Парето эффективность - Pareto efficiency

Парето эффективность или же Оптимальность по Парето описывает ситуацию, в которой каждый человек, по крайней мере, так же или лучше, чем был изначально, без каких-либо чистых убытков. В частности, если данное назначение ресурсов является единственным результатом, который гарантирует, что каждый субъект будет по крайней мере так же хорош, как он был изначально, и хотя бы один субъект будет строго лучше, чем он был изначально, оптимальность по Парето достигается. Концепция названа в честь Вильфредо Парето (1848–1923), итальянский инженер и экономист, который использовал эту концепцию в своих исследованиях экономическая эффективность и распределение доходов. Следующие три концепции тесно связаны:

• Учитывая исходную ситуацию, Улучшение по Парето это новая ситуация, когда некоторые агенты выиграют, а агенты не проиграют.
• Ситуация называется Парето преобладает если существует возможное улучшение по Парето.
• Ситуация называется Оптимальный по Парето или же Парето эффективный если никакие изменения не могут привести к повышению удовлетворенности одного агента без потери другого агента или если нет возможности для дальнейшего улучшения по Парето. Следует отметить, что оптимальная ситуация по Парето на самом деле не является «оптимальной» в традиционном смысле: не каждому действующему субъекту можно улучшить положение, и вполне возможно, что вносимые улучшения могут быть очень неравными от актора к действующему, создавая далеко идущие последствия. менее желательная ситуация. Отсюда следует, что слово «оптимальный по Парето» постепенно превратилось в «эффективный по Парето».

В Граница Парето - это множество всех распределений, эффективных по Парето, обычно показываемых графически. Он также известен как Фронт Парето или же Множество Парето.^[1]

«Эффективность Парето» рассматривается как минимальное понятие эффективности, которое не обязательно приводит к социально желательному распределению ресурсов: в нем не говорится о равенство, или общее благополучие общества. Поскольку Парето сам был ординалистом, идея эффективности по Парето является в первую очередь порядковой, что означает, что такие переменные, как разные предпочтения, разная межличностная полезность и возможность различных входов или выходов, не принимаются во внимание. Это делает определение эффективности по Парето в некотором смысле ограниченным в его реальном применении. ^{[2][3]:46–49}

Помимо эффективности в распределение, понятие эффективности по Парето также возникает в контексте эффективность в производстве против. x-неэффективность: набор выпусков товаров является эффективным по Парето, если нет осуществимого перераспределения производственных затрат, при котором выпуск одного продукта увеличивается, в то время как выпуск всех других товаров либо увеличивается, либо остается прежним.^[4]:459

В своем открытии Парето представил доказательства того, что на конкурентном рынке оптимальное распределение ресурсов естественным образом происходит при конкурентном равновесии, обозначая идею саморегулирующегося рынка при капитализме. Несмотря на свои ограничения, идея эффективности по Парето полностью произвела революцию в области экономики. Помимо экономики, понятие эффективности Парето применялось для выбора альтернатив в инженерное дело и биология. Каждый вариант сначала оценивается по нескольким критериям, а затем подмножество вариантов якобы идентифицируется с тем свойством, что ни один другой вариант не может категорически превзойти указанный вариант. Это утверждение о невозможности улучшения одной переменной без ущерба для других переменных в теме многокритериальная оптимизация (также называемый Оптимизация по Парето).

Обзор

Формально распределение является оптимальным по Парето, если нет альтернативного распределения, при котором можно улучшить благосостояние по крайней мере одного участника без снижения благосостояния любого другого участника. Если существует перенос, который удовлетворяет этому условию, новое перераспределение называется «улучшением Парето». Когда улучшения по Парето невозможны, распределение является «оптимальным по Парето».

