Методы частиц среднего поля - Mean-field particle methods - Wikipedia

Методы частиц среднего поля представляют собой широкий класс взаимодействующий тип Монте-Карло алгоритмы моделирования из последовательности распределений вероятностей, удовлетворяющих нелинейному уравнению эволюции.^[1][2][3][4] Эти потоки вероятностных мер всегда можно интерпретировать как распределения случайных состояний марковского процесса, вероятности перехода которого зависят от распределений текущих случайных состояний.^[1][2] Естественным способом моделирования этих сложных нелинейных марковских процессов является выборка большого количества копий процесса, замена в уравнении эволюции неизвестных распределений случайных состояний выборочными эмпирические меры. В отличие от традиционного Монте-Карло и Цепь Маркова Монте-Карло методы, на которых основаны эти методы частиц среднего поля последовательные взаимодействующие образцы. Среднее поле терминологии отражает тот факт, что каждый из образцы (также известные как частицы, люди, ходоки, агенты, существа или фенотипы) взаимодействует с эмпирическими измерениями процесса. Когда размер системы стремится к бесконечности, эти случайные эмпирические меры сходятся к детерминированному распределению случайных состояний нелинейной цепи Маркова, так что статистическое взаимодействие между частицами исчезает. Другими словами, начиная с хаотической конфигурации, основанной на независимых копиях начального состояния нелинейной модели цепи Маркова, хаос распространяется на любом временном горизонте, поскольку размер системы стремится к бесконечности; то есть конечные блоки частиц сводятся к независимым копиям нелинейного марковского процесса. Этот результат называется распространением свойства хаоса.^[5][6][7] Термин «распространение хаоса» возник в результате работ Марк Кац в 1976 г. о модели встречного среднего кинетического газа.^[8]

История

Теория моделей взаимодействующих частиц со средним полем, безусловно, началась к середине 1960-х годов с работ Генри П. Маккин мл. о марковских интерпретациях одного класса нелинейных параболических уравнений в частных производных, возникающих в механике жидкости.^[5][9] Математические основы этих классов моделей разрабатывались с середины 1980-х до середины 1990-х годов несколькими математиками, включая Вернера Брауна, Клауса Хеппа,^[10] Карл Эльшлегер,^[11][12][13] Жерар Бен Арус и Марк Брюно,^[14] Дональд Доусон, Жан Вайланкур^[15] и Юрген Гертнер,^[16][17] Кристиан Леонар,^[18] Сильви Мелеард, Сильви Ролли,^[6] Ален-Соль Снитман^[7][19] и Хироши Танака^[20] для моделей диффузионного типа; Ф. Альберто Грюнбаум,^[21] Токудзо Сига, Хироши Танака,^[22] Сильви Мелеард и Карл Грэм^[23][24][25] для общих классов взаимодействующих скачко-диффузионных процессов.

Мы также цитируем более раннюю новаторскую статью Теодор Э. Харрис и Herman Kahn, опубликованные в 1951 г., использующие генетические методы среднего поля, но схожие с эвристикой, для оценки энергий прохождения частиц.^[26] Методы частиц генетического типа среднего поля также используются в качестве эвристических алгоритмов естественного поиска (также известных как: метаэвристический ) в эволюционных вычислениях. Истоки этих методов вычисления среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 гг. Алан Тьюринг на обучающих машинах по генетическому типу мутации^[27]и статьи Нильс Алл Барричелли на Институт перспективных исследований в Принстон, Нью-Джерси.^[28][29] Австралийский генетик Алекс Фрейзер также опубликовал в 1957 г. серию работ по моделированию генетического типа искусственный отбор организмов.^[30]

Квантовый Монте-Карло, и, более конкретно Диффузионные методы Монте-Карло может также интерпретироваться как приближение среднеполевых частиц интегралов по траекториям Фейнмана-Каца.^{[3][4][31][32][33][34][35]} Истоки методов квантового Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые в 1948 году разработали интерпретацию цепных нейтронных реакций частицами среднего поля.^[36] но первый эвристический алгоритм частиц генетического типа (также известный как методы повторной выборки или реконфигурации Монте-Карло) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в сокращенных матричных моделях) был создан Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 году.^[35]В молекулярной химии использование генетических эвристико-подобных методов частиц (также известных как стратегии сокращения и обогащения) можно проследить до 1955 года, когда был основан основополагающий труд Маршалла. Н. Розенблют и Арианна. В. Розенблют.^[37]

Первыми новаторскими статьями о применении этих эвристических методов частиц в задачах нелинейной фильтрации были независимые исследования Нила Гордона, Дэвида Сэлмона и Адриана Смита (бутстрап-фильтр),^[38] Генширо Китагава (фильтр Монте-Карло),^[39] и один Химилькона Карвалью, Пьера Дель Мораля, Андре Монена и Жерара Салю^[40] опубликовано в 1990-е гг. Термин взаимодействующие «фильтры частиц» впервые был введен в употребление в 1996 году Дель Мораль.^[41] Фильтры частиц также были разработаны для обработки сигналов в начале 1989-1992 годов П. Дель Мораль, Дж. К. Нойер, Г. Ригал и Г. Салют в LAAS-CNRS в серии закрытых и секретных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), ИТ-компанию DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов RADAR / SONAR и GPS.^{[42][43][44][45][46][47]}

Основание и первый строгий анализ сходимости моделей генетического типа и методов частиц Фейнмана-Каца среднего поля принадлежит Пьеру Дель Моралю.^[48][49] в 1996 году. Методы частиц ветвистого типа с различными размерами популяции также были разработаны в конце 1990-х Дэном Крисаном, Джессикой Гейнс и Терри Лайонс,^[50][51][52] и Дэном Крисаном, Пьером Дель Моралем и Терри Лайонсом.^[53] Первые результаты равномерной сходимости по параметру времени для моделей частиц среднего поля были получены в конце 1990-х годов Пьером Дель Моралем и Алисой Гионне.^[54][55] для взаимодействующих процессов скачкообразного типа и Флоран Мальье для процессов нелинейного диффузионного типа.^[56]

Новые классы методов моделирования частиц среднего поля для задач интеграции путей Фейнмана-Каца включают модели на основе генеалогического дерева,^[2][3][57] модели обратных частиц,^[2][58] адаптивные модели частиц среднего поля,^[59] модели частиц островного типа,^[60][61] и методом Монте-Карло цепей Маркова частиц^[62][63]

