоу – Лебедя изложена в непрерывное время мир без правительства или международной торговли. Один хороший (вывод) производится с использованием двух факторы производства, труд (${\displaystyle L}$) и заглавная (${\displaystyle K}$) в совокупная производственная функция что удовлетворяет Условия Inada, что означает, что эластичность замещения должно быть асимптотически равным единице.^[12][13]

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

куда ${\displaystyle t}$ обозначает время, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ - эластичность выпуска по капиталу, и ${\displaystyle Y(t)}$ представляет собой общий объем производства. ${\displaystyle A}$ относится к технологии увеличения родов или «знание ", таким образом ${\displaystyle AL}$ представляет собой эффективный труд. Все факторы производства задействованы полностью, а исходные значения ${\displaystyle A(0)}$, ${\displaystyle K(0)}$, и ${\displaystyle L(0)}$ даны. Количество рабочих, то есть рабочая сила, а также уровень технологий экзогенно растут темпами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle g}$, соответственно:

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

Количество эффективных единиц труда, ${\displaystyle A(t)L(t)}$, поэтому растет со скоростью ${\displaystyle (n+g)}$. Между тем акции капитала обесценивается с течением времени с постоянной скоростью ${\displaystyle \delta }$. Однако только часть вывода (${\displaystyle cY(t)}$ с ${\displaystyle 0<c<1}$) является потребляется, оставляя сохраненную долю ${\displaystyle s=1-c}$ за вложение. Эта динамика выражается в следующем дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

куда ${\displaystyle {\dot {K}}}$ сокращение для ${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$, производная по времени. Производная по времени означает, что это изменение основного капитала - продукция, которая не потребляется и не используется для замены изношенных старых капитальных благ, является чистыми инвестициями.

Поскольку производственная функция ${\displaystyle Y(K,AL)}$ имеет постоянный вернуться к масштабу, это можно записать как выпуск на эффективную единицу труда ${\displaystyle y}$, который является мерой создания богатства:^{[заметка 2]}

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

Главный интерес модели - динамика капиталоемкость ${\displaystyle k}$, основной капитал на единицу эффективного труда. Его поведение во времени определяется ключевым уравнением модели Солоу – Свона:^{[заметка 3]}

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

Первый срок, ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$, - фактические вложения на единицу эффективного труда: доля ${\displaystyle s}$ продукции на единицу эффективного труда ${\displaystyle y(t)}$ что сохраняется и инвестируется. Второй срок, ${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$, это «безубыточные инвестиции»: сумма инвестиций, которые необходимо вложить, чтобы предотвратить ${\displaystyle k}$ от падения.^[14]:16 Из уравнения следует, что ${\displaystyle k(t)}$ сходится к установившемуся значению ${\displaystyle k^{*}}$, определяется ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$, при котором нет ни увеличения, ни уменьшения капиталоемкости:

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

при котором запас капитала ${\displaystyle K}$ и эффективный труд ${\displaystyle AL}$ растут со скоростью ${\displaystyle (n+g)}$. Таким же образом можно рассчитать устойчивое состояние созданного богатства. ${\displaystyle y^{*}}$ что соответствует ${\displaystyle k^{*}}$:

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

При условии постоянной доходности выход ${\displaystyle Y}$ также растет такими темпами. По сути, модель Солоу – Свона предсказывает, что экономика будет сходиться к равновесие сбалансированного роста, независимо от его начальной точки. В этой ситуации рост выпуска продукции на одного работника определяется исключительно скоростью технологический прогресс.^[14]:18

Поскольку по определению ${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$, при равновесии ${\displaystyle k^{*}}$ у нас есть

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

Следовательно, в состоянии равновесия отношение капитала к выпуску зависит только от нормы сбережений, роста и амортизации. Это версия модели Солоу – Свона. золотое правило нормы сбережений.

С ${\displaystyle {\alpha }<1}$, в любое время ${\displaystyle t}$ предельный продукт капитала ${\displaystyle K(t)}$ в модели Солоу – Свона обратно пропорционально соотношению капитал / труд.