Формальное представление концепции в экономике следующее: Рассмотрим экономику с ${\displaystyle n}$ агенты и ${\displaystyle k}$ товары. Затем выделение ${\displaystyle \{x_{1},...,x_{n}\}}$, куда ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}}$ для всех я, является Оптимальный по Парето если нет другого возможного распределения ${\displaystyle \{x_{1}',...,x_{n}'\}}$ где для функции полезности ${\displaystyle u_{i}}$ для каждого агента ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})}$ для всех ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$ с ${\displaystyle u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})}$ для некоторых ${\displaystyle i}$.^[5] Здесь, в этой простой экономике, «осуществимость» относится к распределению, при котором общая сумма каждого выделяемого товара не превышает общую сумму товара в экономике. В более сложной экономике с производством распределение будет состоять из потребления векторов и производственные векторы, а осуществимость потребует, чтобы общее количество каждого потребляемого товара не превышало первоначальный запас плюс произведенное количество.

Согласно предположениям первая теорема благосостояния, а конкурентный рынок приводит к результату, эффективному по Парето. Этот результат был впервые математически продемонстрирован экономистами. Кеннет Эрроу и Жерар Дебре.^{[нужна цитата ]} Однако результат верен только при предположениях теоремы: рынки существуют для всех возможных товаров, нет внешние эффекты; рынки абсолютно конкурентны; и участники рынка идеальная информация.

В отсутствие точной информации или полных рынков результаты, как правило, будут неэффективными по Парето. Теорема Гринвальда-Стиглица.^[6]

В вторая теорема благосостояния по сути, является противоположностью первой теоремы о благосостоянии. Он утверждает, что при аналогичных идеальных предположениях любой оптимум Парето может быть получен с помощью некоторых конкурентное равновесие, или же свободный рынок системы, хотя может также потребоваться Общая сумма передача богатства. В реальном мире действие, основанное на предположении, что правительство способно вводить единовременный налог на физических лиц в экономике, известно как анализ государственной политики «сбоя рыночного механизма». ^[5]

Слабая эффективность по Парето

Слабая оптимальность по Парето это ситуация, которую нельзя строго улучшить для каждый индивидуальный.^[7]

Формально сильное улучшение по Парето определяется как ситуация, в которой все агенты находятся в строго более выгодном положении (в отличие от простого «улучшения по Парето», которое требует, чтобы один агент был строго в лучшем положении, а другие агенты были не менее хорошими). Ситуация слабый Парето-оптимальный если у него нет сильных Парето-улучшений.

Любое сильное улучшение по Парето также является слабым улучшением по Парето. Противоположное неверно; Например, рассмотрим задачу распределения ресурсов с двумя ресурсами, которые Алиса оценивает как 10, 0, а Джордж - как 5, 5. Рассмотрим распределение, предоставляющее все ресурсы Алисе, где профиль полезности равен (10,0):

• Это слабый PO, поскольку никакое другое распределение не является строго лучшим для обоих агентов (нет сильных улучшений по Парето).
• Но это не сильный PO, поскольку распределение, при котором Джордж получает второй ресурс, строго лучше для Джорджа и слабо лучше для Алисы (это слабое улучшение по Парето) - его профиль полезности равен (10,5).

Рынок не требует местное нетерпение чтобы добраться до слабого Парето-оптимума.^[8]

Ограниченная эффективность Парето

Ограниченная оптимальность по Парето - это ослабление оптимальности по Парето, учитывая тот факт, что потенциальный планировщик (например, правительство) не сможет улучшить децентрализованный рыночный результат, даже если этот результат неэффективен. Это произойдет, если оно ограничено теми же информационными или институциональными ограничениями, что и отдельные агенты.^[9]:104