Приложения

В физика, и особенно в статистическая механика эти нелинейные эволюционные уравнения часто используются для описания статистического поведения микроскопических взаимодействующих частиц в жидкости или в некотором конденсированном веществе. В этом контексте случайная эволюция виртуальной жидкости или частицы газа представлена ​​как Диффузионные процессы Маккина-Власова, реакционно-диффузионные системы, или же Процессы столкновения типа Больцмана.^{[11][12][13][25][64]} Как видно из названия, модель частиц среднего поля представляет коллективное поведение микроскопических частиц, слабо взаимодействующих с их мерами заполнения. Макроскопическое поведение этих систем многих частиц заключено в предельную модель, полученную, когда размер популяции стремится к бесконечности. Уравнения Больцмана представляют макроскопическую эволюцию сталкивающихся частиц в разреженных газах, в то время как диффузия Маккина-Власова представляет макроскопическое поведение жидких частиц и гранулированных газов.

В вычислительная физика и более конкретно в квантовая механика энергия основного состояния квантовых систем связана с вершиной спектра операторов Шредингера. В Уравнение Шредингера является квантовой версией второго закона движения Ньютона классической механики (масса, умноженная на ускорение, является суммой сил). Это уравнение представляет эволюцию волновой функции (также известного как квантовое состояние) некоторой физической системы, включая молекулярные, атомные или субатомные системы, а также макроскопические системы, такие как Вселенная.^[65] Решение уравнения Шредингера мнимого времени (также известного как уравнение теплопроводности) дается распределением Фейнмана-Каца, связанным со свободным эволюционным марковским процессом (часто представленным броуновскими движениями) в наборе электронных или макромолекулярных конфигураций и некоторой функцией потенциальной энергии. Длительное поведение этих нелинейных полугрупп связано с верхними собственными значениями и энергиями основного состояния операторов Шредингера.^{[3][32][33][34][35][66]} Интерпретация среднего поля генетического типа этих моделей Фейнмана-Каца называется методами повторной выборки Монте-Карло или диффузионного Монте-Карло. Эти эволюционные алгоритмы типа ветвления основаны на переходах мутации и отбора. Во время мутационного перехода пешеходы эволюционируют случайным образом и независимо в ландшафте потенциальной энергии от конфигураций частиц. Процесс выбора среднего поля (также известный как квантовая телепортация, реконфигурация населения, переход с повторной дискретизацией) связан с функцией приспособленности, которая отражает поглощение частиц в энергетической яме. Конфигурации с низкой относительной энергией с большей вероятностью будут дублироваться. В молекулярной химии и статистической физике для отбора проб также используются методы частиц среднего поля. Меры Больцмана-Гиббса связанных с некоторым графиком охлаждения, и для вычисления их нормирующих констант (также известных как свободные энергии или статистические суммы).^{[2][67][68][69]}

В вычислительная биология, а точнее в популяционная генетика, пространственный ветвящиеся процессы с конкурентным отбором и механизмами миграции также может быть представлен среднеполевым генетическим типом модели динамики населения.^[4][70]Первые моменты мер заполнения пространственного ветвящегося процесса задаются потоками распределения Фейнмана-Каца.^[71][72] Аппроксимация этих потоков среднеполевым генетическим типом предлагает интерпретацию этих процессов ветвления с фиксированным размером популяции.^[2][3][73] Вероятности экстинкции можно интерпретировать как вероятности поглощения некоторого марковского процесса, развивающегося в некоторой поглощающей среде. Эти модели поглощения представлены моделями Фейнмана-Каца.^{[74][75][76][77]} Долговременное поведение этих процессов, обусловленное невыханием, может быть эквивалентно выражено следующим образом: квазиинвариантные меры, Яглом пределы,^[78] или инвариантные меры нелинейных нормированных потоков Фейнмана-Каца.^{[2][3][54][55][66][79]}

В компьютерные науки, и особенно в искусственный интеллект эти средний тип поля генетические алгоритмы используются как эвристики случайного поиска, которые имитируют процесс эволюции, чтобы генерировать полезные решения сложных проблем оптимизации.^[80][81][82] Эти алгоритмы стохастического поиска относятся к классу Эволюционные модели. Идея состоит в том, чтобы создать популяцию возможных решений-кандидатов, используя механизмы мутации и отбора. Взаимодействие среднего поля между индивидуумами заключено в механизмах отбора и перехода.

В средние полевые игры и многоагентные взаимодействующие системы Согласно теории, процессы частиц среднего поля используются для представления коллективного поведения сложных систем с взаимодействующими индивидуумами.^{[83][84][85][86][87][88][89][90]} В этом контексте взаимодействие среднего поля инкапсулируется в процессе принятия решения взаимодействующими агентами. Предельную модель, когда количество агентов стремится к бесконечности, иногда называют континуальной моделью агентов.^[91]

В теория информации, а точнее в статистических машинное обучение и обработка сигналов, методы частиц среднего поля используются для последовательной выборки из условных распределений некоторого случайного процесса относительно последовательности наблюдений или каскада редкие события.^{[2][3][73][92]} В дискретное время задачи нелинейной фильтрации, условные распределения случайных состояний сигнала с учетом частичных и зашумленных наблюдений удовлетворяют нелинейному уравнению эволюции прогнозирования обновления. Шаг обновления задается Правило Байеса, а шаг прогноза - это Уравнение переноса Чепмена-Колмогорова. Интерпретация частиц среднего поля этих уравнений нелинейной фильтрации представляет собой алгоритм частиц с отбором и мутацией генетического типа.^[48]На этапе мутации частицы эволюционируют независимо друг от друга в соответствии с марковскими переходами сигнала. На этапе отбора частицы с малыми значениями относительного правдоподобия уничтожаются, а частицы с высокими относительными значениями умножаются.^[93][94] Эти методы частиц среднего поля также используются для решения задач слежения за несколькими объектами и, в частности, для оценки мер ассоциации.^[2][73][95]