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Если продуктивность ${\displaystyle A}$ то же самое в разных странах, то в странах с меньшим капиталом на одного работника ${\displaystyle K/L}$ иметь более высокий маржинальный продукт, что обеспечит более высокую отдачу от капитальных вложений. Как следствие, модель предсказывает, что в мире открытой рыночной экономики и глобального финансового капитала инвестиции будут перетекать из богатых стран в бедные, пока капитал / работник ${\displaystyle K/L}$ и доход / работник ${\displaystyle Y/L}$ уравнять по странам.

Поскольку предельный продукт физического капитала в бедных странах не выше, чем в богатых,^[15] подразумевается, что производительность ниже в бедных странах. Базовая модель Солоу не может объяснить, почему производительность ниже в этих странах. Лукас предположил, что более низкий уровень человеческого капитала в бедных странах может объяснить более низкую производительность.^[16]

Если приравнять предельный продукт капитала ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$ с норма прибыли ${\displaystyle r}$ (такое приближение часто используется в неоклассическая экономика ), то при нашем выборе производственной функции

${\displaystyle \alpha ={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}={\frac {rK}{Y}}\,}$

так что ${\displaystyle \alpha }$ - это доля дохода, присвоенная капиталом. Таким образом, модель Солоу – Свона с самого начала предполагает, что разделение дохода на трудовой капитал остается постоянным.

Версия модели Мэнкива – Ромера – Вейля

Добавление человеческого капитала

Н. Грегори Мэнкью, Дэвид Ромер, и Дэвид Вейл создал человеческий капитал расширенная версия модели Солоу – Суона, которая может объяснить отсутствие притока международных инвестиций в бедные страны.^[17] В этой модели выпуск и предельный продукт капитала (K) ниже в бедных странах, поскольку в них меньше человеческого капитала, чем в богатых странах.

Как и в учебной модели Солоу – Свона, производственная функция имеет тип Кобба – Дугласа:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

куда ${\displaystyle H(t)}$ запас человеческого капитала, который обесценивается с той же скоростью ${\displaystyle \delta }$ как физический капитал. Для простоты они предполагают одну и ту же функцию накопления для обоих типов капитала. Как и в случае с Солоу – Свон, часть результата, ${\displaystyle sY(t)}$, сохраняется каждый период, но в этом случае разделяется и инвестируется частично в физический, а частично в человеческий капитал, так что ${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$. Следовательно, в этой модели есть два основных динамических уравнения:

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

Путь сбалансированного (или установившегося) равновесного роста определяется ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$, что значит ${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$ и ${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$. Решение для установившегося уровня ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle h}$ дает:

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

В устойчивом состоянии ${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$.

Эконометрические оценки

Кленов и Родригес-Клер ставят под сомнение достоверность дополненной модели, поскольку оценки Мэнкью, Ромера и Вейля ${\displaystyle {\beta }}$ кажутся несовместимыми с общепринятыми оценками влияния повышения уровня образования на заработную плату рабочих. Хотя оценочная модель объяснила 78% различий в доходах между странами, оценки ${\displaystyle {\beta }}$ подразумевается, что внешнее воздействие человеческого капитала на национальный доход больше, чем его прямое влияние на заработную плату рабочих.^[18]

Учет внешних воздействий

Теодор Бретон представил идею, которая примирила большое влияние человеческого капитала от обучения в модели Мэнкью, Ромера и Вейля с меньшим влиянием обучения на заработную плату рабочих. Он продемонстрировал, что математические свойства модели включают значительные внешние эффекты между факторами производства, поскольку человеческий капитал и физический капитал являются мультипликативными факторами производства.^[19] Внешнее влияние человеческого капитала на производительность физического капитала проявляется в предельном продукте физического капитала:

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

Он показал, что большие оценки влияния человеческого капитала в межстрановых оценках модели согласуются с меньшим эффектом, обычно обнаруживаемым на заработную плату рабочих, когда принимается во внимание внешнее влияние человеческого капитала на физический капитал и труд. Это понимание значительно усиливает доводы в пользу версии Мэнкью, Ромера и Вейля модели Солоу – Свона. В большинстве анализов, критикующих эту модель, не учитываются внешние денежные эффекты обоих типов капитала, присущие модели.^[19]