Примером может служить ситуация, когда люди имеют личную информацию (например, рынок труда, где собственная производительность работника известна работнику, но не потенциальному работодателю, или рынок подержанных автомобилей, где известно качество автомобиля). продавец, но не покупатель), что приводит к моральный ущерб или неблагоприятный отбор и неоптимальный результат. В таком случае планировщик, желающий улучшить ситуацию, вряд ли будет иметь доступ к какой-либо информации, которой нет у участников рынка. Следовательно, планировщик не может реализовать правила распределения, основанные на идиосинкразических характеристиках людей; например, «если человек относится к типу A, он платит цену p1, а если человек типа B, он платит цену p2» (см. Lindahl цены ). По сути, разрешены только анонимные правила (типа «Каждый платит цену p») или правила, основанные на наблюдаемом поведении; «если кто-то выберет x по цене px, он получит субсидию в размере десяти долларов, и ничего иначе». Если не существует разрешенного правила, которое может успешно улучшить рыночный результат, то этот результат называется «ограниченно-Парето-оптимальным».

Дробная эффективность Парето

Дробная оптимальность по Парето является усилением Парето-оптимальности в контексте справедливое распределение предметов. Распределение неделимых статей фракционно-Парето-оптимальный (fPO) если в нем не доминирует Парето даже при распределении, в котором некоторые элементы разделены между агентами. Это контрастирует со стандартной оптимальностью по Парето, которая рассматривает только преобладание допустимых (дискретных) распределений.^[10]

В качестве примера рассмотрим задачу распределения элементов с двумя элементами, которые Алиса оценивает в 3, 2, а Джордж - в 4, 1. Рассмотрим распределение, дающее первый элемент Алисе, а второй - Джорджу, где профиль полезности равен (3 , 1):

• Он оптимален по Парето, поскольку любое другое дискретное распределение (без разделения элементов) ухудшает положение кого-то.
• Однако он не является частично-Парето-оптимальным, поскольку в нем преобладает Парето за счет распределения, предоставляемого Алисе 1/2 первого элемента и всего второго элемента, а другую половину первого элемента Джорджу - его служебный профиль (3.5, 2).

Парето-эффективность и максимизация благосостояния

Смотрите также: Парето-эффективное деление без зависти

Предположим, что каждый агент я присваивается положительный вес а_я. Для каждого распределения Иксопределить благосостояние из Икс как взвешенная сумма полезностей всех агентов в Икс, то есть:

${\displaystyle W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x)}$.

Позволять Икс_а быть распределением, которое максимизирует благосостояние по всем распределениям, то есть:

${\displaystyle x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x)}$.

Нетрудно показать, что распределение Икс_а является Парето-эффективным: поскольку все веса положительны, любое улучшение по Парето увеличит сумму, что противоречит определению Икс_а.

Японский нео-Вальрасиан экономист Такаши Негиси доказано^[11] что при определенных предположениях верно и обратное: для каждый Парето-эффективное распределение Икс, существует положительный вектор а такой, что Икс максимизирует W_а. Более короткое доказательство предоставлено Хэл Вариан.^[12]

Использование в технике

Понятие эффективности Парето использовалось в технике.^{[13]:111–148} Учитывая набор вариантов и способ их оценить, Граница Парето или же Множество Парето или же Фронт Парето - это набор вариантов, эффективных по Парето. Ограничивая внимание набором вариантов, эффективных по Парето, дизайнер может компромиссы в пределах этого набора, а не рассматривать полный диапазон каждого параметра.^[14]:63–65

Пример границы Парето. Пунктирные точки представляют возможные варианты, меньшие значения предпочтительнее, чем большие. Точка C не находится на границе Парето, потому что над ним доминируют обе точки А и указать B. Точки А и B не находятся под строгим контролем других и, следовательно, находятся на границе.

А граница производственных возможностей. Красная линия представляет собой пример эффективной по Парето границы, где граница и области слева и ниже представляют собой непрерывный набор вариантов. Красные точки на границе - примеры оптимального по Парето выбора производства. Точки за пределами границы, такие как N и K, не являются эффективными по Парето, поскольку существуют точки на границе, которые доминируют над ними.