Версия этих моделей частиц с непрерывным временем представляет собой интерпретацию частиц типа Морана в среднем поле робастных уравнений эволюции оптимального фильтра или стохастического уравнения в частных производных Кушнера-Стратонотича.^[4][31][94] Эти генетические алгоритмы частиц среднего поля также называют Фильтры твердых частиц и Последовательные методы Монте-Карло широко и регулярно используются в операционных исследованиях и статистических выводах.^[96][97][98] Термин «фильтры твердых частиц» впервые был введен в употребление в 1996 г. Дель Мораль,^[41] и термин "последовательный Монте-Карло" Лю и Чена в 1998 году. Моделирование подмножества и расщепление Монте-Карло^[99] методы являются частными примерами схем генетических частиц и моделей частиц Фейнмана-Каца, оснащенных Цепь Маркова Монте-Карло мутационные переходы^{[67][100][101]}

Иллюстрации метода моделирования среднего поля

Счетные модели пространства состояний

Чтобы мотивировать алгоритм моделирования среднего поля, мы начнем с S а конечный или же счетное состояние пространство и пусть п(S) обозначим множество всех вероятностных мер на S. Рассмотрим последовательность распределения вероятностей ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$ на S удовлетворяющее уравнению эволюции:

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi (\eta _{n})}$

(1)

для некоторых, возможно, нелинейных, отображение ${\displaystyle \Phi :P(S)\to P(S).}$ Эти распределения задаются векторами

${\displaystyle \eta _{n}=(\eta _{n}(x))_{x\in S},}$

которые удовлетворяют:

${\displaystyle 0\leqslant \eta _{n}(x)\leqslant 1,\qquad \sum \nolimits _{x\in S}\eta _{n}(x)=1.}$

Следовательно, ${\displaystyle \Phi }$ отображение из ${\displaystyle (s-1)}$-блок симплекс в себя, где s стоит за мощность из набора S. Когда s слишком велико, решая уравнение (1) является несговорчивый или очень затратно в вычислительном отношении. Одним из естественных способов аппроксимации этих эволюционных уравнений является последовательное сокращение пространства состояний с использованием модели частиц среднего поля. Одна из простейших схем моделирования среднего поля определяется цепью Маркова

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на пространстве продукта ${\displaystyle S^{N}}$, начиная с N независимые случайные величины с распределением вероятностей ${\displaystyle \eta _{0}}$ и элементарные переходы

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)\left(y^{i}\right),}$

с эмпирическая мера

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

куда ${\displaystyle 1_{x}}$ это индикаторная функция государства Икс.

Другими словами, учитывая ${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}}$ образцы ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N)}}$ независимые случайные величины с распределением вероятностей ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$. Обоснование этого метода моделирования среднего поля заключается в следующем: мы ожидаем, что когда ${\displaystyle \eta _{n}^{N}}$ является хорошим приближением к ${\displaystyle \eta _{n}}$, тогда ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ является приближением ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$. Таким образом, поскольку ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ это эмпирическая мера N условно независимые случайные величины с общим распределением вероятностей ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$, мы ожидаем ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ быть хорошим приближением к ${\displaystyle \eta _{n+1}}$.

Другая стратегия - найти коллекцию

${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$

из стохастические матрицы проиндексировано ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$ такой, что

${\displaystyle \sum _{x\in S}\eta _{n}(x)K_{\eta _{n}}(x,y)=\Phi (\eta _{n})(y)=\eta _{n+1}(y)}$

(2)

Эта формула позволяет интерпретировать последовательность ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$ как распределения вероятностей случайных состояний ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$ модели нелинейной цепи Маркова с элементарными переходами

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}=y\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=K_{\eta _{n}}(x,y),\qquad {\text{Law}}({\overline {X}}_{n})=\eta _{n}.}$

Сборник марковских переходов ${\displaystyle K_{\eta _{n}}}$ удовлетворяющее уравнению (1) называется интерпретацией Маккина последовательности мер ${\displaystyle \eta _{n}}$Интерпретация среднеполевой частицы (2) теперь определяется цепью Маркова

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на пространстве продукта ${\displaystyle S^{N}}$, начиная с N независимые случайные копии ${\displaystyle X_{0}}$ и элементарные переходы

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y^{i}\right),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

При некоторых условиях слабой регулярности^[2] на карте ${\displaystyle \Phi }$ для любой функции ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$, имеем почти наверное сходимость

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)}$

Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на неоднородные по времени модели на общих измеримый государственные пространства.^[2]

Модели Фейнмана-Каца

Чтобы проиллюстрировать абстрактные модели, представленные выше, рассмотрим стохастическую матрицу ${\displaystyle M=(M(x,y))_{x,y\in S}}$ и некоторая функция ${\displaystyle G:S\to (0,1)}$. Мы связываем с этими двумя объектами отображение

${\displaystyle {\begin{cases}\Phi :P(S)\to P(S)\\(\eta _{n}(x))_{x\in S}\mapsto \left(\Phi (\eta _{n})(y)\right)_{y\in S}\end{cases}}\qquad \Phi (\eta _{n})(y)=\sum _{x\in S}\Psi _{G}(\eta _{n})(x)M(x,y)}$

и меры Больцмана-Гиббса ${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)}$ определяется

${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)={\frac {\eta _{n}(x)G(x)}{\sum _{z\in S}\eta _{n}(z)G(z)}}.}$

Обозначим через ${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$ набор стохастических матриц, индексированных ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$ данный

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=\epsilon G(x)M(x,y)+(1-\epsilon G(x))\Phi (\eta _{n})(y)}$

для какого-то параметра ${\displaystyle \epsilon \in [0,1]}$. Нетрудно проверить, что уравнение (2) доволен. Кроме того, мы также можем показать (см., Например,^[3]), что решение (1) задается формулой Фейнмана-Каца

${\displaystyle \eta _{n}(x)={\frac {E\left(1_{x}(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}},}$

с цепью Маркова ${\displaystyle X_{n}}$ с начальным распределением ${\displaystyle \eta _{0}}$ и марковский переход M.