Общая факторная производительность

Экзогенная скорость TFP (общая факторная производительность ) рост в модели Солоу – Свона - это остаток после учета накопления капитала. Модель Мэнкью, Ромера и Вейля дает более низкую оценку СФП (остаточной суммы), чем базовая модель Солоу – Свона, поскольку добавление человеческого капитала к модели позволяет накоплению капитала в большей степени объяснить различия в доходах между странами. В базовой модели остаточная величина СФП включает влияние человеческого капитала, поскольку человеческий капитал не включен в качестве фактора производства.

Условная сходимость

Модель Солоу – Свона, дополненная человеческим капиталом, предсказывает, что уровень доходов бедные страны будет стремиться настигнуть с или сходиться к уровням доходов богатых стран, если бедные страны имеют одинаковые нормы сбережений как физического, так и человеческого капитала в виде доли от выпуска, - процесс, известный как условная конвергенция. Однако нормы сбережений в разных странах сильно различаются. В частности, поскольку существуют значительные финансовые ограничения для инвестиций в образование, нормы сбережений на человеческий капитал, вероятно, будут варьироваться в зависимости от культурных и идеологических характеристик в каждой стране.^[20]

С 1950-х годов показатель «объем производства на одного работающего» в богатых и бедных странах, как правило, не сходился, но те бедные страны, которые значительно повысили уровень своих сбережений, испытали конвергенцию доходов, предсказанную моделью Солоу – Свона. Например, выход / работник в Япония страна, которая когда-то была относительно бедной, приблизилась к уровню богатых стран. Япония испытала высокие темпы роста после того, как она повысила уровень сбережений в 1950-х и 1960-х годах, и она испытала замедление роста объема производства на одного работающего после того, как ее норма сбережений стабилизировалась примерно в 1970 году, как и прогнозировалось моделью.

Уровни доходов на душу населения в южных штатах Соединенных Штатов имеют тенденцию приближаться к уровням в северных штатах. Наблюдаемая конвергенция в этих состояниях также согласуется с условная сходимость концепция. Произойдет ли абсолютное сближение между странами или регионами, зависит от того, имеют ли они схожие характеристики, например:

• Образование политика
• Институциональные механизмы
• Свободные рынки внутри, и торговая политика с другими странами.^[21]

Дополнительное свидетельство условной конвергенции дает многомерная межстрановая регрессия.^[22]

Эконометрический анализ Сингапура и других стран »Восточноазиатские тигры "дала удивительный результат: хотя объем производства на одного работника увеличивался, почти ни один из их быстрых темпов роста не был связан с ростом производительности на душу населения (у них низкий уровень"Остаток Solow ").^[5]

Смотрите также

• Экономический рост
• Теория эндогенного роста

Примечания

1. Идея использования производственной функции Кобба – Дугласа в основе модели роста восходит к Тинберген, Дж. (1942). "Zur Theorie der langfristigen Wirtschaftsentwicklung". Weltwirtschaftliches Archiv. 55: 511–549. JSTOR  40430851. Видеть Бремс, Ганс (1986). «Неоклассический рост: Тинберген и Солоу». Новаторская экономическая теория, 1630–1980 гг.. Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 362–368. ISBN  978-0-8018-2667-2.
2. Пошаговый расчет: ${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }}{A(t)L(t)}}={\frac {K(t)^{\alpha }}{(A(t)L(t))^{\alpha }}}=k(t)^{\alpha }}$
3. Пошаговый расчет: ${\displaystyle {\dot {k}}(t)={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$. С ${\displaystyle {\dot {K}}(t)=sY(t)-\delta K(t)\,}$, и ${\displaystyle {\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}}$, ${\displaystyle {\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}}$ находятся ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle g}$соответственно уравнение упрощается до ${\displaystyle {\dot {k}}(t)=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\delta {\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-n{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}-g{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}=sy(t)-\delta k(t)-nk(t)-gk(t)}$. Как уже упоминалось выше, ${\displaystyle y(t)=k(t)^{\alpha }}$.

