Разделить нормальное распределение - Split normal distribution

В теория вероятности и статистика, то разделенное нормальное распределение также известный как двухкомпонентное нормальное распределение получается в результате соединения в режиме соответствующих половин двух нормальные распределения с тем же Режим но разные отклонения. Об этом заявляют Johnson et al.^[1] что это распределение было введено Гиббонсом и Майлрой^[2] и Джоном.^[3] Но это два из нескольких независимых повторных открытий Zweiseitige Gauss'sche Gesetz, представленных в посмертно опубликованном Kollektivmasslehre (1897)^[4] из Густав Теодор Фехнер (1801-1887), см. Wallis (2014).^[5] Удивительно, но совсем недавно в финансовом журнале было опубликовано еще одно открытие.^[6]

Сплит-нормальный

Обозначение	${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma _{1},\sigma _{2})}$
Параметры	${\displaystyle \mu \in \Re }$ — Режим (место расположения, настоящий ) ${\displaystyle \sigma _{1}>0}$ - левая сторона стандартное отклонение (шкала, настоящий ) ${\displaystyle \sigma _{2}>0}$ - Правая сторона стандартное отклонение (шкала, настоящий )
Поддерживать	${\displaystyle x\in \Re }$
PDF	${\displaystyle A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu }$ ${\displaystyle A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise,}}}$ ${\displaystyle {\text{where}}\quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +{\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})}$
Режим	${\displaystyle \mu }$
Дисперсия	${\displaystyle (1-2/\pi )(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}}$
Асимметрия	${\displaystyle \gamma _{3}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right]}$

Определение

Разделенное нормальное распределение возникает в результате слияния двух противоположных половин двух функции плотности вероятности (PDF-файлы) из нормальные распределения в их общем Режим.

PDF разделенного нормального распределения определяется выражением^[1]

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu }$

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise}}}$

куда

${\displaystyle \quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}.}$

Обсуждение

Разделенное нормальное распределение является результатом слияния двух половин нормального распределения. В общем случае «родительские» нормальные распределения могут иметь разные дисперсии, что означает, что объединенный PDF не будет непрерывный. Чтобы PDF-файл объединяет к 1, нормализующая константа А используется.

В частном случае, когда ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$ разделенное нормальное распределение сводится к нормальное распределение с отклонением ${\displaystyle \sigma _{*}^{2}}$.

Когда σ₂≠ σ₁ постоянная А она отличается от постоянной нормального распределения. Однако когда ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$ константы равны.

Знак его третьего центрального момента определяется разностью (σ₂-σ₁). Если эта разница положительная, распределение смещается вправо, а если отрицательное, то смещение влево.

Другие свойства расщепленной нормальной плотности обсуждались Johnson et al.^[1] и Хулио.^[7]

Альтернативные составы

Обсуждаемая выше формулировка исходит от Иоанна.^[3] В литературе предлагаются две математически эквивалентные альтернативные параметризации. Бриттон, Фишер и Уитли^[8] предлагают параметризацию, если условия моды, дисперсии и нормированной асимметрии, обозначенные ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\gamma )}$. Параметр μ - это мода, эквивалентная режиму в формулировке Джона. Параметр σ ²> 0 информирует о дисперсии (масштабе) и не следует путать с дисперсией. Третий параметр, γ ∈ (-1,1), представляет собой нормализованный перекос.

Вторая альтернативная параметризация используется в Банк Англии коммуникации и записывается в терминах режима, дисперсии и несимметричной асимметрии и обозначается ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi )}$. В этой формулировке параметр μ представляет собой моду и идентичен таковому у Джона. ^[3] и Бриттон, Фишер и Уитли ^[8] формулировка. Параметр σ ² информирует о дисперсии (масштабе) и является таким же, как в формулировке Бриттона, Фишера и Уитли. Параметр ξ равен разнице между средним значением и модой распределения и может рассматриваться как ненормированная мера асимметрии.