Для любой функции ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$ у нас есть

${\displaystyle \eta _{n}(f):=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)={\frac {E\left(f(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}}}$

Если ${\displaystyle G(x)=1}$ является единичной функцией и ${\displaystyle \epsilon =1}$, то имеем

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=M(x,y)=\mathbf {P} \left(\left.X_{n+1}=y\right|X_{n}=x\right),\qquad \eta _{n}(x)=E\left(1_{x}(X_{n})\right)=\mathbf {P} (X_{n}=x).}$

И уравнение (2) сводится к Уравнение Чепмена-Колмогорова

${\displaystyle \eta _{n+1}(y)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)M(x,y)\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {P} \left(X_{n+1}=y\right)=\sum _{x\in S}\mathbf {P} (X_{n+1}=y|X_{n}=x)\mathbf {P} \left(X_{n}=x\right)}$

Интерпретация частиц среднего поля этой модели Фейнмана-Каца определяется путем последовательной выборки N условно независимые случайные величины ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}}$ с распределением вероятностей

${\displaystyle K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)=\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)\sum _{j=1}^{N}{\frac {G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}{\sum _{k=1}^{N}G\left(\xi _{n}^{(N,k)}\right)}}M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right)}$

Другими словами, с вероятностью ${\displaystyle \epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)}$ частица ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ переходит в новое состояние ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ случайно выбранный с распределением вероятностей ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)}$; иначе, ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ прыгает в новое место ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,j)}}$ выбирается случайным образом с вероятностью, пропорциональной ${\displaystyle G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}$ и переходит в новое состояние ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ случайно выбранный с распределением вероятностей ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right).}$ Если ${\displaystyle G(x)=1}$ является единичной функцией и ${\displaystyle \epsilon =1}$, взаимодействие между частицей исчезает и модель частицы сводится к последовательности независимых копий цепи Маркова ${\displaystyle X_{n}}$. Когда ${\displaystyle \epsilon =0}$ описанная выше модель частиц среднего поля сводится к простому мутация-отбор генетический алгоритм с функцией приспособленности грамм и мутационный переход M. Эти нелинейные модели цепей Маркова и их интерпретация частиц среднего поля могут быть расширены на неоднородные по времени модели на общих измеримых пространствах состояний (включая переходные состояния, пространства путей и пространства случайных переходов) и на модели непрерывного времени.^[1][2][3]

Гауссовские нелинейные модели пространства состояний

Мы рассматриваем последовательность вещественных случайных величин ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$ последовательно определяемые уравнениями

${\displaystyle {\overline {X}}_{n+1}=E\left(a\left({\overline {X}}_{n}\right)\right)b\left({\overline {X}}_{n}\right)+c\left({\overline {X}}_{n}\right)+\sigma W_{n}}$

(3)

с коллекцией ${\displaystyle W_{n}}$ независимых стандартный гауссовский случайные величины, положительный параметр σ, некоторые функции ${\displaystyle a,b,c:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,}$ и некоторое стандартное гауссовское начальное случайное состояние ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$. Мы позволяем ${\displaystyle \eta _{n}}$ - распределение вероятностей случайного состояния ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$; то есть для любого ограниченного измеримая функция ж, у нас есть

${\displaystyle E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(x)\eta _{n}(dx),}$

с

${\displaystyle \mathbf {P} \left({\overline {X}}_{n}\in dx\right)=\eta _{n}(dx)}$

Интеграл - это Интеграл Лебега, и dx обозначает бесконечно малую окрестность состояния Икс. В Марковский переход цепи задана для любых ограниченных измеримых функций ж по формуле

${\displaystyle E\left(\left.f\left({\overline {X}}_{n+1}\right)\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=\int _{\mathbf {R} }K_{\eta _{n}}(x,dy)f(y),}$

с

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,dy)=\mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}\in dy\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\left[b(x)\int _{\mathbf {R} }a(z)\eta _{n}(dz)+c(x)\right]\right)^{2}\right\}}dy}$

Используя свойство башни условные ожидания мы доказываем, что вероятностные распределения ${\displaystyle \eta _{n}}$ удовлетворяют нелинейному уравнению

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\eta _{n+1}(dy)f(y)=\int _{\mathbf {R} }\left[\int _{\mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)\right]f(y)}$

для любых измеримых ограниченных функций ж. Это уравнение иногда записывают в более синтетической форме

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n}K_{\eta _{n}}\quad \Leftrightarrow \quad \eta _{n+1}(dy)=\left(\eta _{n}K_{\eta _{n}}\right)(dy)=\int _{x\in \mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)}$

Интерпретация этой модели частицей среднего поля определяется цепью Маркова

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на пространстве продукта ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ к

${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+c\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+\sigma W_{n}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

куда

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left(W_{n}^{1},\cdots ,W_{n}^{N}\right)}$

стоять за N независимые копии ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ и ${\displaystyle W_{n};n\geqslant 1,}$ соответственно. Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций а, б, c) имеем почти наверное сходимость

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}(dy),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{(N,i)}}}$

для любых измеримых ограниченных функций ж (см. например ^[2]). На приведенном выше дисплее ${\displaystyle \delta _{x}}$ стоит за Мера Дирака в государстве Икс.

Модели среднего поля с непрерывным временем

Мы рассматриваем стандартное броуновское движение ${\displaystyle {\overline {W}}_{t_{n}}}$ (a.k.a. Винеровский процесс ) оценивается на временной сетке. ${\displaystyle t_{0}=0<t_{1}<\cdots <t_{n}<\cdots }$ с заданным временным шагом ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h}$. Мы выбрали ${\displaystyle c(x)=x}$ в уравнении (1) заменяем ${\displaystyle b(x)}$ и σ к ${\displaystyle b(x)\times h}$ и ${\displaystyle \sigma \times {\sqrt {h}}}$, и мы пишем ${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n}}}$ вместо ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ значения случайных состояний, оцененные на временном шаге ${\displaystyle t_{n}.}$ Напоминая, что ${\displaystyle \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$ независимые центрированные гауссовские случайные величины с дисперсией ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h,}$ полученное уравнение можно переписать в следующем виде

${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n+1}}-{\overline {X}}_{t_{n}}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t_{n}}\right)\right)b({\overline {X}}_{t_{n}})h+\sigma \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$

(4)

Когда час → 0, приведенное выше уравнение сходится к нелинейному диффузионному процессу

${\displaystyle d{\overline {X}}_{t}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t}\right)\right)b({\overline {X}}_{t})dt+\sigma d{\overline {W}}_{t}}$