Рекомендации

1. Аджемоглу, Дарон (2009). "Модель роста Солоу". Введение в современный экономический рост. Принстон: Издательство Принстонского университета. стр.26 –76. ISBN  978-0-691-13292-1.
2. Солоу, Роберт М. (Февраль 1956 г.). «Вклад в теорию экономического роста». Ежеквартальный журнал экономики. 70 (1): 65–94. Дои:10.2307/1884513. HDL:10338.dmlcz / 143862. JSTOR  1884513. Pdf.
3. Свон, Тревор В. (Ноябрь 1956 г.). «Экономический рост и накопление капитала». Экономический отчет. 32 (2): 334–361. Дои:10.1111 / j.1475-4932.1956.tb00434.x.
4. Солоу, Роберт М. (1957). «Технические изменения и совокупная производственная функция». Обзор экономики и статистики. 39 (3): 312–320. Дои:10.2307/1926047. JSTOR  1926047. Pdf.
5. Haines, Joel D .; Шариф, Наваз М. (2006). «Рамки для управления сложностью компонентов технологий для глобальной конкуренции». Обзор конкурентоспособности: международный деловой журнал. 16 (2): 106–121. Дои:10.1108 / cr.2006.16.2.106.
6. Блюм, Лоуренс Э .; Сарджент, Томас Дж. (2015-03-01). "Харрод 1939". Экономический журнал. 125 (583): 350–377. Дои:10.1111 / ecoj.12224. ISSN  1468-0297.
7. Бесоми, Даниэле (2001). «Динамика Харрода и теория роста: история ошибочной атрибуции». Кембриджский журнал экономики. 25 (1): 79–96. Дои:10.1093 / cje / 25.1.79. JSTOR  23599721.
8. Харрод, Р. Ф. (1939). «Очерк динамической теории». Экономический журнал. 49 (193): 14–33. Дои:10.2307/2225181. JSTOR  2225181.
9. Хальсмайер, Верена; Гувер, Кевин Д. (03.07.2016). «Солоу Харрод: Преобразование макроэкономической динамики в модель долгосрочного роста». Европейский журнал истории экономической мысли. 23 (4): 561–596. Дои:10.1080/09672567.2014.1001763. ISSN  0967-2567.
10. Ромер, Дэвид (2006). Продвинутая макроэкономика. Макгроу-Хилл. С. 31–35. ISBN  9780072877304.
11. Баумоль, Уильям Дж. (1986). «Рост производительности, конвергенция и благосостояние: что показывают долгосрочные данные». Американский экономический обзор. 76 (5): 1072–1085. JSTOR  1816469.
12. Барелли, Пауло; Пессоа, Самуэль де Абреу (2003). «Условия Инады подразумевают, что производственная функция должна быть асимптотически по Коббу – Дугласу» (PDF). Письма по экономике. 81 (3): 361–363. Дои:10.1016 / S0165-1765 (03) 00218-0.
13. Литина, Анастасия; Паливос, Теодор (2008). «Означают ли условия Инады, что производственная функция должна быть асимптотически по Коббу-Дугласу? Комментарий». Письма по экономике. 99 (3): 498–499. Дои:10.1016 / j.econlet.2007.09.035.
14. Ромер, Дэвид (2011). "Модель роста Солоу". Продвинутая макроэкономика (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 6–48. ISBN  978-0-07-351137-5.
15. Caselli, F .; Фейрер, Дж. (2007). «Предельный продукт капитала». Ежеквартальный журнал экономики. 122 (2): 535–68. CiteSeerX  10.1.1.706.3505. Дои:10.1162 / qjec.122.2.535.
16. Лукас, Роберт (1990). «Почему не течет капитал из богатых в бедные страны?». Американский экономический обзор. 80 (2): 92–96.
17. Мэнкив, Н. Грегори; Ромер, Дэвид; Вейл, Дэвид Н. (май 1992 г.). «Вклад в эмпирику экономического роста». Ежеквартальный журнал экономики. 107 (2): 407–437. CiteSeerX  10.1.1.335.6159. Дои:10.2307/2118477. JSTOR  2118477.
18. Klenow, Peter J .; Родригес-Клэр, Андрес (январь 1997 г.). "Неоклассическое возрождение экономики роста: зашло ли оно слишком далеко?". В Бернанке, Бен С .; Ротемберг, Хулио (ред.). NBER Macroeconomics Annual 1997, Том 12. Национальное бюро экономических исследований. стр.73–114. ISBN  978-0-262-02435-8.
19. Бретон, Т. Р. (2013). «Были ли правы Мэнкью, Ромер и Вейл? Примирение микро- и макроэффектов школьного образования на доход» (PDF). Макроэкономическая динамика. 17 (5): 1023–1054. Дои:10.1017 / S1365100511000824. HDL:10784/578.
20. Бретон, Т. Р. (2013). «Роль образования в экономическом росте: теория, история и текущие результаты». Образовательные исследования. 55 (2): 121–138. Дои:10.1080/00131881.2013.801241.
21. Барро, Роберт Дж.; Сала-и-Мартин, Ксавьер (2004). «Модели роста с экзогенными темпами сбережений». Экономический рост (Второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 37–51. ISBN  978-0-262-02553-9.
22. Барро, Роберт Дж.; Сала-и-Мартин, Ксавьер (2004). «Модели роста с экзогенными темпами сбережений». Экономический рост (Второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 461–509. ISBN  978-0-262-02553-9.