Граница Парето

Для данной системы Граница Парето или же Множество Парето - это набор параметризаций (распределений), которые все эффективны по Парето. Определение границ Парето особенно полезно в инженерии. Предлагая все потенциально оптимальные решения, дизайнер может сосредоточиться на компромиссы в пределах этого ограниченного набора параметров, вместо того, чтобы учитывать полный диапазон параметров.^{[15]:399–412}

Граница Парето, п(Y), можно более формально описать следующим образом. Рассмотрим систему с функцией ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$, куда Икс это компактный набор возможных решений в метрическое пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, и Y - допустимый набор векторов критериев в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, так что ${\displaystyle Y=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:\;y=f(x),x\in X\;\}}$.

Мы предполагаем, что известны предпочтительные направления значений критериев. Точка ${\displaystyle y^{\prime \prime }\in \mathbb {R} ^{m}}$ предпочтительнее (строго доминирует) над другой точкой ${\displaystyle y^{\prime }\in \mathbb {R} ^{m}}$, записанный как ${\displaystyle y^{\prime \prime }\succ y^{\prime }}$. Граница Парето, таким образом, записывается как:

${\displaystyle P(Y)=\{y^{\prime }\in Y:\;\{y^{\prime \prime }\in Y:\;y^{\prime \prime }\succ y^{\prime },y^{\prime }\neq y^{\prime \prime }\;\}=\emptyset \}.}$

Предельная ставка замещения

Важным аспектом границы Парето в экономике является то, что при эффективном по Парето распределении предельная ставка замещения одинаково для всех потребителей. Формальное утверждение может быть получено путем рассмотрения системы с м потребители и п товаров, а функция полезности каждого потребителя как ${\displaystyle z_{i}=f^{i}(x^{i})}$ куда ${\displaystyle x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})}$ вектор товаров, как для всех я. Ограничение выполнимости: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}}$ за ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$. Чтобы найти оптимальное по Парето распределение, мы максимизируем Лагранжиан:

${\displaystyle L_{i}((x_{j}^{k})_{k,j},(\lambda _{k})_{k},(\mu _{j})_{j})=f^{i}(x^{i})+\sum _{k=2}^{m}\lambda _{k}(z_{k}-f^{k}(x^{k}))+\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\left(b_{j}-\sum _{k=1}^{m}x_{j}^{k}\right)}$

куда ${\displaystyle (\lambda _{k})_{k}}$ и ${\displaystyle (\mu _{j})_{j}}$ - векторы множителей. Взяв частную производную лагранжиана по каждому товару ${\displaystyle x_{j}^{k}}$ за ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ и ${\displaystyle k=1,\ldots ,m}$ и дает следующую систему условий первого порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{i}}}=f_{x_{j}^{i}}^{1}-\mu _{j}=0{\text{ for }}j=1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{k}}}=-\lambda _{k}f_{x_{j}^{k}}^{i}-\mu _{j}=0{\text{ for }}k=2,\ldots ,m{\text{ and }}j=1,\ldots ,n,}$

куда ${\displaystyle f_{x_{j}^{i}}}$ обозначает частную производную от ${\displaystyle f}$ относительно ${\displaystyle x_{j}^{i}}$. Теперь исправим любые ${\displaystyle k\neq i}$ и ${\displaystyle j,s\in \{1,\ldots ,n\}}$. Из приведенного выше условия первого порядка следует, что

${\displaystyle {\frac {f_{x_{j}^{i}}^{i}}{f_{x_{s}^{i}}^{i}}}={\frac {\mu _{j}}{\mu _{s}}}={\frac {f_{x_{j}^{k}}^{k}}{f_{x_{s}^{k}}^{k}}}.}$

Таким образом, при оптимальном по Парето распределении предельная норма замещения должна быть одинаковой для всех потребителей.^{[нужна цитата ]}

Вычисление

Алгоритмы для вычисления границы Парето конечного набора альтернатив были изучены в Информатика и энергетика.^[16] Они включают:

• «Задача максимального вектора» или запрос горизонта.^[17][18][19]
• «Алгоритм скаляризации» или метод взвешенных сумм.^[20][21]
• "The ${\displaystyle \epsilon }$-Метод ограничений ".^[22][23]