Модель среднего поля с непрерывным временем, связанная с этими нелинейными диффузиями, представляет собой (взаимодействующий) процесс диффузии ${\displaystyle \xi _{t}^{(N)}=\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ на пространстве продукта ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ определяется

${\displaystyle d\xi _{t}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)+\sigma d{\overline {W}}_{t}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

куда

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left({\overline {W}}_{t}^{1},\cdots ,{\overline {W}}_{t}^{N}\right)}$

находятся N независимые копии ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\overline {W}}_{t}.}$ Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций а, б) имеем почти наверное сходимость

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{t})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}(dy)}$,

с ${\displaystyle \eta _{t}={\text{Law}}\left({\overline {X}}_{t}\right),}$ и эмпирическая мера

${\displaystyle \eta _{t}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{t}^{(N,i)}}}$

для любых измеримых ограниченных функций ж (см. например.^[7]). Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на взаимодействующие процессы скачкообразной диффузии.^{[1][2][23][25]}

Рекомендации

1. Колокольцов, Василий (2010). Нелинейные марковские процессы. Cambridge Univ. Нажмите. п. 375.
2. Дель Мораль, Пьер (2013). Моделирование среднего поля для интеграции Монте-Карло. Монографии по статистике и прикладной теории вероятностей. 126. ISBN  9781466504059.
3. Дель Мораль, Пьер (2004). Формулы Фейнмана-Каца. Генеалогические и взаимодействующие приближения частиц. Вероятность и ее приложения. Springer. п. 575. ISBN  9780387202686. Серия: Вероятность и приложения
4. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). "Аппроксимация систем ветвящихся и взаимодействующих частиц формул Фейнмана-Каца с приложениями к нелинейной фильтрации". Séminaire de Probabilités, XXXIV (PDF). Конспект лекций по математике. 1729. С. 1–145. Дои:10.1007 / bfb0103798. ISBN  978-3-540-67314-9.
5. Маккин, Генри, П. (1967). «Распространение хаоса для одного класса нелинейных параболических уравнений». Серия лекций по дифференциальным уравнениям, Католический университет. 7: 41–57.
6. Мелеар, Сильви; Ролли, Сильви (1987). «Результат распространения хаоса для системы частиц с умеренным взаимодействием». Stoch. Proc. И приложение. 26: 317–332. Дои:10.1016/0304-4149(87)90184-0.
7. Снитман, Ален-Соль (1991). Темы распространения хаоса. Спрингер, Берлин. С. 164–251. Летняя школа теории вероятностей Сен-Флур, 1989 г.
8. Кац, Марк (1976). Вероятность и связанные темы в физических науках. Темы по физическим наукам. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
9. Маккин, Генри, П. (1966). «Класс марковских процессов, связанных с нелинейными параболическими уравнениями». Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 56 (6): 1907–1911. Bibcode:1966ПНАС ... 56.1907М. Дои:10.1073 / пнас.56.6.1907. ЧВК  220210. PMID  16591437.
10. Браун, Вернер; Хепп, Клаус (1977). «Власовская динамика и ее колебания в пределе 1 взаимодействующих классических частиц». Коммуникации по математической физике. 56 (2): 101–113. Bibcode:1977CMaPh..56..101B. Дои:10.1007 / bf01611497. S2CID  55238868.
11. Ольшлегер, Карл (1984). «Мартингальный подход к закону больших чисел для слабо взаимодействующих случайных процессов». Анна. Вероятно. 12 (2): 458–479. Дои:10.1214 / aop / 1176993301.
12. Oelschläger, Карл (1989). «О выводе уравнений реакции-диффузии как предела динамики систем умеренно взаимодействующих случайных процессов». Вероятность. Чт. Отн. Поля. 82 (4): 565–586. Дои:10.1007 / BF00341284. S2CID  115773110.
13. Ольшлегер, Карл (1990). «Большие системы взаимодействующих частиц и уравнение пористой среды». J. Дифференциальные уравнения. 88 (2): 294–346. Bibcode:1990JDE .... 88..294O. Дои:10.1016 / 0022-0396 (90) 90101-т.
14. Бен Арус, Жерар; Брюно, Марк (1990). «Метод Лапласа: вариативный этюд флуктуаций диффузионного типа» Шамп Мойен"". Стохастик 31, 79–144, (1990). 31: 79–144. Дои:10.1080/03610919008833649.
15. Доусон, Дональд; Вайланкур, Жан (1995). "Стохастические уравнения Маккина-Власова". Нелинейные дифференциальные уравнения и приложения Nodea. 2 (2): 199–229. Дои:10.1007 / bf01295311. S2CID  121652411.
16. Доусон, Дональд; Гартнер, Юрген (1987). «Большие отклонения от предела Маккина-Власова для слабо взаимодействующих диффузий». Стохастик. 20 (4): 247–308. Дои:10.1080/17442508708833446. S2CID  122536900.
17. Гартнер, Юрген (1988). "Дж. Гэртнер, О пределе Маккина-Власова для взаимодействующих диффузий". Математика. Nachr. 137: 197–248. Дои:10.1002 / мана.19881370116.
18. Леонар, Кристиан (1986). «Une loi des grands nombres pour des systèmes de diffusions avec Interactive et à coefficients nonbornés». Анна. I.H.P. 22: 237–262.
19. Снитман, Ален-Соль (1984). «Нелинейный отражающий процесс диффузии и распространение хаоса и связанных с ним флуктуаций». J. Funct. Анальный. 36 (3): 311–336. Дои:10.1016/0022-1236(84)90080-6.
20. Танака, Хироши (1984). "Танака, Х .: Предельные теоремы для некоторых диффузионных процессов с взаимодействием". Труды Международного симпозиума по стохастическому анализу Танигучи: 469–488. Дои:10.1016 / S0924-6509 (08) 70405-7.
21. Grunbaum., Ф. Альберто (1971). «Распространение хаоса для уравнения Больцмана». Архив рациональной механики и анализа. 42 (5): 323–345. Bibcode:1971ArRMA..42..323G. Дои:10.1007 / BF00250440. S2CID  118165282.
22. Сига, Токузо; Танака, Хироши (1985). «Центральная предельная теорема для системы марковских частиц со средними полевыми взаимодействиями». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 69 (3): 439–459. Дои:10.1007 / BF00532743. S2CID  121905550.