дальнейшее чтение

• Агенор, Пьер-Ришар (2004). «Рост и технологический прогресс: модель Солоу – Лебедя». Экономика адаптации и роста (Второе изд.). Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 439–462. ISBN  978-0-674-01578-4.
• Барро, Роберт Дж.; Сала-и-Мартин, Ксавьер (2004). «Модели роста с экзогенными темпами сбережений». Экономический рост (Второе изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 23–84. ISBN  978-0-262-02553-9.
• Бурмейстер, Эдвин; Добелл, А. Родни (1970). «Односекторные модели роста». Математические теории экономического роста. Нью-Йорк: Макмиллан. С. 20–64.
• Дорнбуш, Рюдигер; Фишер, Стэнли; Startz, Ричард (2004). «Теория роста: неоклассическая модель». Макроэкономика (Девятое изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Ирвин. стр.61 –75. ISBN  978-0-07-282340-0.
• Фермер, Роджер Э. А. (1999). «Неоклассическая теория роста». Макроэкономика (Второе изд.). Цинциннати: Юго-запад. С. 333–355. ISBN  978-0-324-12058-5.
• Фергюсон, Брайан С .; Лим, Г. С. (1998). Введение в динамические экономические модели. Манчестер: Издательство Манчестерского университета. С. 42–48. ISBN  978-0-7190-4996-5.
• Гандольфо, Джанкарло (1996). «Неоклассическая модель роста». Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Springer. С. 175–189. ISBN  978-3-540-60988-9.
• Хальсмайер, Верена (2014). «От исследовательского моделирования к технической экспертизе: модель роста Солоу как многоцелевой дизайн». История политической экономии. 46 (Приложение 1, Массачусетский технологический институт и трансформация американской экономики): 229–251. Дои:10.1215/00182702-2716181. Получено 2017-11-29.
• Интрилигатор, Майкл Д. (1971). Математическая оптимизация и экономическая теория. Энглвудские скалы: Прентис-холл. С. 398–416. ISBN  978-0-13-561753-3.
• ван Райкегем Вилли (1963): Структура некоторых моделей макроэкономического роста: сравнение. Weltwirtschaftliches Archiv том 91 с. 84-100

внешняя ссылка

• Видео о модели Солоу - более 20 видеороликов, демонстрирующих вывод выводов модели роста Солоу
• Java-апплет, в котором вы можете поэкспериментировать с параметрами и узнать о модели Солоу
• Модель роста Solow Фиона Маклахлан, Демонстрационный проект Wolfram.
• Пошаговое объяснение того, как понять модель Солоу
• Курс профессора Хосе-Виктора Риос-Рулля в Университете Миннесоты