Использование в биологии

Оптимизация по Парето также изучалась в биологических процессах.^{[24]:87–102} Было показано, что у бактерий производство генов либо недорогое (эффективное использование ресурсов), либо их легче читать (эффективная трансляция). Естественный отбор подталкивает высокоэкспрессируемые гены к границе Парето с точки зрения использования ресурсов и эффективности трансляции.^{[25]:166–169} Также было показано, что гены вблизи границы Парето эволюционируют более медленно (что указывает на то, что они обеспечивают избирательное преимущество).^[26]

Критика

Было бы неправильно рассматривать эффективность по Парето как эквивалент социальной оптимизации.^{[27]:358–364} поскольку последний является нормативный концепция, которая является предметом интерпретации, которая обычно учитывает последствия степени неравенства распределения.^[28]:10–15 Примером может служить интерпретация одного школьного округа с низкими доходами от налога на имущество по сравнению с другим с гораздо более высокими доходами как признак того, что более равномерное распределение происходит с помощью государственного перераспределения.^{[29]:95–132}

Эффективность Парето не требует абсолютно справедливого распределения богатства.^[30]:222 Экономика, в которой немногие богатые владеют подавляющее большинство ресурсов может быть эффективным по Парето. Простой пример - раздача пирога между тремя людьми. При наиболее справедливом распределении каждому человеку должна быть назначена треть. Однако назначение, скажем, полусекции каждому из двух индивидов и ни одной третьей также является оптимальным по Парето, несмотря на несправедливость, потому что ни один из получателей не может стать лучше, не уменьшая чью-либо долю; и есть много других примеров такого распространения. Примером неэффективного распределения пирога по Парето может быть распределение четверти пирога каждому из трех, а остаток отброшен.^[31]:18

В либеральный парадокс разработан Амартья Сен показывает, что, когда у людей есть предпочтения в отношении того, что делают другие, цель эффективности по Парето может вступить в противоречие с целью личной свободы.^[32]:92–94

Смотрите также

• Допустимое правило принятия решения, аналог в теория принятия решений
• Теорема о невозможности Эрроу
• Байесовская эффективность
• Основные теоремы экономики благосостояния
• Чистые издержки
• Экономическая эффективность
• Максимально эффективное использование
• Эффективность Калдора – Хикса
• Провал рынка, когда рыночный результат не является оптимальным по Парето
• Максимальный элемент, концепция в теория порядка
• Максимумы набора точек
• Многоцелевая оптимизация
• Парето-эффективное деление без зависти
• Социальный выбор и индивидуальные ценности для "(слабого) принципа Парето"
• ТОТРЕП
• Экономика благосостояния