23. Грэм, Карл (1992). «Нелинейные диффузии со скачками». Анна. I.H.P. 28 (3): 393–402.
24. Мелеар, Сильви (1996). «Асимптотическое поведение некоторых систем взаимодействующих частиц; модели Маккина-Власова и Больцмана». Вероятностные модели для нелинейных уравнений в частных производных (Монтекатини Терме, 1995). Конспект лекций по математике. 1627. С. 42–95. Дои:10.1007 / bfb0093177. ISBN  978-3-540-61397-8.
25. Грэм, Карл; Мелеар, Сильви (1997). «Аппроксимации стохастических частиц для обобщенных моделей Больцмана и оценки сходимости». Анналы вероятности. 25 (1): 115–132. Дои:10.1214 / aop / 1024404281.
26. Герман, Кан; Харрис, Теодор, Э. (1951). «Оценка пропускания частиц методом случайной выборки» (PDF). Natl. Бур. Стоять. Appl. Математика. Сер. 12: 27–30.
27. Тьюринг, Алан М. (октябрь 1950 г.). «Вычислительная техника и интеллект». Разум. LIX (238): 433–460. Дои:10.1093 / разум / LIX.236.433.
28. Барричелли, Нильс Алл (1954). "Esempi numerici di processi di evoluzione". Методосы: 45–68.
29. Барричелли, Нильс Алл (1957). «Симбиогенетические процессы эволюции, реализуемые искусственными методами». Методосы: 143–182.
30. Фрейзер, Алекс (1957). «Моделирование генетических систем с помощью автоматических цифровых компьютеров. I. Введение». Aust. J. Biol. Наука. 10: 484–491. Дои:10.1071 / BI9570484.
31. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). "Аппроксимация системы частиц Морана формул Фейнмана-Каца". Стохастические процессы и их приложения. 86 (2): 193–216. Дои:10.1016 / S0304-4149 (99) 00094-0.
32. Дель Мораль, Пьер (2003). «Частичные приближения показателей Ляпунова, связанных с операторами Шредингера и полугруппами Фейнмана-Каца». Вероятность и статистика ESAIM. 7: 171–208. Дои:10.1051 / пс: 2003001.
33. Ассараф, Роланд; Каффарель, Мишель; Хелиф, Анатоль (2000). «Диффузионные методы Монте-Карло с фиксированным числом пешеходов» (PDF). Phys. Ред. E. 61 (4): 4566–4575. Bibcode:2000PhRvE..61.4566A. Дои:10.1103 / Physreve.61.4566. PMID  11088257. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-11-07.
34. Каффарель, Мишель; Сеперли, Дэвид; Калос, Малвин (1993). "Комментарий к расчету Фейнмана-Каца методом интеграла по траекториям энергий основного состояния атомов". Phys. Rev. Lett. 71 (13): 2159. Bibcode:1993ПхРвЛ..71.2159С. Дои:10.1103 / Physrevlett.71.2159. PMID  10054598.
35. Хетерингтон, Джек, Х. (1984). «Наблюдения за статистической итерацией матриц». Phys. Ред. А. 30 (2713): 2713–2719. Bibcode:1984PhRvA..30.2713H. Дои:10.1103 / PhysRevA.30.2713.
36. Ферми, Энрике; Richtmyer, Robert, D. (1948). "Note on census-taking in Monte Carlo calculations" (PDF). LAM. 805 (А). Declassified report Los Alamos Archive
37. Rosenbluth, Marshall, N.; Rosenbluth, Arianna, W. (1955). "Monte-Carlo calculations of the average extension of macromolecular chains". J. Chem. Phys. 23 (2): 356–359. Bibcode:1955JChPh..23..356R. Дои:10.1063/1.1741967. S2CID  89611599.
38. Gordon, N. J.; Salmond, D. J.; Smith, A. F. M. (1993). "Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation". IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing. 140 (2): 107–113. Дои:10.1049/ip-f-2.1993.0015. Получено 2009-09-19.
39. Kitagawa, G. (1996). "Monte carlo filter and smoother for non-Gaussian nonlinear state space models". Журнал вычислительной и графической статистики. 5 (1): 1–25. Дои:10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
40. Carvalho, Himilcon; Del Moral, Pierre; Monin, André; Salut, Gérard (July 1997). "Optimal Non-linear Filtering in GPS/INS Integration" (PDF). IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 33 (3): 835. Bibcode:1997ITAES..33..835C. Дои:10.1109/7.599254. S2CID  27966240.
41. Del Moral, Pierre (1996). "Non Linear Filtering: Interacting Particle Solution" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 2 (4): 555–580.
42. P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : An unified framework for particle solutions
    LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 91137, DRET-DIGILOG- LAAS/CNRS contract, April (1991).
43. P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Nonlinear and non Gaussian particle filters applied to inertial platform repositioning.
    LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 92207, STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS Convention STCAN no. A.91.77.013, (94p.) September (1991).
44. P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : Particle resolution in filtering and estimation. Experimental results.
    Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.2 (54p.), January (1992).
45. P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : Particle resolution in filtering and estimation. Theoretical results
    Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.3 (123p.), October (1992).
46. P. Del Moral, J.-Ch. Noyer, G. Rigal, and G. Salut. Particle filters in radar signal processing : detection, estimation and air targets recognition.
    LAAS-CNRS, Toulouse, Research report no. 92495, December (1992).
47. P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : Particle resolution in filtering and estimation.
    Studies on: Filtering, optimal control, and maximum likelihood estimation. Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01. Research report no.4 (210p.), January (1993).
48. Del Moral, Pierre (1996). "Non Linear Filtering: Interacting Particle Solution" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 2 (4): 555–580.
49. Del Moral, Pierre (1998). "Measure Valued Processes and Interacting Particle Systems. Application to Non Linear Filtering Problems". Annals of Applied Probability (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) ed.). 8 (2): 438–495. Дои:10.1214/aoap/1028903535.