Три параметризации математически эквивалентны, что означает, что существует строгая взаимосвязь между параметрами и что можно переходить от одной параметризации к другой. Имеют место следующие отношения:^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\sigma _{1}^{2}(1+\gamma )=\sigma _{2}^{2}(1-\gamma )\\\gamma &={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{1}}{\sigma _{2}+\sigma _{1}}}\\\xi &={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\\\gamma &=\operatorname {sgn} (\xi ){\sqrt {1-\left({\frac {{\sqrt {1+2\beta }}-1}{\beta }}\right)^{2}}},\quad {\text{where}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Многовариантные расширения

Многомерное обобщение разделенного нормального распределения было предложено Виллани и Ларссоном.^[10] Они предполагают, что каждый из основные компоненты имеет одномерное расщепленное нормальное распределение с другим набором параметров μ, σ₂ и σ₁.

Оценка параметров

Джон^[3] предлагает оценить параметры с помощью максимальная вероятность метод. Он показывает, что функцию правдоподобия можно выразить в интенсивной форме, в которой масштабные параметры σ₁ и σ₂ являются функцией параметра местоположения μ. Вероятность в его интенсивной форме составляет:

${\displaystyle L(\mu )=-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}}$

и должен быть максимизирован численно только по одному параметру μ.

Учитывая оценку максимального правдоподобия ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ остальные параметры принимают значения:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

куда N - количество наблюдений.

Виллани и Ларссон^[10] предлагаю использовать либо максимальная вероятность метод или байесовская оценка и предоставить некоторые аналитические результаты как для одномерного, так и для многомерного случая.

Приложения

Разделенное нормальное распределение использовалось в основном в эконометрике и временных рядах. Замечательная область применения - это строительство веерная диаграмма, представление инфляция распределение прогнозов сообщил таргетирование инфляции центральные банки по всему миру.^[7][11]

Рекомендации

1. Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1994). Непрерывные одномерные распределения, Том 1. Джон Вили и сыновья. п. 173. ISBN  978-0-471-58495-7.
2. Гиббонс, J.F .; Mylroie, S. (1973). «Оценка примесных профилей в ионно-имплантированных аморфных мишенях с использованием объединенных полугауссовых распределений». Письма по прикладной физике. 22 (11): 568–569. Дои:10.1063/1.1654511.
3. Джон, С. (1982). «Трехпараметрическое двухкомпонентное нормальное семейство распределений и его аппроксимация». Коммуникации в статистике - теория и методы. 11 (8): 879–885. Дои:10.1080/03610928208828279.
4. Фехнер, Г. (изд. Липпс, Г.Ф.) (1897). Kollectivmasslehre. Энгельманн, Лейпциг.
5. Уоллис, К.Ф. (2014). Двухчастное нормальное, бинормальное или двойное гауссово распределение: его происхождение и новые открытия. Статистическая наука, т. 29, нет. 1. С. 106-112. DOI: 10.1214 / 13-STS417.
6. де Роон, Ф. и Каренке, П. (2016). Простое неравномерное распределение с приложениями для оценки активов. Обзор финансов, 2016, 1-29.
7. Хуан Мануэль Хулио (2007). Веерная диаграмма: технические подробности новой реализации. Banco de la República. Получено 2010-09-11, Прямая ссылка
8. Britton, E .; П. Фишер; Уитли, Дж. (1998). «Прогнозы отчета по инфляции: понимание веерной диаграммы». Ежеквартальный бюллетень. Февраль 1998: 30–37.
9. Banerjee, N .; А. Дас (2011). Веерная диаграмма: методология и ее применение для прогнозирования инфляции в Индии. Серия рабочих документов Резервного банка Индии.
10. Виллани, Маттиас; Рольф Ларссон (2006). «Многомерное расщепление нормального распределения и асимметричный анализ главных компонент». Коммуникации в статистике - теория и методы. 35 (6): 1123–1140. CiteSeerX  10.1.1.533.4095. Дои:10.1080/03610920600672252. ISSN  0361-0926.
11. Банк Англии, Отчет об инфляции В архиве 2010-08-13 на Wayback Machine