Рекомендации

1. proximedia. «Фронт Парето». www.cenaero.be. Получено 8 октября, 2018.
2. Сен, А. (Октябрь 1993 г.). «Рынки и свобода: достижения и ограничения рыночного механизма в продвижении индивидуальных свобод» (PDF). Oxford Economic Papers. 45 (4): 519–541. Дои:10.1093 / oxfordjournals.oep.a042106. JSTOR  2663703.
3. Барр, Н. (2012). «3.2.2 Соответствие эффективности различным теориям общества». Экономика государства всеобщего благосостояния (5-е изд.). Oxford University Press. стр.46–49. ISBN  978-0-19-929781-8.
4. Блэк, Дж. Д., Хашимзаде, Н., & Майлз, Г., ред., Экономический словарь, 5-е изд. (Оксфорд: Oxford University Press, 2017), п. 459.
5. Мас-Колелл, А.; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995), "Глава 16: Равновесие и его основные свойства благосостояния", Микроэкономическая теория, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-510268-0
6. Гринвальд, Б.; Стиглиц, Дж. Э. (1986). «Внешние эффекты в экономике с несовершенной информацией и неполными рынками». Ежеквартальный журнал экономики. 101 (2): 229–64. Дои:10.2307/1891114. JSTOR  1891114.
7. Mock, Уильям Б. Т. (2011). «Оптимальность по Парето». Энциклопедия глобальной справедливости. С. 808–809. Дои:10.1007/978-1-4020-9160-5_341. ISBN  978-1-4020-9159-9.
8. Марки-Таулера, Брендана и Джона Фостера. "Почему в экономической теории мало говорится о причинах и последствиях неравенства ", Школа экономики, Университет Квинсленда, Австралия, 21 февраля 2013 г., RePEc: qld: uq2004: 476
9. Мэджилл, М., & Квинзи, М., Теория незавершенных рынков, MIT Press, 2002, п. 104.
10. Бармен С., Кришнамурти С. К. и Вайш Р., «Поиск справедливого и эффективного распределения», EC '18: Материалы конференции ACM по экономике и вычислениям 2018 г., Июнь 2018.
11. Негиси, Такаши (1960). «Экономика благосостояния и существование равновесия для конкурентоспособной экономики». Метроэкономика. 12 (2–3): 92–97. Дои:10.1111 / j.1467-999X.1960.tb00275.x.
12. Вариан, Хэл Р. (1976). «Две проблемы теории справедливости». Журнал общественной экономики. 5 (3–4): 249–260. Дои:10.1016/0047-2727(76)90018-9. HDL:1721.1/64180.
13. Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E.Z., Введение в анализ оптимизации в гидросистемной инженерии (Берлин /Гейдельберг: Springer, 2014), стр. 111–148.
14. Джахан А., Эдвардс К. Л. и Бахраминасаб М., Многокритериальный анализ решений, 2-е изд. (Амстердам: Эльзевир, 2013), стр. 63–65.
15. Коста, Н. Р., и Лоуренсо, Дж. А., «Изучение границ Парето в методологии поверхности отклика», в G.-C. Ян, С.-И. Ao, & L. Gelman, ред., Сделки по инженерным технологиям: Всемирный инженерный конгресс 2014 г. (Берлин / Гейдельберг: Springer, 2015), стр. 399–412.
16. Томоягэ, Богдан; Чиндриш, Мирча; Сампер, Андреас; Судрия-Андреу, Антони; Виллафила-Роблес, Роберто (2013). «Оптимальная по Парето реконфигурация систем распределения электроэнергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II». Энергии. 6 (3): 1439–55. Дои:10.3390 / en6031439.
17. Нильсен, Франк (1996). «Выходной пилинг выпуклых и максимальных слоев». Письма об обработке информации. 59 (5): 255–9. CiteSeerX  10.1.1.259.1042. Дои:10.1016/0020-0190(96)00116-0.
18. Kung, H.T .; Luccio, F .; Препарата, Ф. (1975). «О нахождении максимумов набора векторов». Журнал ACM. 22 (4): 469–76. Дои:10.1145/321906.321910. S2CID  2698043.
19. Годфри, П .; Шипли, Р .; Грыз, Дж. (2006). «Алгоритмы и анализы для вычисления максимальных векторов». Журнал VLDB. 16: 5–28. CiteSeerX  10.1.1.73.6344. Дои:10.1007 / s00778-006-0029-7. S2CID  7374749.
20. Kim, I. Y .; де Век, О. Л. (2005). «Адаптивный метод взвешенной суммы для многокритериальной оптимизации: новый метод генерации фронта Парето». Структурная и междисциплинарная оптимизация. 31 (2): 105–116. Дои:10.1007 / s00158-005-0557-6. ISSN  1615–147X. S2CID  18237050.
21. Марлер, Р. Тимоти; Арора, Джасбир С. (2009). «Метод взвешенной суммы для многокритериальной оптимизации: новые идеи». Структурная и междисциплинарная оптимизация. 41 (6): 853–862. Дои:10.1007 / s00158-009-0460-7. ISSN  1615–147X. S2CID  122325484.
22. «О бикритериальной постановке задач идентификации интегрированных систем и оптимизации систем». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике. СМЦ-1 (3): 296–297. 1971 г. Дои:10.1109 / TSMC.1971.4308298. ISSN  0018-9472.
23. Мавротас, Джордж (2009). «Эффективная реализация метода ε-ограничений в задачах многоцелевого математического программирования». Прикладная математика и вычисления. 213 (2): 455–465. Дои:10.1016 / j.amc.2009.03.037. ISSN  0096-3003.
24. Мур, Дж. Х., Хилл, Д. П., Суловари, А., и Кидд, Л. К., «Генетический анализ рака простаты с использованием вычислительной эволюции, оптимизации по Парето и последующей обработки», в R. Riolo, E. Владиславлева, MD Ritchie, & Дж. Х. Мур, ред., Теория и практика генетического программирования X (Берлин / Гейдельберг: Springer, 2013 г.), стр. 87–102.
25. Эйбен, А. Э., и Смит, Дж. Э., Введение в эволюционные вычисления (Берлин / Гейдельберг: Springer, 2003 г.), стр. 166–169.
26. Сьюард, Э.А., и Келли, С., «Оптимизация стоимости транскриптов на основе селекции влияет на скорость эволюции генов у бактерий», Геномная биология, Vol. 19, 2018.
27. Дрез, Ж., Очерки экономических решений в условиях неопределенности (Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1987), стр. 358–364
28. Бакхаус, Дж. Г., Элгар, компаньон юриспруденции и экономики (Челтенхэм, Великобритания / Нортгемптон, Массачусетс: Эдвард Элгар, 2005), стр. 10–15.
29. Паулсен, М. Б., «Экономика государственного сектора: природа и роль государственной политики в финансировании высшего образования», в М. Б. Паулсен, Дж. К. Смарт, ред. Финансы высшего образования: теория, исследования, политика и практика (Нью-Йорк: Agathon Press, 2001), стр. 95–132.
30. Бхуши, К., изд., От фермы до пальцев: культура и политика питания в современной Индии (Кембридж: Cambridge University Press, 2018), п. 222.
31. Виттман, Д., Экономические основы права и организации (Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2006 г.), п. 18.
32. Сен, А., Рациональность и свобода (Кембридж, Массачусетс / Лондон: Белкнеп Пресс, 2004), стр. 92–94.