50. Crisan, Dan; Gaines, Jessica; Lyons, Terry (1998). "Convergence of a branching particle method to the solution of the Zakai". Журнал SIAM по прикладной математике. 58 (5): 1568–1590. Дои:10.1137/s0036139996307371. S2CID  39982562.
51. Crisan, Dan; Lyons, Terry (1997). "Nonlinear filtering and measure-valued processes". Теория вероятностей и смежные области. 109 (2): 217–244. Дои:10.1007/s004400050131. S2CID  119809371.
52. Crisan, Dan; Lyons, Terry (1999). "A particle approximation of the solution of the Kushner–Stratonovitch equation". Теория вероятностей и смежные области. 115 (4): 549–578. Дои:10.1007/s004400050249. S2CID  117725141.
53. Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1999). "Discrete filtering using branching and interacting particle systems" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 5 (3): 293–318.
54. Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (2001). "On the stability of interacting processes with applications to filtering and genetic algorithms". Annales de l'Institut Анри Пуанкаре. 37 (2): 155–194. Bibcode:2001AnIHP..37..155D. Дои:10.1016/s0246-0203(00)01064-5.
55. Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (1999). "On the stability of Measure Valued Processes with Applications to filtering". C. R. Acad. Sci. Париж. 39 (1): 429–434.
56. Malrieu, Florent (2001). "Logarithmic Sobolev inequalities for some nonlinear PDE's". Stochastic Process. Appl. 95 (1): 109–132. Дои:10.1016/s0304-4149(01)00095-3. S2CID  13915974.
57. Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2001). "Genealogies and Increasing Propagations of Chaos for Feynman-Kac and Genetic Models". Annals of Applied Probability. 11 (4): 1166–1198.
58. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Singh, Sumeetpal, S. (2010). "A Backward Particle Interpretation of Feynman-Kac Formulae" (PDF). M2AN. 44 (5): 947–976. arXiv:0908.2556. Дои:10.1051/m2an/2010048. S2CID  14758161.
59. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Jasra, Ajay (2012). "On Adaptive Resampling Procedures for Sequential Monte Carlo Methods" (PDF). Бернулли. 18 (1): 252–278. arXiv:1203.0464. Дои:10.3150/10-bej335. S2CID  4506682.
60. Vergé, Christelle; Dubarry, Cyrille; Del Moral, Pierre; Moulines, Eric (2013). "On parallel implementation of Sequential Monte Carlo methods: the island particle model". Статистика и вычисления. 25 (2): 243–260. arXiv:1306.3911. Bibcode:2013arXiv1306.3911V. Дои:10.1007/s11222-013-9429-x. S2CID  39379264.
61. Chopin, Nicolas; Jacob, Pierre, E.; Papaspiliopoulos, Omiros (2011). "SMC^2: an efficient algorithm for sequential analysis of state-space models". arXiv:1101.1528v3 [stat.CO ].
62. Andrieu, Christophe; Doucet, Arnaud; Holenstein, Roman (2010). "Particle Markov chain Monte Carlo methods". Журнал Королевского статистического общества, серия B. 72 (3): 269–342. Дои:10.1111/j.1467-9868.2009.00736.x.
63. Del Moral, Pierre; Patras, Frédéric; Kohn, Robert (2014). "On Feynman-Kac and particle Markov chain Monte Carlo models". arXiv:1404.5733 [math.PR ].
64. Cercignani, Carlo; Illner, Reinhard; Pulvirenti, Mario (1994). "The Mathematical Theory of Dilute Gases". Springer.
65. Schrodinger, Erwin (1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules". Физический обзор. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. Дои:10.1103 / Physrev.28.1049.
66. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud (2004). "Particle Motions in Absorbing Medium with Hard and Soft Obstacles". Stochastic Analysis and Applications. 22 (5): 1175–1207. Дои:10.1081/SAP-200026444. S2CID  4494495.
67. Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Jasra, Ajay (2006). "Sequential Monte Carlo samplers" (PDF). J. Royal Statist. Soc. B. 68 (3): 411–436. arXiv:cond-mat/0212648. Дои:10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. S2CID  12074789.
68. Лельевр, Тони; Rousset, Mathias; Stoltz, Gabriel (2007). "Computation of free energy differences through nonequilibrium stochastic dynamics: the reaction coordinate case". J. Comput. Phys. 222 (2): 624–643. arXiv:cond-mat/0603426. Bibcode:2007JCoPh.222..624L. Дои:10.1016/j.jcp.2006.08.003. S2CID  27265236.
69. Лельевр, Тони; Rousset, Mathias; Stoltz, Gabriel (2010). "Free energy computations: A mathematical perspective". Imperial College Press: 472.
70. Caron, F.; Del Moral, P.; Pace, M.; Vo, B.-N. (2011). "On the Stability and the Approximation of Branching Distribution Flows, with Applications to Nonlinear Multiple Target Filtering". Stochastic Analysis and Applications. 29 (6): 951–997. arXiv:1009.1845. Дои:10.1080/07362994.2011.598797. ISSN  0736-2994. S2CID  303252.
71. Dynkin, Eugène, B. (1994). An Introduction to Branching Measure-Valued Processes. Серия монографий CRM. п. 134. ISBN  978-0-8218-0269-4.
72. Zoia, Andrea; Dumonteil, Eric; Mazzolo, Alain (2012). "Discrete Feynman-Kac formulas for branching random walks". EPL. 98 (40012): 40012. arXiv:1202.2811. Bibcode:2012EL.....9840012Z. Дои:10.1209/0295-5075/98/40012. S2CID  119125770.
73. Caron, François; Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud; Pace, Michele (2011). "Particle approximations of a class of branching distribution flows arising in multi-target tracking" (PDF). SIAM J. Control Optim.: 1766–1792. arXiv:1012.5360. Дои:10.1137/100788987. S2CID  6899555.
74. Питман, Джим; Fitzsimmons, Patrick, J. (1999). "Kac's moment formula and the Feynman–Kac formula for additive functionals of a Markov process". Stochastic Processes and Their Applications. 79 (1): 117–134. Дои:10.1016/S0304-4149(98)00081-7.