дальнейшее чтение

• Фуденберг, Дрю; Тироль, Жан (1991). Теория игры. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр.18–23. ISBN  9780262061414. Предварительный просмотр книги.
• Бендор, Джонатан; Мукхерджи, Дилип (апрель 2008 г.). «Коммунитарные против универсалистских норм». Ежеквартальный журнал политологии. 3 (1): 33–61. Дои:10.1561/100.00007028.
• Канбур, Рави (Январь – июнь 2005 г.). "Месть Парето" (PDF). Журнал социально-экономического развития. 7 (1): 1–11.
• Нг, Ю-Кванг (2004). Экономика благосостояния в направлении более полного анализа. Бейзингсток, Хэмпшир, Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан. ISBN  9780333971215.
• Рубинштейн, Ариэль; Осборн, Мартин Дж. (1994), «Введение», в Рубинштейн, Ариэль; Осборн, Мартин Дж. (Ред.), Курс теории игр, Кембридж, Массачусетс: MIT Press, стр. 6–7, ISBN  9780262650403 Предварительный просмотр книги.
• Матур, Виджай К. (весна 1991 г.). «Насколько хорошо мы знаем оптимальность по Парето?». Журнал экономического образования. 22 (2): 172–178. Дои:10.2307/1182422. JSTOR  1182422.
• Ньюбери, Дэвид М.Г.; Стиглиц, Джозеф Э. (Январь 1984 г.). «Низшая торговля по Парето». Обзор экономических исследований. 51 (1): 1–12. Дои:10.2307/2297701. JSTOR  2297701.