75. Arendt, Wolfgang; Batty, Charles, J.K. (1993). "Absorption semigroups and Dirichlet boundary conditions" (PDF). Математика. Анна. 295: 427–448. Дои:10.1007/bf01444895. S2CID  14021993.
76. Lant, Timothy; Thieme, Horst (2007). "Perturbation of Transition Functions and a Feynman-Kac Formula for the Incorporation of Mortality". Позитивность. 11 (2): 299–318. Дои:10.1007/s11117-006-2044-8. S2CID  54520042.
77. Takeda, Masayoshi (2008). "Some Topics connected with Gaugeability for Feynman-Kac Functionals" (PDF). RIMS Kokyuroku Bessatsu. B6: 221–236.
78. Yaglom, Isaak (1947). "Certain limit theorems of the theory of branching processes". Докл. Акад. АН СССР. 56: 795–798.
79. Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2002). "On the Stability of Non Linear Semigroup of Feynman-Kac Type" (PDF). Анналы факультета наук Тулузы. 11 (2): 135–175. Дои:10.5802/afst.1021.
80. Kallel, Leila; Naudts, Bart; Rogers, Alex (2001-05-08). Theoretical Aspects of Evolutionary Computing. Springer, Berlin, New York; Natural computing series. п. 497. ISBN  978-3540673965.
81. Del Moral, Pierre; Kallel, Leila; Rowe, John (2001). "Modeling genetic algorithms with interacting particle systems". Revista de Matematica: Teoria y Aplicaciones. 8 (2): 19–77. CiteSeerX  10.1.1.87.7330. Дои:10.15517/rmta.v8i2.201.
82. Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (2001). "On the stability of interacting processes with applications to filtering and genetic algorithms". Annales de l'Institut Анри Пуанкаре. 37 (2): 155–194. Bibcode:2001AnIHP..37..155D. Дои:10.1016/S0246-0203(00)01064-5.
83. Aumann, Robert John (1964). "Markets with a continuum of traders". Econometrica. 32 (1–2): 39–50. Дои:10.2307/1913732. JSTOR  1913732.
84. Jovanovic, Boyan; Rosenthal, Robert W. (1988). "Anonymous sequential games". Журнал математической экономики. 17 (1): 77–87. Дои:10.1016/0304-4068(88)90029-8.
85. Huang, Minyi.Y; Malhame, Roland P.; Caines, Peter E. (2006). "Large Population Stochastic Dynamic Games: Closed-Loop McKean–Vlasov Systems and the Nash Certainty Equivalence Principle". Коммуникации в информации и системах. 6 (3): 221–252. Дои:10.4310/CIS.2006.v6.n3.a5.
86. Maynard Smith, John (1982). Эволюция и теория игр. Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
87. Kolokoltsov, Vassili; Li, Jiajie; Yang, Wei (2011). "Mean field games and nonlinear Markov processes". arXiv:1112.3744v2 [math.PR ].
88. Lasry, Jean Michel; Lions, Pierre Louis (2007). "Mean field games". Japanese J. Math. 2 (1): 229–260. Дои:10.1007/s11537-007-0657-8. S2CID  1963678.
89. Carmona, René; Fouque, Jean Pierre; Sun, Li-Hsien (2014). "Mean Field Games and Systemic Risk". Communications in Mathematical Sciences. arXiv:1308.2172. Bibcode:2013arXiv1308.2172C.
90. Budhiraja, Amarjit; Del Moral, Pierre; Rubenthaler, Sylvain (2013). "Discrete time Markovian agents interacting through a potential". ESAIM Probability & Statistics. 17: 614–634. arXiv:1106.3306. Дои:10.1051/ps/2012014. S2CID  28058111.
91. Aumann, Robert (1964). "Markets with a continuum of traders" (PDF). Econometrica. 32 (1–2): 39–50. Дои:10.2307/1913732. JSTOR  1913732.
92. Del Moral, Pierre; Lézaud, Pascal (2006). Branching and interacting particle interpretation of rare event probabilities (PDF) (stochastic Hybrid Systems: Theory and Safety Critical Applications, eds. H. Blom and J. Lygeros. ed.). Спрингер, Берлин. pp. 277–323.
93. Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1998). "Discrete Filtering Using Branching and Interacting Particle Systems" (PDF). Markov Processes and Related Fields. 5 (3): 293–318.
94. Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1998). "Interacting Particle Systems Approximations of the Kushner Stratonovitch Equation" (PDF). Достижения в прикладной теории вероятностей. 31 (3): 819–838. Дои:10.1239/aap/1029955206. HDL:10068/56073.
95. Pace, Michele; Del Moral, Pierre (2013). "Mean-Field PHD Filters Based on Generalized Feynman-Kac Flow". Журнал IEEE по избранным темам в обработке сигналов. 7 (3): 484–495. Bibcode:2013ISTSP...7..484P. Дои:10.1109/JSTSP.2013.2250909. S2CID  15906417.
96. Cappe, O.; Moulines, E.; Ryden, T. (2005). Inference in Hidden Markov Models. Springer.
97. Liu, J. (2001). Monte Carlo strategies in Scientific Computing. Springer.
98. Doucet, A. (2001). de Freitas, J. F. G.; Gordon, J. (eds.). Sequential Monte Carlo Methods in Practice. Springer.
99. Botev, Z. I.; Kroese, D. P. (2008). "Efficient Monte Carlo simulation via the generalized splitting method". Methodology and Computing in Applied Probability. 10 (4): 471–505. CiteSeerX  10.1.1.399.7912. Дои:10.1007/s11009-008-9073-7. S2CID  1147040.
100. Botev, Z. I.; Kroese, D. P. (2012). "Efficient Monte Carlo simulation via the generalized splitting method". Статистика и вычисления. 22 (1): 1–16. Дои:10.1007/s11222-010-9201-4. S2CID  14970946.
101. Cérou, Frédéric; Del Moral, Pierre; Furon, Teddy; Guyader, Arnaud (2012). "Sequential Monte Carlo for Rare event estimation" (PDF). Статистика и вычисления. 22 (3): 795–808. Дои:10.1007/s11222-011-9231-6. S2CID  16097360.

внешняя ссылка

• Feynman-Kac models and interacting particle systems, theoretical aspects and a list of application domains of Feynman-Kac particle methods
• Sequential Monte Carlo method and particle filters resources
• Interacting Particle Systems resources
• QMC in Cambridge and around the world, general information about Quantum Monte Carlo
• EVOLVER Software package for stochastic optimisation using genetic algorithms
• CASINO Quantum Monte Carlo program developed by the Theory of Condensed Matter group at the Cavendish Laboratory in Cambridge
• Biips is a probabilistic programming software for Bayesian inference with interacting particle systems.